考慮間斷分布切削刃真實運動軌跡的立銑刀側銑表面扇形殘留研究

張建超，牛興華*，孟意兵，于紫昭，王學騰

（天津理工大學a.天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，b.機電工程國家級實驗教學示范中心，天津300384）

早在20世紀40年代，MARTELLOTTI[1-2]通過具體的實驗與分析，給出了關于銑刀切削刃軌跡的明確描述，銑削加工過程中刀具切削刃的軌跡是次擺線，而不是圓弧線，并且推導出了準確的軌跡方程。目前，刀具切削刃真實運動軌跡也越來越多地被考慮到銑削過程中。賀小東等[3]通過計算銑刀切削刃的真實運動軌跡即次擺線運動軌跡，推導出未變形切削厚度計算的超越方程。通過對該超越方程的數值求解，得到了準確的未變形切削厚度。聶強等[4]通過研究刀具真實切削運動過程中的次擺線軌跡及其影響，提出一種新的瞬時切厚解析計算方法，并針對兩齒和四齒的情況給出瞬時切厚的具體計算公式。竇煒等[5]利用刀具切削刃真實軌跡即次擺線，處于切削狀態的刀刃與前一齒尖所經過的擺線運動軌跡相交，以其方位角與前一刀齒過同一交點時的方位角之差為輔助變量，建立了滿足銑屑形成條件的運動學超越方程。MONTGOMER等[6]和ALTINTAS等[7]基于切削刃真實軌跡建立了動態銑削模型并應用于周銑過程中，以此來確定顫振對工件表面的影響。

對于真實軌跡的研究，多數學者集中在利用真實運動軌跡去研究切削厚度和利用有限元仿真去研究銑削力、銑削溫度的變化規律，而對于真實運動軌跡下的銑削工件表面形貌的研究很少涉及。

零件表面形貌對于零件的表面質量以及零件的使用性能有很大的影響，很多學者對于機械加工中的表面形貌進行了大量的研究。OMAR等[8]研究了平頭銑刀端銑削系統，通過Z-map法描繪出了工件表面輪廓，并獲得了不同的主軸旋轉狀況下，零件表面形貌的變化情況。CHEN[9]在考慮切削參數的基礎上，利用切削刃掃掠軌跡與工件求交，獲得殘留高度來預測表面形貌，同時又分析了加工過程中的動態特性。MIZUGAKI[10]針對不同姿態下的球頭銑刀，對切削刃上的點進行了數學描述，并根據加工中刀具的運動，給出了工件表面形貌的解析方程，并進行了求解。

對工件表面形貌的研究，多數集中在研究兩行刀軌之間的行間殘留，而對銑刀回轉表面上間斷分布切削刃所形成的沿進給方向的扇形殘留的研究極少。

本文在考慮銑刀切削刃真實運動軌跡的同時，對考慮間斷分布切削刃的扇形殘留展開研究。

1 銑刀切削刃真實運動軌跡

1.1 擺線及次擺線

1.1.1 關于擺線及次擺線

擺線一般是指一個基圓沿直線作無滑動的滾動時，基圓上一定點所形成的軌跡。次擺線包括長幅擺線和短幅擺線。長幅擺線是指基圓外一定點的軌跡，短幅擺線是指基圓內一定點的軌跡。

擺線和次擺線軌跡的形成如圖1所示。其中X軸為與基線平行且過基圓圓心，R為基圓半徑，r為某一定點與基圓圓心之間的距離。當r=R時，軌跡為擺線；當r>R時，軌跡為長幅擺線；當r

圖1 擺線和次擺線軌跡的形成Fig.1 Formation of cycloid and trochoidal trajectory

1.1.2 擺線及次擺線的參數方程

將曲線表示為如下參數形式

可進一步得到

分別將式（1）和式（2）代入式（6）中，可得出擺線及次擺線的曲率。

擺線曲率K1為：

由擺線曲率的公式可以看出，隨著R的增大，擺線的曲率逐漸減小。

1.2 銑刀切削刃的真實運動軌跡

1.2.1 切削刃運動軌跡參數方程

銑刀在實際銑削加工時，刀具的運動包括繞自身軸線的旋轉運動和進給方向的平動，切削刃運動軌跡為次擺線。擺線的基圓半徑為[11]：

2）逆銑時次擺線運動軌跡的曲率。當逆銑即運動軌跡的轉角為φ=（2n+1）π（n=0，1，2，…）時，長幅擺線的曲率K為：

將式（11）與式（12）進行比較可知，順銑時的曲率大于逆銑時的曲率。

3）順、逆銑的扇形殘留分析。次擺線運動軌跡及順、逆銑如圖3所示，由于順銑時的曲率大于逆銑時的曲率，因而順銑時工件表面的扇形殘留高度大于逆銑時工件表面的扇形殘留高度。

圖3 次擺線運動軌跡及順、逆銑Fig.3 Cycloid motion trajectory and up and down milling

2 立銑刀側銑表面數學建模

2.1 立銑刀刀具曲面數學模型

立銑刀曲面模型如圖4所示，建立與刀具固結的刀具坐標系σ0（O0-X0Y0Z0），其中Z0軸為沿著刀具主軸軸線方向。θ為刀具曲面上任意一點P在X0O0Y0平面內與X0軸夾角，RT為刀具半徑。建立立銑刀的刀具曲面參數方程為：

圖4 立銑刀曲面模型Fig.4 Surface model of end mill

2.2 立銑刀切削刃數學模型

立銑刀切削刃模型如圖5所示，P′為切削刃上一點，P′在X0O0Y0平面內的投影與X0軸夾角為θ，刀具螺旋角為β，建立刀具坐標系下的切削刃曲線參數方程為[12]：

圖5 立銑刀切削刃模型Fig.5 Cutting edge model of end milling cutter

立銑刀的其他切削刃可看成是由第1個切削刃旋轉一定角度后形成的，多條切削刃的立銑刀參數方程為：

式中，Z為切削刃數，j為第j條切削刃，其中j∈[1，Z]。

3 立銑刀側銑工件表面形貌

3.1 扇形殘留

3.1.1 不考慮切削刃時立銑刀側銑表面

當對立銑刀側銑表面研究不考慮刀具切削刃時，立銑刀的銑削部分是以圓柱面的形式運動。銑削運動過后所形成的加工表面是一個光滑的平面。圖6為不考慮刀具切削刃的側銑工件表面仿真結果。

圖6 不考慮刀具切削刃的側銑工件表面仿真結果Fig.6 Surface simulation results of the side milling workpiece without the cutting edge of the end milling cutter

3.1.2 考慮間斷分布切削刃的側銑表面形貌

實際銑削加工過程中，刀具存在間斷分布的切削刃，銑刀切削刃真實運動軌跡為次擺線。

由于立銑刀的切削刃在回轉表面存在間斷分布，從而在刀具沿進給方向會有一部分材料未被刀具切削刃切除掉，從而殘留在工件表面上，稱為扇形殘留。圖7為考慮刀具切削刃的側銑工件表面仿真結果。

圖7 考慮刀具切削刃的側銑工件表面仿真結果Fig.7 Surface simulation results of the side milling workpiece with the cutting edge of the end milling cutter

由立銑刀的真實加工軌跡為次擺線軌跡，可推導出扇形殘留高度h。圖8為立銑刀切削刃次擺線運動軌跡，切削刃1和切削刃2中每相鄰的兩個最低點間的距離即每齒進給量fz，圖8中點M的高度即為扇形殘留高度h。當刀具切削刃數為兩個時，M點位于1/2每齒進給量處，代入公式（10）可得公式為：

圖8 立銑刀切削刃次擺線運動軌跡Fig.8 Trajectory of trochoidal motion of the cutting edge of the end milling cutter

式中，RT為刀具半徑，φ為刀具轉角。

從而可得扇形殘留高度的公式為：

3.2 仿真算法

仿真計算算法采用Z-map法[13]，假設工件不動，由刀具完成進給運動形成工件表面。

由于MATLAB編程計算的要求，統一將立銑刀的切削刃參數方程寫成齊次坐標矩陣形式為：

設刀具繞Z軸旋轉角度為φ，沿X、Y、Z方向進給速度分別為vx、vy、vz，分別與進給時間相乘，即為3個坐標方向的位移分量，旋轉變換矩陣表示為：

矩陣Q乘切削刃矩陣后得到切削整體坐標，再與加工前工件整體坐標進行布爾運算后，就可以得到加工后的工件表面形貌。

仿真計算中，首先在MATLAB軟件中建立網格模型，將工件的表面劃分為x×z個網格，根據仿真工件的大小和精度要求選取x和z。Y1表示為刀具離散點的y值，Y2表示工件高度的y值。然后將工件高度Y2賦予一個初值，本文初值為加工余量0.2 mm。根據精度要求將切削刃離散成若干個微元，由式（18）和式（19）計算出刀具離散點的值。最后與工件高度值比較，若Y1

圖9 仿真計算算法流程圖Fig.9 Flow chart of simulation calculation algorithm

3.3 扇形殘留仿真研究

應用MATLAB軟件仿真研究時，通過改變銑刀半徑和銑刀切削刃數來觀察表面形貌中扇形殘留的變化。

3.3.1 銑刀半徑對扇形殘留的影響

仿真試驗銑刀參數如表1所示。立銑刀半徑對扇形殘留的影響如圖10所示，其中圖10的（a）、（b）和（c）分別對應于表1中的第1組、第2組和第3組的各項數據。

圖10 立銑刀半徑對扇形殘留的影響Fig.10 Influence of end milling cutter radius on fan-shaped residue

表1 仿真試驗銑刀參數Tab.1 Milling cutter parameters for simulation test

通過改變銑刀半徑來觀察表面形貌中扇形殘留高度的變化。當其他量保持不變，只改變立銑刀半徑時，可得到立銑刀半徑與扇形殘留高度的關系，如圖11所示。

由圖11可分析出，隨著立銑刀半徑的增大扇形殘留高度逐漸減小。

圖11 立銑刀半徑與扇形殘留高度的關系Fig.11 Relationship between the radius of the end milling cutter and the fan-shaped residual height

3.3.2 銑刀切削刃數對扇形殘留的影響

仿真試驗銑刀參數如表2所示。立銑刀切削刃數對扇形殘留的影響如圖12所示，其中圖12的（a）、（b）和（c）分別對應于表2中的第1組、第2組和第3組的各項數據。

圖12 立銑刀切削刃數對扇形殘留的影響Fig.12 Influence of cutting edge number of end milling cutter on fan-shaped residue

表2 仿真試驗銑刀參數Tab.2 Milling cutter parameters for simulation test

通過改變銑刀切削刃數來觀察表面形貌中扇形殘留高度的變化。當其他量保持不變，只改變立銑刀切削刃數時，可得到立銑刀切削刃數與扇形殘留高度的關系，如圖13所示。

由圖13中關系可分析出，隨著立銑刀切削刃數的增加扇形殘留高度逐漸減小。

圖13 立銑刀切削刃數與扇形殘留高度的關系Fig.13 Relationship between the cutting edge number of end milling cutter and the fan-shaped residual height

4 結論

本文首先提出了刀具切削刃在銑削中的真實運動軌跡，建立了立銑刀回轉曲面方程和切削刃方程。然后研究了考慮立銑刀切削刃的真實運動軌跡的工件表面成形算法，比較了真實運動軌跡下順銑與逆銑的曲率大小。接著給出了一種求解扇形殘留高度的求解方法。最后通過使用MATLAB仿真軟件改變立銑刀半徑和立銑刀切削刃數進行仿真實驗。由仿真實驗結果可以得出如下結論。

1）順銑時的曲率大于逆銑時的曲率，因而順銑時工件表面的扇形殘留高度大于逆銑時工件表面的扇形殘留高度。

2）當立銑刀其他參數不變，改變立銑刀半徑的大小時，隨著立銑刀半徑的增大扇形殘留高度逐漸減小。

3）當立銑刀其他參數不變，改變立銑刀的切削刃數時，隨著立銑刀切削刃數的增加扇形殘留高度逐漸減小。

因此，在實際的銑削加工中采用多刃半徑大的刀具會極大地改善銑削表面質量。諸上研究對零件表面質量的研究具有積極意義。