基于數學極值條件下的物理情景、模型建構和臨界問題的研究

四川 鄧賢彬 劉劍琴

要想學好物理，不僅要加強對物理情景、物理模型的分析和理解，還離不開數學知識的強力支撐。高中物理中的極值問題對學生來說是學習中的難點，同時也是高考的重點和熱點。如何有效的突破這一學生學習中的瓶頸，筆者試圖通過本文加以研究，以饗讀者，愿有所裨益。

學過物理的人都知道，聽懂容易做題難。很多人都弄不明白原因究竟為何？筆者認為，出現這種現象的原因有如下幾方面：一是學生對物理情景思考過少，不重視情景的理解和模型建構；其次是將物理和數學對立，不能將二者有機地融合；三是對題干中的關鍵詞重視不夠，特別是對隱含條件不能有效揭示和利用，不會將物理的臨界問題和數學的極值條件整合考慮。本文試圖以數學為基礎，通過將物理問題結合物理規律建構成數學模型加以解決，在幫助學生解決問題的同時讓學生更加深入的體會數學與物理的緊密聯系。

1.一元二次函數

1.1 數學形式y=ax2+bx+c(a≠0，且b、c為常數)

1.2 物理情景與模型建構

1.2.1 勻減速直線運動

物理情景分析：因為物體速度越來越小，同時距離出發點也越來越遠，所以當速度減為零時距離出發點距離最遠。

模型建構：物體做勻減速直線運動

速度公式：v=v0-at①

由物理條件和公式①②可知

事實上，由于勻減速直線運動的物體其位移是關于時間的一元二次函數，利用數學知識和公式②可直接得出：

1.2.2 勻變速直線運動的追及問題

物理情景分析：兩物體在同一直線上同向追及，客觀上存在能否相遇的現實問題和追及中距離最大或者最小的極值問題，速度相等是追得上、追不上和剛好追上的臨界條件，也是兩物體相距最遠或最近的極值取得的條件。

模型建構：假設勻變速直線運動的物體A追及同一直線上勻變速直線運動的物體B(同時出發，剛開始二者相距x0)：設經過t時間

由③式即可直接求出兩物體距離最大值或者最小值。

1.2.3 閉合電路電源輸出功率最大問題

物理情景分析：閉合電路的外電路為非純電阻時，由閉合電路歐姆定律可知，電源輸出的電壓越大，輸出電流越小，輸出功率可能出現極值。

模型建構：P出=UI①

U=E-Ir②

由①和②得

由③式可知：

1.3 典例分析

【例1】物體以v0=30 m/s的初速度豎直向上拋出，空氣阻力忽略不計，g取10 m/s2。問：經過多長時間物體距拋出點最遠？距拋出點最遠距離是多少？

【解析】物體作豎直上拋運動，即為勻減速直線運動。

物理情景分析：以豎直向上為正方向v=v0+at，

即v=30-10t①

由①式知：當v=0時，即t=3 s時，物體距離拋出點最遠，將t=3 s代入②式得xm=45 m

由上面公式②直接整理：x=-5(t-3)2+45

當t=3 s時，xm=45 m

【例2】一輛汽車在十字路口等紅燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6 m/s 的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？最遠距離是多少？(2)假設兩物體一直保持運動性質不變，問汽車和自行車能相遇幾次？

【解析】設經過時間t汽車和自行車之間的距離為x，則

當t=2 s時兩車之間的距離有最大值Δxm，

且Δxm=6 m

解得t1=0(舍)，t2=4，所以兩物體在t=4 s時相遇一次。

【例3】如圖1所示，電源電動勢E=12 V，內阻r=3 Ω，直流電動機內阻R1=1 Ω。調節R2時可以使如圖電路輸出功率最大且電動機剛好正常工作(額定輸出功率為P0=2 W)，則R2的值是多少？

圖1

2.三角函數

2.1 數學形式

y=asinθ+bcosθ(a、b均為不為零的常數)

2.2 物理情景分析與模型建構

力是矢量，其作用效果不僅取決于力的大小，還與力的方向有關，故在涉及有關力的計算問題時，需要定量表示力的大小和方向。實際問題中，在坐標系中定量處理力的問題時，方向通常用角度加以表達。因而在解決平衡問題時利用平衡條件可將力的大小轉化為方向(角度)函數關系，那么生活中施力最小的實際問題，則可通過將力的最小值轉化成三角函數的最大值加以解決。

2.3 典例分析

【例4】拖把是由拖桿和拖把頭構成的擦地工具(如圖2)。設拖把頭的質量為m，拖桿質量可忽略，拖把頭與地板之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。某同學用該拖把在水平地板上拖地時，如果沿拖桿方向拉動拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。問：拉拖把的力的至少為多大，角度θ為多少，才能使拖把頭在地板上勻速后退？

圖2

【解析】設該同學沿桿方向用大小為F的力拉拖把，將此力沿豎直方向和水平方向分解，根據平衡條件：

FN=mg-Fcosθ①

Fsinθ=f②

又f=μFN③

聯立①②③式得

由④式知：

3.正弦定理

3.1 數學形式

三角形中，三角形三條邊長和對角的正弦值存在如下關系：

3.2 物理情景分析和模型建構

圖3

3.3 典例分析

【例5】如圖4所示，小球用細繩系住，放在傾角為θ的光滑斜面上，當細繩由水平方向逐漸向上偏移時(球位置不變，繩加長)，細繩上的拉力將

圖4

( )

A.逐漸增大 B.逐漸減小

C.先增大后減小 D.先減小后增大

【解析】對小球進行受力分析，小球受重力G、斜面的支持力FN、細繩的拉力FT，因為G、FN、FT三力共點平衡，故三個力可以構成一個矢量三角形，畫出某一定態如圖5所示：

圖5

根據題意知：θ不變，β從90°逐漸減小，α由銳角變直角再變鈍角，sinα的值先增大后減小，結合③式可知：FT先減小后增大且FTmin=Gsinθ，故正確選項D。

4.數列

4.1 數學形式

等差數列an+2-an+1=d(d為常數且不為零，n=0，1，2，3，…)

4.2 物理情景分析和模型建構

(1)物體做勻速圓周運動或者簡諧運動時具有周期性，其運動時間是關于周期的通項式；同樣機械波傳播時，空間上也存在一定周期性，其傳播距離是波長的通項式，這類問題可以利用數列知識加以解決。

物體做勻速圓周運動或者簡諧運動的時間

t=NT+Δt(N=0，1，2，3，…) ①

機械波沿波傳播方向傳播距離

x=Nλ+Δx(N=0，1，2，3，…) ②

由①和②式知，當N=0時，會出現極值。

(2)玻爾氫原子模型：

①軌道半徑公式：rn=n2r1(n=1，2，3，…)，其中r1為基態半徑，其數值為r1=0.53×10-10m；

(3)勻變速直線運動連續相鄰相等時間的位移差：x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2(定值)

4.3 典例分析

【例6】兩顆衛星A和B在同一軌道平面內圍繞地球作同一方向上的圓周運動，其中A衛星的周期為TA，B衛星的周期為TB，且TA>TB。剛開始兩衛星相距距離最近。問：至少需要多長時間，兩衛星再一次相距最近？

圖6

【例7】一列橫波沿x軸正方向傳播，在t1=0時刻的波形圖如圖7中實線所示，在t2=1.0 s時刻的波形圖如圖7中虛線所示。

圖7

求：(1)寫出這列波傳播速度的表達式；(2)求此波傳播速度的最小值。

【解析】方法一：平移法

波在t時間內傳播的距離

x=Nλ+Δx=(8N+6) m(N=0，1，2，3…) ①

聯立①和②式：

v=(8N+6) m/s(N=0，1，2，3，…) ③

由③式知：當N=0時，波的傳播速度最小且最小值vmin=6 m/s。

方法二：振動法

取平衡位置為坐標原點的質點0為研究對象：t1=0時刻正在向y軸負方向振動；t2=1.0 s時刻質點振動到最高點，則有

聯立①和②式：

v=(8N+6) m/s(N=0，1，2，3，…) ③

由③式知：當N=0時，波的傳播速度最小且最小值vmin=6 m/s

5.均值不等式

5.1 數學形式

(1)若a+b=c(定值)，則當a=b時，(a×b)有最大值；

(2)若a×b=c(定值)，則當a=b時，(a+b)有最大值。

5.2 物理情景分析和模型建構

有的物理問題，可能會出現兩個物體某個同類量之和為定值，需要判斷別的量的大小和這兩個量的乘積的關系；或者兩個量的乘積為定值，需要判斷別的量的大小和這兩個量的和的關系。這種情形，往往要用到數學中均值不等式求極值問題。

(3)閉合電路電源輸出功率和外電阻的關系

由上式可以得出

②當R>r時，電源的輸出功率隨R的增大而減?。?/p>

③當R

④P出與R的關系如圖8所示。

圖8

5.3 典例分析

【例8】月球上蘊藏著豐富的礦產資源。如果有一天人類能方便地在地、月間往返，便可以將月球上的礦物運送到地球上。假設地、月間的距離保持不變，隨著月球上的礦物越來越多的運送到地球，那么月球和地球間的萬有引力會如何變化？

【解析】設地球質量為M，月球質量為m，如果將月球上質量為m0的礦物運送到地球上。

運送礦物后月球和地球間萬有引力

如何比較F和F′的大小，對學生而言是一個難點。由數學模型可知：因為月球和地球質量之和為一定值(這一點學生不容易想到)，即M+m=定值，所以當M=m時，(M×m)的值最大，即月球和地球間的萬有引力最大。本來就有地球質量大于月球質量，即M>m，隨著地球質量越來越大，月球質量越來越小，兩者質量乘積應越來越小，即地球和月球間的萬有引力應越來越小。

【例9】如圖9所示，R1為定值電阻，R2為可變電阻，E為電源電動勢，r為電源內電阻，以下說法中正確的是

圖9

( )

A.當R2=R1+r時，R2上獲得最大功率

B.當R2=R1+r時，R1上獲得最大功率

C.當R2=0時，R1上獲得最大功率

D.當R2=0時，電源的輸出功率最大

圖10