半馬爾可夫跳變系統在分數布朗運動干擾下的采樣控制

孟 靜，解 靜

(青島理工大學 信息與控制工程學院，青島 266525)

半馬爾可夫過程是能夠更接近于真實工程情況的模擬過程，它有著極大的實際研究潛力和深厚的理論支持，其研究所得的成績直接關系到生產實際中的關鍵環節，已經得到了國際上廣大學者的重視，并且部分研究成果已經被成功地應用于網絡控制、容錯控制和現代通信技術等領域。采樣控制是指在采樣周期內，系統將采樣瞬間的信息保持恒定。采樣控制器具有安裝方便、效率高、可靠性好等優點。WANG Jing等討論了具有半馬爾可夫跳躍拓撲的復雜動態網絡的廣義耗散同步問題，其中不同拓撲之間的切換是由半馬爾可夫跳躍拓撲觸發的馬爾可夫過程，核心是利用一種新的采樣數據控制器，使同步誤差系統隨機穩定[1]。WU Tianyu等研究了半時滯系統的H∞指數同步問題，利用采樣控制方法，實現了馬爾可夫跳變復雜動態網絡的控制；通過構造一個具有環泛函的合適李雅普諾夫泛函，并采用先進的不等式方法，給出了時滯半馬爾可夫跳躍復雜動態網絡H∞指數同步的充分條件[2]。WANG Jing等研究了半馬爾可夫跳變慣性神經網絡的有限時間同步問題，利用采樣數據控制來減輕有限通信帶寬的負擔[3]。LIU Yuan等研究了具有復雜動態網絡同步問題的半馬爾可夫過程，半馬爾可夫過程是用于描述不同模態之間切換的網絡拓撲；同時，在采樣系統中考慮了一個恒定的信號傳輸延遲數據控制器處理同步問題，采用內存采樣數據控制方案來保證主從系統的同步[4]。王慶等通過把采樣區間劃分為4個區間，研究了馬爾可夫跳變系統的采樣控制問題。針對這個系統，在采樣區間內建立2個狀態空間表達式，利用其建立了一種新穎的分段泛函[5]。田佳萍等研究了馬爾可夫模型的神經網絡采樣控制的主從同步問題，在零輸入策略的框架下提出了一種新型的采樣控制器[6]。綜上，研究基于馬爾可夫系統的采樣控制方法，如何設計采樣控制器是需要解決的第一個關鍵技術。

分數布朗運動具有平穩增量、自相似性和長程相關性等性質，這是許多自然現象和社會現象的內在特性，所以分數布朗運動構成的模型是使用最廣泛的模型之一。D’AURIA Bernardo等研究了一個反射馬爾可夫調制布朗運動，該運動的漂移擴散系數和2個邊界由有限狀態空間不可約連續時間馬爾可夫鏈共同調制[7]。HE Miao等研究了一類帶有分數布朗運動，具有馬爾可夫跳變參數的隨機非線性系統的事件觸發自適應動態面全狀態控制問題[8]。DONG Hailing等研究了部分未知過渡率、隨機噪聲和隨機耦合強度下的帶有分數布朗運動馬爾可夫交換復雜網絡的同步問題[9]。目前關于帶分數布朗運動的馬爾可夫系統的穩定性分析，大都采用指數型李雅普諾夫函數，且對此進行研究的文獻較少，本文選取了與Malliavin導數有關的新型Lyapunov泛函，利用線性矩陣不等式得到了Malliavin導數部分使得系統有限時間隨機有界的條件, 這是本文需要解決的第二個關鍵技術。

綜上，本文將對分數布朗運動干擾下半馬爾可夫跳變系統的采樣控制問題進行研究，為解決上述兩個關鍵技術問題，本文將研究采樣控制器的設計、系統有限時間隨機有界性分析，最后要通過數值算例來驗證所提方法和技術的有效性。

1 問題描述與假設

定義連續時間離散狀態的齊次半馬爾可夫過程為r(t):r(t)∈S={1,2,…,s}，其中連續時間t≥0，模態轉移速率定義為

在完備概率空間上，考慮一類受分數布朗運動干擾的半馬爾可夫跳變系統：

(1)

定義1[10](有限時間隨機有界)對半馬爾可夫跳變系統(1)，如果存在常數c1，c2(c10和Pi>0使得以下關系在時間區間[0,T]上成立：

E{xΤ(0)P(r(0))x(0)}≤c1?E{xΤ(t)Pix(t)}≤c2,?t∈[t1,t2]

則稱系統(1)在u(t)=0下是關于(c1,c2,T,Pi)有限時間隨機有界的。

式中：E{·}為數學期望；xT(t)為系統狀態向量x(t)的轉置，這里的T為轉置。

引理1[11]對任意矩陣W>0, 標量γ1和γ2滿足γ2>γ1，設矢量函數為w:[γ1,γ2]→Rn，則下列積分不等式成立：

2 主要結果

2.1 采樣控制器設計

定義一個序列tk(k=0,1,…,s)為采樣時間，且滿足t0

0≤tk+1-tk=a,a>0,?k≥0

(2)

在采樣時間tk(k=0,1,…,s)的定義下，系統(1)的控制信號由零階保持器生成，由此定義的采樣反饋控制器為

u(t)=Kix(tk),t∈[tk,tk+1],i∈S,

(3)

式中：Ki為需要設計的反饋增益矩陣；[tk,tk+1]之間控制器的數據通過零階保持器保持不變；x(tk)為采樣瞬間tk時狀態x(t)的測量值。

令τ(t)=t-tk,t∈[tk,tk+1]，則式(3)等價于：

u(t)=Kix(t-τ(t)),t∈[tk,tk+1]

(4)

對t∈[tk,tk+1]，將式(4)代入式(1)得到閉環系統(5)：

(5)

2.2 有限時間隨機有界性分析

下面討論閉環系統(5)的有限時間隨機有界性問題。

定理1對于任意的i=1,2,…,q，在有限時間區間[0,T]上，如果存在矩陣Si，Ki和對稱正定矩陣Xi，R1，R2使得以下線性矩陣不等式成立：

(6)

(7)

那么具有采樣反饋控制器(3)的系統(1)是有限時間隨機有界的。矩陣中*為對稱矩陣中對稱項的省略號。

證明：根據文獻[12]，在有限時間區間[0,T]上對i∈S構造如下新型Lyapunov泛函：

(8)

那么在Malliavin導數定義下對V(x(t),i,t)求無窮小算子LH可得

(9)

(10)

在時間區間[0,T]中，有以下不等式成立：

(11)

將式(10)，式(11)代入式(9)可得

(12)

下面分別證明E{I1}<0和E{t2H-1I2}<0。首先討論關于E{I1}<0的證明，顯然，下列不等式成立：

(13)

(14)

(15)

其中

然后討論關于E{t2H-1I2}<0的證明。現定義時間變量γ(t)(0<γ(t)

那么根據引理1可得

(16)

(17)

由式(17)可推導得

(18)

將式(18)代入式(16)得

(19)

(20)

綜上，可得E{LHV(x(t),i,t)}=E{I1}+E{t2H-1I2}<0。再根據定義1和文獻[12]的結論可知，閉環系統(5)是有限時間隨機有界。證明完畢。

3 數值算例

考慮具有3個半馬爾可夫跳變模式的系統(1)，即i=1，2，3，定義其矩陣參數為

半馬爾可夫過程的概率速率矩陣為

駐留時間κ=0.886 25, 概率密度函數gi(κ)服從Weibull分布，具體參數取值分別為g1(κ)=2κe-κ2，g2(κ)=3κ2e-κ3，和g3(κ)=5κ4e-κ5。定義T=15和H=0.7。利用MATLAB可求得滿足定理1條件的下列矩陣的可行解：

因此，該數值算例在定理1條件下是有限時間隨機有界的。

4 結束語

在分數布朗運動干擾下，本文對半馬爾可夫跳變系統的有限時間隨機有界性問題進行了分析。首先給出了采樣控制器的設計；然后，通過建立與Hurst指數相關且帶有二重積分的新型Lyapunov泛函，得到了閉環系統有限時間隨機有界的充分條件；最后數值算例驗證了本文所提方法的可行性。本文研究的分數布朗運動和采樣控制器設計方法將為后續研究復雜動態網絡提供參考價值。