陜西 趙文浩 陳嘉康

在高中物理習題教學中，經常會遇到多自變量乘積組合的比例求解問題。教師在教學過程中處理因變量與自變量之間的關系時，通常采用控制變量法，可以輕松處理因變量與單個自變量之間的數理關系，但在處理多個自變量同時變化的函數時，因變量的比例問題求解將無法使用控制變量法進行處理。基于此對多自變量乘積組合中比例問題的教學過程和處理方法進行反思與重構將更具有實際意義。通過引入復比定律對習題教學過程進行重構，實現對此類問題的快速有效求解。

一、多自變量乘積組合比例問題教學過程中存在的困惑

多自變量乘積組合的比例問題是高中物理習題教學中重要的一環，各物理量之間的數學函數表征是求解多自變量乘積組合中比例問題的有效依據。但是經過長時間的習題教學實踐和對相關教學案例的研究發現，現行的方法對處理多個自變量同時變化的因變量比例問題依然存在明顯的不足之處：

第一，教學方法僵化，求解過程繁瑣。筆者通過對自己的教學實踐過程和優秀教學案例的研究發現，教師在解決比例問題時，通常依據基本物理規律求解出各物理量之間函數關系，然后通過對比分析列出自變量變化前后的函數關系表達式，再將結果進行作商求比。這樣的處理方法要求學生有很強的分析能力，能夠準確列出自變量變化前后的函數關系，同時作商求比的計算過程十分繁雜，加大了運算量，耗費時間且容易出錯，不利于學生在考試中的作答。

第二，缺乏學習心理分析，問題求解過程枯燥。通過在實際的習題教學中對學生學習過程中的心理狀態分析發現，在解決多自變量乘積比例問題時，繁雜、枯燥的求解過程會使學生失去對此類問題處理的積極性，在面對問題求解時缺乏耐心，產生心理障礙，難以實現對問題的準確計算，從而導致問題求解錯誤。

二、多自變量乘積組合中比例問題的教學反思與重構

控制變量法作為一種對多自變量物理規律分析的思維方式，并不能對多自變量比例問題解決提供科學的處理方法。通過對多自變量比例問題的特點、教師教學過程的問題處理方法和學生學習過程的心理狀態分析發現，在教學中若要突破此問題，關鍵在于問題處理方法的突破。本著優化教師教學過程和學生學習心理活動的原則，文章通過引入“復比定律”實現對多自變量乘積組合中比例問題的教學重構?，F以三個自變量乘積組合中的比例問題為例，將復比定律求解多自變量比例問題的數學原理證明如下：

根據控制變量法設三個自變量組合函數

Z=f(x，y，z)=yzf(x)=xzf(y)=xyf(z) (1)

其中自變量x>0，y>0，z>0，則

將(1)式兩邊同除以xyz得

根據(2)式可得

=C′f(x)f(y)f(z) (5)

其中C′為一非零常數，對任意x1>0，y1>0，z1>0，x2>0，y2>0，z2>0滿足Z=f(x，y，z)，則

即Z比=f(x，y，z)比=f(x)比f(y)比f(z)比(7)

通過上文的數學分析得到對于多自變量乘積組合的比例函數滿足Z比=f(x，y，z)比=f(x)比f(y)比f(z)比。此式將復雜的多自變量乘積組合的比例問題轉化成了各自變量比例的乘積問題，最大程度簡化了問題的求解，降低學生在處理此類問題時的難度，有效地提高了學生學習效率。

三、例析多自變量乘積組合中比例問題的求解

在處理多自變量乘積組合的比例問題時，只需依據基本物理規律求解出相關物理量(因變量)的函數解析式，然后依據復比定律求出因變量的比例通式，并帶入各自變量的比例關系即可實現對問題的快速求解。

【例1】如圖1所示，正三角形ABC所在平面與勻強電場的電場線平行(未畫出)，D點為BC邊中點，電場強度方向與AB邊垂直。質量相等的帶電粒子a、b從A點以相同的初速度沿AB射入電場，分別經過C點及BC邊的中點D。若不考慮粒子重力及粒子間相互作用，則a、b兩粒子的電荷量之比為

圖1

( )

A.9∶2 B.2∶9 C.3∶2 D.2∶3

( )

A.向心加速度大小之比為4∶1

B.角速度大小之比為2∶1

C.周期之比為1∶8

D.軌道半徑之比為1∶2

【例3】如圖2所示，用材料和粗細相同的導線繞成的單匝正三角形線圈甲、乙固定在同一水平面內，邊長之比為3∶1。線圈所在空間存在與線圈平面垂直的勻強磁場，磁感應強度B隨時間t的變化關系為B=B0sinωt，下列說法正確的是

圖2

( )

A.線圈甲、乙中產生的電動勢最大值之比為9∶1

B.線圈甲、乙中產生的電流最大值之比為1∶1

通過對上述三個案例求解過程的分析，進一步加深了對復比定律在求解多自變量乘積組合比例問題中的應用。問題處理方法的突破不僅優化了教學過程，降低了問題的求解難度，同時方法的簡化也讓學生在問題處理過程中不再覺得枯燥，提高了學生處理問題的效率，因此筆者認為“復比定律”對突破多自變量乘積組合的比例問題具有極大的實際意義。

四、結束語