從公理化系統角度分析中學幾何教材

侯嬌

摘要：幾何公理化系統可以將幾何學的所有知識系統組織起來，具有分析、總結數學知識，推動新理論產生等作用。盡管公理化系統很重要，但是在中學教材并未談及公理化系統。本文介紹了公理化系統的形成及其概念，剖析了中學幾何教材的公理化結構，以此啟發幾何教學。

關鍵詞：公理化系統、中學幾何、希爾伯特

引言

目前對中學數學幾何教育的研究多注重于現代信息技術、教學方法的運用，如何在幾何教學中培養數學思維與數學核心素養等研究，①—③對于中學幾何教材的整體框架研究較少。對中學教師而言，了解幾何公理化體系，掌握基本概念、公理和命題的區別與聯系，明晰中學幾何對公理化系統的處理將有利于把握幾何課程的實質。

1、1、簡述公理化系統

1.1公理化系統的起源

歐幾里得的《幾何原本》，標志著實體公理體系的形成。在對《幾何原本》不斷研究下，產生了以羅氏幾何和黎曼幾何為代表的非歐幾何。希爾伯特天才得總結了前人的研究，發表《幾何學基礎》一書，標志著形式公理體系的形成。

1.2公理化系統的概念

我國數學方法論的倡導者和帶頭人徐利治先生認為：所謂公理化方法（或公理方法），就是從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的的命題（基本公理）出發，利用純邏輯推理法則，把一門數學建立成為演繹方法的一種。④這里的公理化方法指的是希爾伯特的形式公理化方法。

基本概念指的是不加定義的概念，它們就必須是真正基本的，而無法使用更原始更簡單的概念去界定的概念。歐幾里得的實體公理體系中基本概念是對空間對象的描述性定義。為建立更嚴密的公理化系統，在希爾伯特的形式公理體系中，基本概念是脫離了具體空間，包含對幾何科學基本概念之間所存在的關系的描述。希爾伯特的公理體系雖然遵循歐式幾何的做法，仍然以點、線、面及其相互關系作為基本概念，但是正像他描述的那樣：“有可能在所有幾何命題中，用桌子、椅子、啤酒杯來代替點、線、面。”

公理是對諸基本概念（例如基本元素、基本關系的那個概念）相互關系的規定。公理是不證自明的，由公理可以推出同一體系的全部命題。

1.3公理設置的要求

希爾伯特形式公理化系統的完善性體現在公理需要滿足相容性、獨立性和完備性。

公理的相容性即從這些公理出發不可能推出任何矛盾的命題 （定理）。公理的獨立性即每一個公理不可由其他公理推出。每一條公理都應該獨立于其他所有公理存在。公理的完備性即該體系中有足夠個數的公理，以之為依據可推導出該體系的全部結論。

2、中學幾何教材的公理化結構

中學教材中的幾何是以希爾伯特的形式公理系統為基礎進行一些變化所建立的歐式幾何，它是建立在混合型的公理系統的之上。它延續了希爾伯特公理化體系中的相容性，但在其他嚴密性方面做出了一些犧牲。

2.1中學幾何教材的不完備性

從圖1可以看出，中學幾何教材的公理分組與希爾伯特公理系統的分組有所不同，缺少了順序公理、合同公理、連續公理。中學涉及到這些公理的知識均加以直觀默認。

中學中默認同一直線上的三點，必有一點位于其他兩點中間。這是希爾伯特公理系統中順序公理的第三條所闡述的內容，雖然是顯而易見的事實，但是在完整的公理體系中，必須滿足公理的完備性，即公理不能少。

2.2概念沒有定義或不精確定義

中學幾何教材中不提不予定義的基本概念。希爾伯特公理化系統中的點、線、面是不加定義的基本概念。對于這些不加定義的基本概念，人教版七年級上冊課本中通過直觀描述或經驗性知識來解釋的。面由“平靜的水面”、“建筑物的屋頂”而得。線由“流星劃過的光線”、“面和面相交”而得。點由“天上的星星”、“世界地圖上的城市”、“線與線相交”而得。

中學幾何教材中的一些幾何概念沒有定義或沒有精準定義。中學中一些概念的嚴格定義非常復雜或者在中學知識中無法定義，因此不進行過多定義，而是借助學生的經驗和圖形來理解。比如“重合”、“一方”、“長度”、“旋轉”等如需進行定義則需要用到合同公理、順序公理等中學沒有講授的公理，但是他們的幾何直觀性很強，通過圖形與經驗學生就可以理解。再比如“面積”，在北師大、人教版、蘇教版三個中均未給出明確定義，而是通過比較表面大小來使學生產生認知，并未進行精準定義。

2.3中學幾何教材的不獨立性

觀察圖1可得，中學幾何教材的公理分組比希爾伯特的公理分組多了線段公理、全等公理、求積公理。在希爾伯特的公理系統中，它們應該是由公理推出的命題，但是由于它們證明復雜而事實顯而易見，便在中學中作為公理給出。同時中學幾何教材中出現將希爾伯特的多個公理結合為一個公理給出。

2.4中學幾何教材中公理的順序

希爾伯特的公理是按照邏輯順序排列的，而中學幾何教材中的公理系統是按照圖形復雜程度編排。比如先給出平行公理再講授三角形，可以較早解決直線的相互位置關系和三角形的外角定理。

從公理化角度看中學幾何教材有很多不嚴密的地方，但從學生接受的角度看，這種教材編排有很多優越性。教師需在邏輯的嚴密性和學生的接受程度上找到平衡。

參考文獻：

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[4]徐利治著.數學方法論十二講[M].大連：大連理工大學出版社，2007：57-65.