分數(shù)布朗運動驅(qū)動的廣義模糊系統(tǒng)的滑模控制

彭 彪，解 靜，李 明

(青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院, 青島 266525)

布朗運動被認為是高斯白噪聲，當(dāng)Hurst指數(shù)的取值范圍不同時分數(shù)布朗運動擾動表現(xiàn)出不同的特點，能更好地描述實際現(xiàn)象，開始引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注，但分數(shù)布朗運動擾動下廣義模糊系統(tǒng)的滑模控制的案例非常少。SONG等[1]通過給出帶有切換參數(shù)和分數(shù)布朗運動的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，研究了混合耦合和參數(shù)不匹配的反應(yīng)擴散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)同步問題。ZHOU等[2]通過運用H?lder不等式和Gronwall不等式討論了一類由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題。ZHOU等[3]研究了分數(shù)布朗噪聲驅(qū)動的兩類時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題。

在變量較多的復(fù)雜系統(tǒng)中傳統(tǒng)控制策略很難分析問題，所以模糊控制越來越受到學(xué)術(shù)界的關(guān)注，尤其是T-S模糊模型系統(tǒng)。SUN等[4]研究了一類具有時滯和不確定性的切換T-S模糊隨機系統(tǒng)，通過設(shè)計濾波器并減小模糊濾波誤差。YANG等[5]研究了一類區(qū)間型模糊系統(tǒng)在信道衰落條件下的滑模控制問題。王杰勛等[6]研究了在非線性系統(tǒng)中，采用模糊控制針對事件觸發(fā)下的H∞容錯控制。

滑模變結(jié)構(gòu)對非線性系統(tǒng)非常友好，但滑模變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)會在運行過程中頻繁切換，其中的慣性會使系統(tǒng)在切換過程中產(chǎn)生滯后出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，不過滑模控制因為具有優(yōu)秀的抗干擾能力，調(diào)節(jié)參數(shù)少，響應(yīng)速度快等特點越來越受到歡迎。多年來滑模控制策略的研究使其得到了廣泛的應(yīng)用，如在電機控制、開關(guān)變換器、機器人控制、飛行器控制領(lǐng)域等方面的應(yīng)用。姚艷艷等[7]針對PMSM滑模控制出現(xiàn)的抖振以及無位置傳感器PMSM精度低的問題，設(shè)計滑模觀測器。ZHANG等[8]研究了一類受注入攻擊的T-S模糊系統(tǒng)的有限時間SMC，分析了相應(yīng)閉環(huán)模糊系統(tǒng)在整個時間區(qū)間上的FTB，并指出模糊系統(tǒng)的有限時間SMC可能是今后研究的重點。LI等[9]利用滑模控制(SMC)方法研究了一類連續(xù)時間不確定系統(tǒng)的有限時間有界問題，并采用動態(tài)事件觸發(fā)方案來確定測量輸出是否傳輸。劉晨等[10]通過設(shè)計一種滑模自適應(yīng)控制器來優(yōu)化外部干擾下的無人機編隊系統(tǒng)。

目前，關(guān)于分數(shù)布朗運動驅(qū)動的廣義模糊系統(tǒng)滑模控制的成果尚不完善。針對分數(shù)布朗運動，現(xiàn)在較多的Lyapunov泛函采用指數(shù)型的設(shè)計方法，該類型Lyapunov泛函的結(jié)論存在一定的保守性。因此本文構(gòu)造了一類新型與Hurst指數(shù)相關(guān)的Lyapunov泛函來研究廣義模糊系統(tǒng)在滑模控制器下的有限時間隨機有界問題。

1 系統(tǒng)描述及準(zhǔn)備知識

考慮完備概率空間上的T-S模糊系統(tǒng)。

Plant Rulei:

THEN

(1)

通過模糊混合，上述模糊模型(1)可變換為

(2)

(3)

定義1[11]：對上述系統(tǒng)設(shè)Lyapunov泛函V(t,x)∈C2,1，存在一個無窮小算子LH使得

(4)

(5)

(6)

式中：φ(s,t)=H(2H-1)|s-t|2H-2。

定義2[11]：考慮系統(tǒng)(1)，如果存在Lyapunov泛函V(t,x)∈C2,1滿足

V(t,0)=0,V(t,x)≥μ(|x|),

(7)

Vx(t,x)C(t)x(t)∈L(0,T),

(8)

并使得LHV(t,x)≤0成立，則系統(tǒng)(1)穩(wěn)定。

定義3[12]：給定時間區(qū)間[0,Tf]，常數(shù)c1>0,c2>0且有c2>c1，對稱正定矩陣P>0。如果具有分數(shù)布朗運動的廣義系統(tǒng)(1)是正則、無脈沖且滿足

Em{xT(0)ETPEx(0)}≤c1, ? Em{xT(Tf)ETPEx(Tf)}≤c2,

其中Em表示數(shù)學(xué)期望，則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于參數(shù)(c1,c2,[0,Tf],P)是有限時間隨機有界的。

2 滑模面函數(shù)構(gòu)造和滑模控制器設(shè)計

針對系統(tǒng)(2)，設(shè)計如下滑模面函數(shù)：

s(t)=GEx(t),

(9)

(10)

(11)

3 滑動模態(tài)的廣義有限時間隨機有界性分析

ETP=PE≥0,

(12)

(13)

(14)

證明：為了處理分數(shù)布朗運動對系統(tǒng)隨機穩(wěn)定性的影響，在時間區(qū)間[0,Tf]上針對滑動模態(tài)(11)定義如下與Hurst指數(shù)相關(guān)的新型Lyapunov泛函[13]：

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：ζT=[xT(t),xT(t-τ(t)),xT(t-d)]；

根據(jù)Schur補引理可知，Γi<0等價于定理1中條件(13)成立。

由于在時間區(qū)間[0,Tf]內(nèi)有下列不等式成立

(19)

(20)

進一步地，在LHV(t)<0成立的結(jié)果下，一定存在常數(shù)α1>0使得

LHV(t)<α1V(t),t∈[0,Tf],

(21)

對式(21)兩邊從0到t(t∈[0,Tf])積分并求均值可得

(22)

再利用Gronwall不等式可得Em{V(t)}

Em{V(t)}≥Em{xT(t)ETPx(t)},

(23)

且

(24)

其中c1=Em{xT(0)ETPEx(0)}，將式(23)和(24)代入式(22)，有

Em{xT(t)ETPEx(t)}≤c2。

(25)

綜上，根據(jù)定義3可得系統(tǒng)(11)是關(guān)于(c1,c2,[0,Tf],P)有限時間隨機有界的。(證畢)

4 滑模可達性分析

定理1得到了在滑模面函數(shù)(9)和等效控制器(10)下滑動模態(tài)(11)是廣義有限時間隨機有界的結(jié)論。下面證明系統(tǒng)(2)能在有限時間內(nèi)到達滑模面(9)，以確保滑動模態(tài)最終廣義有限時間隨機有界。

定理2：考慮具有分數(shù)布朗運動的廣義T-S模糊系統(tǒng)(2)，選擇滑模面函數(shù)(9)。如果滑模控制器定義為

(26)

證明：根據(jù)滑模面函數(shù)(9)，可以得到

(27)

現(xiàn)定義如下的Lyapunov函數(shù)：

(28)

(29)

進一步地，可以推導(dǎo)出

(30)

5 數(shù)值算例

對系統(tǒng)(2)，考慮一個具有2條模糊規(guī)則i∈T={1,2}的廣義T-S模糊模型，其參數(shù)矩陣定義如下：

綜上可知，該數(shù)值算例在上述可行解矩陣下是有限時間隨機有界的。

6 結(jié)論

在分數(shù)布朗驅(qū)動下，本文研究了具有時間滯后的廣義T-S模糊系統(tǒng)的滑模控制問題。首先將T-S模糊系統(tǒng)模糊混合后得到了模糊模型，然后對此模型構(gòu)造了滑模面函數(shù)，設(shè)計了滑模控制器，定義了與Hurst指數(shù)相關(guān)的新型Lyapunov泛函，利用線性矩陣不等式以及Gronwall不等式分析了滑動模態(tài)的有限時間隨機有界性，并分析了滑模面的有限時間可達性。最后通過數(shù)值算例驗證了以上結(jié)論的有效性。關(guān)于分數(shù)布朗運動擾動以及滑模控制中的抖振問題將在之后的研究中繼續(xù)探索。