Markov跳變系統的未知輸入觀測器設計

李碩 田中大

摘要：本文對離散時間非線性Markov跳變系統研究了未知輸入觀測器（UIO）設計問題。所提出的未知輸入觀測器具有較為新穎的結構。在文中給出了基于Lyapunov函數的未知輸入觀測器設計的可行性條件，并將其轉化為一組線性矩陣不等式（LMI）條件，便于利用軟件的相關工具箱進行參數求解。最后通過對車輛橫向動力學模型的數值仿真，驗證了該方法的有效性與實用性。

關鍵詞：Markov 跳變系統;離散時間;非線性;未知輸入觀測器;線性矩陣不等式

中圖分類號：TP273? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）25-0139-05

Abstract：The unknown input observer （UIO） design problem for discrete time nonlinear Markov jump systems is studied in this paper. The proposed unknown input observer has a relatively novel structure. In this paper， the feasibility conditions for the design of unknown input observer based on Lyapunov function are given， and the conditions are transformed into a set of linear matrix inequality （LMI） conditions， which can be easily solved by using the related toolbox of the software. Finally， the effectiveness and practicability of the proposed method are verified by numerical simulation of vehicle lateral dynamics model.

Key words： arkov jump system;discrete time;nonlinear;unknown input observer;linear matrix inequality

1 引言

對實際系統的理論研究中，對系統進行精確的建模直接地影響到研究結果應用到實際中的有效性。由于Markov跳變系統具有較強的模型構建能力和廣泛的應用潛力，過去的幾十年間，廣大的研究學者投入大量的時間和精力來研究Markov跳變系統并取得了豐碩的研究成果[1-2]。文獻[3]對部分轉移概率不可獲取的一類Markov跳變系統設計了觀測器，并基于觀測器提出了該系統的滑模控制方法。近些年來，由于連續時間Markov跳變系統相關的研究成果應用在離散時間Markov跳變系統中難以獲得較好的控制效果，這就激起了廣大學者對離散時間Markov跳變系統研究的熱情。文獻[4]研究了在不可用狀態和部分未知的轉移概率下，離散時間馬爾可夫跳躍系統的事件觸發滑模控制問題。具有馬爾可夫跳變規律和乘性噪聲的離散系統在成本函數中具有不確定狀態和控制權矩陣的最優控制問題在文獻[5]中被研究。但是據我們所知，目前對于時間離散的Markov跳變系統的觀測器設計問題還沒有被充分研究，正是因此激發了我們當前的研究。

在本文中我們針對離散時間非線性Markov跳變系統提出了一類形式較新的未知輸入觀測器。本文有如下幾項主要貢獻，1）考慮了一類離散時間非線性Markov跳變系統并通過T-S模糊模型方法轉化為一類T-S模糊系統，轉化后的系統可以看成是局部線性且全局非線性的形式，擴展了文獻[6]結果的適用范圍。2）針對局部線性系統對其設計一類不同于傳統結構的較為新穎未知輸入觀測器，并對估計誤差系統進行了穩定性分析，以及引入了松弛變量來降低所得結論的保守性。

文章剩余內容安排如下，第二章給出了具有模糊輸出方程的非線性Markov模型以及其T-S模糊模型描述;第三章對變形后的非線性Markov跳變系統即T-S模糊系統設計了未知輸入觀測器，以及得到了估計誤差系統穩定的條件，并完成了相關定理的推導證明;第四章給出了數值算例及仿真，證實了定理的有效性;第五章對全文做出了總結。

概念：[Rn]和[Rn×m]分別表示[n]維歐幾里得空間和[n×m]實矩陣集。[0]和[I]分別表示具有適當維度的零矩陣和單位矩陣。[||·||]表示[L2]范數。對于矩陣[A]，[AT]表示矩陣[A]的轉置矩陣。對于一個對稱矩陣[P]，[P>0（≥0）]和[P<0（≤0）]表示[P]是正（半）定和負（半）定矩陣。星號[*]代表對稱性產生的項。

2 問題描述

T-S模糊模型是用一組模糊規則，將非線性系統模型由一組局部線性系統模型來表示，這些局部線性模型通過模糊隸屬度函數平滑連接。模糊線性系統由IF-THEN規則描述。在全概率空間（Ω，F，P）中，我們考慮一類時間離散的非線性Markov跳變系統，該系統的全局模型可以用具有r條規則的T-S模糊模型表示，r表示If-Then規則的數量。T-S模糊模型的第i條規則如下：

為了合成未知輸入觀測器（6），我們提出如下定理。

注意到式（10）中的條件不能直接用于未知輸入觀測器設計。因此，我們提出以下的定理來將定理1中的條件轉化為LMI約束。

4 仿真分析

為驗證以上所述方法的實用性，在本章給出實際例子對前文加以驗證。考慮文獻[7]所提出的車輛橫向動力學系統，其系統描述如下：

按著整車質量的不同，考慮到車載質量的變化，同時兼顧算例的簡潔性，將模態[θk]劃分為兩種，即模態空間[S={1，2}]，模態1為[m1=991kg];模態2為[m2=1060kg]。兩規則（Rule）兩模態（Mode）的各參數矩陣分述如下（為了便于表示，用R1-M1表示規則1-模態1，其他情形以此類推）：