分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾下廣義模糊系統(tǒng)的有限時(shí)間隨機(jī)有界性分析

劉銘宇，解 靜，李 明

(青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，青島 266525)

在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中，存在著大量時(shí)變、時(shí)滯、非線性等問題。工程師利用各種方法簡(jiǎn)化系統(tǒng)動(dòng)態(tài)很難達(dá)到控制目的，因此復(fù)雜的控制過程通常是由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)豐富的技術(shù)專家現(xiàn)場(chǎng)操控和識(shí)別。這一現(xiàn)象表明傳統(tǒng)控制理論對(duì)于過于復(fù)雜或者難以精確描述的系統(tǒng)無(wú)法發(fā)揮有效作用，因此便誕生了以模糊數(shù)學(xué)、邏輯關(guān)系和邏輯推理等理論為依據(jù)的模糊控制理論。1985年日本學(xué)者Takai T和Sugeno M首次提出T-S模糊控制系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)特點(diǎn)是將非線性與線性之間建立起一種聯(lián)系，可以用線性系統(tǒng)的方法來處理非線性模糊系統(tǒng)。經(jīng)過多年的發(fā)展，模糊控制技術(shù)的應(yīng)用已涉及圖像識(shí)別、軍事、化工、宇航飛天、國(guó)民經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域。

廣義系統(tǒng)是由微分方程和代數(shù)方程的混合形式表示的，不僅包含正常系統(tǒng)中的指數(shù)解，還含有正常系統(tǒng)所不具有的脈沖和動(dòng)態(tài)解。而且由于廣義系統(tǒng)的參數(shù)矩陣E是不滿秩的，正常系統(tǒng)是滿秩的，正常系統(tǒng)可以看作廣義系統(tǒng)的一個(gè)特例。不難看出，相較于正常系統(tǒng)廣義系統(tǒng)能夠更精確地描述物理系統(tǒng)，如電網(wǎng)系統(tǒng)、化工過程、核反應(yīng)系統(tǒng)等。

在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中存在著各種各樣的隨機(jī)因素，這些隨機(jī)因素可能會(huì)破壞被研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此研究隨機(jī)擾動(dòng)的控制問題具有重要意義。HU等[1]研究了分?jǐn)?shù)階噪聲驅(qū)動(dòng)的線性系統(tǒng)的隨機(jī)控制。WANG等[2]通過衰減增益控制器解決了帶有測(cè)量噪聲的質(zhì)量均方包容控制問題，其中測(cè)量噪聲采用標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)建模。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)獨(dú)立的增量過程，但在一些實(shí)際情況下許多現(xiàn)象具有記憶性。研究發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一類帶有Hurst指數(shù)H∈(0,1)的特殊高斯隨機(jī)過程，當(dāng)Hurst指數(shù)取值為H∈(1/2,1)時(shí)，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)將具備樣本路徑連續(xù)性和長(zhǎng)記憶性的特點(diǎn)。因此，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)可以更好地用于描述現(xiàn)實(shí)社會(huì)和自然界許多現(xiàn)象的本質(zhì)屬性，例如圖像紋理分析，交通流，智能電網(wǎng)，腦功能信號(hào)分析等。因此本文主要討論Hurst指數(shù)取值為H∈(1/2,1)時(shí)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

近年來，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中產(chǎn)生的隨機(jī)擾動(dòng)現(xiàn)象開始引起部分學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[3-5]給出了帶有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)方程的一些基本性質(zhì)。文獻(xiàn)[6]給出了具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)延遲微分方程的解。CHEN[7]用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)研究了隨機(jī)方程的近似能控性，即系統(tǒng)可以被導(dǎo)向到任意小的終態(tài)鄰域；ZHOU等[8]對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的滯后神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；LU等[9]研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾下線性系統(tǒng)的魯棒H∞濾波，等等[10-11]。目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)廣義模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響問題的研究還較少，因此本文致力于討論分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾下的廣義模糊系統(tǒng)的反饋控制和廣義有限時(shí)間隨機(jī)有界性問題。本文的主要貢獻(xiàn)是給出了模糊狀態(tài)的反饋控制器，并利用線性矩陣不等式得到系統(tǒng)有限時(shí)間隨機(jī)有界的一些充分條件。

1 系統(tǒng)描述及準(zhǔn)備知識(shí)

考慮一個(gè)帶有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的廣義模糊系統(tǒng)，它由一個(gè)T-S模糊模型近似。設(shè)該廣義模糊系統(tǒng)的第i條規(guī)則為

Plant Rulei：

THEN

(1)

通過模糊混合，上述模糊模型(1)可變換為

(2)

定義1[12]：給定時(shí)間區(qū)間[0,Tf]，常數(shù)c1>0,c2>0，且c2>c1，對(duì)稱正定矩陣P>0。如果具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的廣義隨機(jī)系統(tǒng)(2)是正則、無(wú)脈沖且滿足

Em{xT(0)ETPEx(0)}≤c1,?Em{xT(Tf)ETPEx(Tf)}≤c2,

其中Em表示數(shù)學(xué)期望，則稱系統(tǒng)(2)關(guān)于參數(shù)(c1,c2,[0,Tf],P)是有限時(shí)間隨機(jī)有界的。

定義2[13]：設(shè)μ(r)是一個(gè)非連續(xù)非遞減函數(shù)，μ(0)=0，且當(dāng)r>0時(shí)μ(r)>0。對(duì)于h>0，設(shè)Sh={x∈Rn:|h|

V(t,0)=0，V(t,x)≥(μ|x|),

Vx(t,x)Cx(t)∈L(0,T),

并使得LHV(t,x)≤0成立，則系統(tǒng)(2)隨機(jī)穩(wěn)定。

定義3[14]：假設(shè)帶有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的廣義隨機(jī)微分系統(tǒng)：

并且V(t,x)的隨機(jī)微分為

式中：φ(s,t)=H(2H-1)|s-t|2H-2。

2 T-S模糊反饋控制器的設(shè)計(jì)

采用并行分布式補(bǔ)償方案，為具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的廣義模糊系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)如下的模式相關(guān)的T-S模糊反饋控制器：

Plant Rulei：

THEN

u(t)=Cix(t),i∈T,

(3)

其中Ci∈Rq×n是待確定的狀態(tài)反饋增益矩陣。那么，通過模糊混合得到總體模糊控制器如下：

u(t)=C(?)x(t),

(4)

將模糊控制器(4)代入系統(tǒng)(2)，可得廣義模糊閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為

(5)

3 廣義有限時(shí)間有界性分析

ETP=PE≥0,

(6)

(7)

(8)

證明：為了處理分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性的影響，在時(shí)間區(qū)間[0,Tf]上定義如下與Hurst指數(shù)相關(guān)的新型Lyapunov泛函：

(9)

VxD(?)x(t)=2xT(t)ETPD(?)x(t)∈L(0,T)。

(10)

然后根據(jù)隨機(jī)微分公式有

(11)

(12)

式中：ζT(t)=[xT(t),xT(t-τ(t)),xT(t-d)]；

根據(jù)Schur補(bǔ)引理可知，Γ≤0等價(jià)于定理1中條件(7)成立。由于在時(shí)間區(qū)間[0,Tf]內(nèi)有下列不等式成立

(13)

將式(7)(12)和(13)代入式(11)，可以得到：

(14)

其中，

(15)

(16)

進(jìn)一步地，在LHV(t)<0成立的結(jié)果下，一定存在常數(shù)α1>0使得

LHV(t)<α1V(t)，t∈[0,Tf]

(17)

對(duì)式(17)兩邊從0到t(t∈[0,Tf])積分并求均值可得

(18)

再利用Gronwall不等式可得Em{V(t)}

Em{V(t)}≥Em{xT(t)ETPx(t)}

(19)

且

(20)

其中c1=Em{xT(0)ETPEx(0)}，將式(19)和(20)代入式(18)，有

Em{xT(t)ETPEx(t)}≤c2

(21)

綜上, 根據(jù)定義1可得系統(tǒng)(5)關(guān)于(c1,c2,[0,Tf],P)是有限時(shí)間隨機(jī)有界的。

XET=EX≥0

(22)

(23)

(24)

(25)

令X-1=P，根據(jù)Schur補(bǔ)引理可知條件(22)—(24)成立可得廣義模糊系統(tǒng)(5)關(guān)于參數(shù)[c1,c2,[0,Tf],X]是有限時(shí)間隨機(jī)有界的。

4 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，設(shè)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的Hurst指數(shù)取H=0.78，考慮一個(gè)具有2條模糊規(guī)則i∈T={1,2}的三維廣義T-S模糊系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)如下：

從而滿足定理1的條件，說明該數(shù)值系統(tǒng)是有限時(shí)間隨機(jī)有界的。

5 結(jié)論

本文針對(duì)帶有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的廣義模糊系統(tǒng)的有限時(shí)間隨機(jī)有界性問題展開了研究。首先設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，然后針對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)導(dǎo)數(shù)的特性建立了與Hurst指數(shù)相關(guān)且?guī)в卸胤e分的新型Lyapunov泛函，得到了廣義模糊系統(tǒng)有限時(shí)間隨機(jī)有界的充分條件，最后通過Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，證明了本文所提方法的有效性。