基于彎曲梁流變試驗和黏彈性理論評價瀝青低溫性能研究*

銀 花，李 凱

(1. 內蒙古大學 交通學院， 呼和浩特 010070；2. 內蒙古大學 橋梁檢測與維修加固工程技術研究中心， 呼和浩特 010070)

0 引 言

瀝青混合料中最重要組成部分就是瀝青，其物化性能的好壞直接影響了混合料性能，當溫度較低時，瀝青會出現硬度升高、勁度模量和抗變形能力迅速下降的現象，在寒冷地區，由于瀝青材料的感溫性較強而使得低溫開裂病害成為了瀝青路面的最常見且最主要的病害之一，這主要是由于瀝青混合料在低溫時，瀝青層內會產生較大的的溫度應力，當該應力超過抗拉強度時便會產生低溫開裂。美國SHRP(Strategic highway research program)通過研究發現，瀝青本身的特性對低溫性能的影響程度超80%，可見瀝青的低溫性能是影響瀝青路面低溫抗裂能力的最主要的因素[1-2]。

眾多專家學者的研究認為瀝青彎曲梁流變(BBR)試驗是用來評價瀝青的低溫性能最為合理的試驗，該試驗主要通過對瀝青的低溫蠕變勁度S(t)和蠕變勁度變化率m(t)等參數進行測試后來表征出瀝青的低溫斷裂特征，該試驗方法在我國也較為常用[3-7]，而美國SHRP認為BBR試驗是更適于評價瀝青混合料的路用性能且具有較高的準確性的一種試驗方法。目前常用于描述瀝青低溫性能的流變模型主要有：Burgers模型、CAM模型、Superpave低溫開裂模型和Hajek模型等。比如，S. Liu等利用 Burgers模型對 BBR 試驗數據進行擬合，明確了m值與勁度模量比值m/S的物理意義，并驗證了其余流變學指標間的相關性[8]。S.Afla等采用黏彈性流變學方法評價了改性瀝青的低溫性能[9]。譚憶秋等結合CAM模型計算了雙對數坐標圖中勁度模量主曲線下的面積SA，不僅同時兼顧了蠕變速率和蠕變勁度，還能在較寬溫度域和時間域下評價瀝青材料的低溫性能[10]。王琨等基于BBR試驗，分析了瀝青的低溫性能和Burgers模型的黏彈性[11]。王嵐等結合Burgers模型來評價多聚磷酸改性瀝青的黏彈性，由模型四參數組合的低溫指標具有高度的統一性[12]。雖然這些模型對于評價瀝青低溫蠕變特性具有較高的準確性，但由于模型較為復雜和參數確定方法難統一限制了其應用。

有關分數階導數黏彈性模型在瀝青和瀝青混合料的描述和評價方面的研究也不斷開展。例如，C. Celauro和C. Fecarotti等利用分數階導數模型對純瀝青及瀝青混合料的蠕變特性進行了研究[13-14]。詹小麗等利用分數階導數Maxwell模型和廣義Maxwell模型分別對改性瀝青的動態黏彈性能進行了擬合分析，結果表明，分數階導數Maxwell模型在全過程精確描述了改性瀝青的動態力學性能，模型參數較少且簡單，并且參數具有一定的物理意義。而廣義的Maxwell模型在曲線兩端的擬合效果較差[15]。銀花等提出用分數導數三元件固體模型描述瀝青混合料的動態力學特性，結果表明，分數階導數三元件固體模型擬合效果較好，且模型參數少，擬合參數也具有一定的物理意義[16]。李銳鐸等提出了改進的分數階導數經驗蠕變模型并利用該模型來描述瀝青膠砂的蠕變特性[17]。宋云連等基于分數階黏彈性模型，通過低溫彎曲梁流變試驗(BBR)分析了RH和Evotherm溫半劑對苯乙烯—丁二烯—苯乙烯嵌段共聚物(SBS)改性瀝青低溫性能的影響[18]。

總之，目前國內外部分學者，先后利用分數階導數黏彈性本構模型著重研究了瀝青及瀝青混合料的高溫流變性能等，而采用分數階導數黏彈性模型對于瀝青低溫流變性能方面的研究和分析卻很少。鑒于瀝青低溫流變性能對瀝青路面低溫抗裂性能起著重要影響，本文基于分數階導數黏彈性模型，通過低溫彎曲梁流變試驗(BBR)分析了瀝青的低溫性能，為開發具有優異低溫性能的瀝青材料提供了研究基礎。

1 黏彈性行為的分數階演算

1.1 整數階導數黏彈性模型

在瀝青小梁彎曲流變(BBR)試驗的測試溫度范圍內，瀝青膠結料屬于線性黏彈性材料。一般情況下，線性黏彈性材料的力學行為可以通過串聯或并聯的彈簧和牛頓黏壺來模擬，它們的本構關系分別滿足胡克定律和牛頓內摩擦定律。

式(1)描述了黏彈性材料的一般數學公式，它涉及時間的整數階導數，并描述了應力σ(t)和應變ε(t)之間的本構關系[19]。

(1)

其中，ai和bj為常數值。

1.2 分數階導數黏彈性模型

分數微積分的黏彈性分數模型是在經典流變學本構方程中用非整數階(0<α<1)的分數導數(dα/dtα)代替一階導數發展來的。M. Gaputo等建立了分數階本構方程并通過該方程對巖漿的運動進行了詳細描述，但這種方程由于無法保證熱力學和動力學上的穩定性而在物理角度上看來不具備合理性[20]。

R. C. Koller提出的彈壺(spring-pot)概念即通過彈壺代替經典模型中的彈簧和黏壺，通過建立本構方程使得力學和熱力學方面更具有穩定性[21-22]。因此本文對彈壺的分數階微分黏彈性模型也進行了分析研究。

1.2.1 彈壺及其性質

R. C. Koller以分數階微分理論為基礎，提出了一種描述黏彈性行為的彈壺元件(圖1)[22]，其力學響應為如式(2)

圖1 分數階導數彈壺模型Fig 1 Fractional derivative bullet pot model

σ(t)=E1-αηαDαε(t)=EταDαε(t)

(2)

其中，τ=η/E為材料的平均松弛時間；當α=0時，式(2)退化為 Hooke 彈簧的情形；當α=1時，式(2)退化為Newton黏壺的情形，因此式(2)可視為一般意義上的彈壺的力學響應。

為分析彈壺在靜態響應下的特性，對式(2)作Laplace變換和Laplace 逆變換后得到的蠕變柔量如式(3)

(3)

式中：α為材料的黏彈特性參數，α越大材料的黏性越強。

1.2.2 黏彈性行為的分數階演算

P. G. Nutting[23]和M. D. Paola等[24]觀察到黏彈性材料的試驗測試顯示出一種冪函數衰減規律而不是指數。C. Celauro等[25-27]的研究結果也表明，瀝青的蠕變試驗遵循冪函數衰減規律，而不是指數型，并提出描述瀝青本構模型的最合適的算子是一個分數算子。根據這些實驗證據，如果假定將蠕變柔量定義為單位階躍函數(應力)H(t)的應變，并由冪函數描述。那么，應變公式中的遺傳積分就是一個分數階積分。下面將證明這一結論，即采用Nutting方程，如式(4)給出的蠕變柔量可以構建分數階導數黏彈本構模型[25-27]。

蠕變柔量通過Nutting公式可以寫成如式(4)

(4)

式中，A和α為材料參數，通過模型計算可求出。

對式(4)求一階導數得到

J′(t)=Aαtα-1

(5)

眾所周知，在動力學中，線性靜態系統在t=0時刻的響應可以寫成如下古典的Duhamel積分形式：

(6)

式中，δ(t)為單位沖擊響應函數。

根據單位沖擊響應函數δ(t)的定義(或與單位階躍函數H(t)的關系)可知：

δ(t)=J′(t)

(7)

將式(5)和(7)代入式(6)可得到：

(8)

考慮到對于函數f(t)的Riemann-Liouville分數階積分定義為：

(9)

將式(9)代入式(8)，可以得到：

(10)

以 Riemann-Liouville 對分數階微積分定義將式(10)轉換為如下公式：

σ(t)=cαDαε(t)

(11)

由式(11)、(10)、(2)可得：

(12)

又由αΓ(α)=Γ(1+α)，將其代入式(12)可得：

(13)

由式(13)可知，式(4)等價于式(3)，即如式(14)：

(14)

式(14)表明Nutting方程的蠕變柔量與分數階導數黏彈本構模型的蠕變柔量相等。

由式(2)、(11)和(14)可知，采用Nutting方程描述材料的蠕變柔量等價于實現分數階導數彈壺模型(圖1)[25-27]，并且分數階導數彈壺蠕變柔量與Nutting 蠕變柔量之間存在著一定的關系，即分數階導數黏彈性模型的分數階導數階次α和材料的黏彈性能參數E與Nutting 蠕變柔量系數A相關，即A為變形因子，表征黏彈性材料的抗變形能力；分數階導數階次α則反映黏彈性材料的黏彈性能，即α為黏彈因子[17]。進而從理論上證明了分數階導數黏彈模型參數的物理意義及應用價值，利用試驗實測結果經擬合可以確定出分數階導數黏彈性模型的參數A和α，并且可以用于為瀝青膠結料的低溫黏彈行為建模。

2 瀝青彎曲梁流變( BBR)試驗

2.1 試驗材料

試驗所選用的瀝青材料為4種瀝青，包括90#基質瀝青(Neat)、苯乙烯-丁二烯-苯乙烯三嵌段共聚物(SBS)瀝青、極寒瀝青(Cold)和橡膠瀝青(Rubber)等，由中國石油遼河石化公司提供。根據《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗規程》(JTG E20-2011)[28]對各種瀝青的參數指標進行測試，并滿足《公路瀝青路面施工技術規范》(JTG F40-2004) )[29]對于各項指標的要求。表1為基質瀝青和改性瀝青的常規性能指標[30]。

表1 基質瀝青和改性瀝青的性能指標Table 1 Performance index of unmodified and modified asphalt binders

2.2 BBR試驗結果與分析

瀝青彎曲梁(BBR)試驗，選用上述的4種瀝青，以TE-BBR彎曲梁流變儀進行試驗測試，具體儀器和樣品制備如圖2和3所示[30]。以《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗規程》(JTG E20-2011)和美國 AASHTO M320-10 作為依據進行瀝青BBR試件的制備及試驗操作。對上述4種瀝青樣品進行旋轉薄膜加熱老化及PAV長期老化處理。根據規范ASTM D2872[31]和ASTM D6521[32]分別進行 RTFOT和PAV老化試驗，獲得短期老化和長期老化之后的樣品試件。BBR試驗選擇的溫度為-12，-18，-24和-30 ℃，平行試驗兩組，數據差異較大時補充實驗，最終瀝青蠕變勁度模量S和蠕變速率m值取試驗平均值[30]。

圖2 彎曲梁流變儀及其內部環境Fig 2 Curved beam rheometer and its internal environment

log[S(t)]=A+B[log(t)]+C[log(t)]2

(15)

式中，A，B和C為回歸系數，S(t)為瀝青膠結料的蠕變勁度模量，MPa；t為時間，s。

根據ASTM D6648研究表明[12]，在雙對數坐標下，曲線log[S(t)]-[log(t)]的變化趨勢可以通過二次拋物線方程(式(15))進行回歸。

基于上述定義的蠕變速率，即m值可由式(16)計算[12]：

圖3 彎曲梁流變試驗樣品Fig 3 Curved beam rheological test sample

(16)

BBR試驗評價兩個參數：(1)蠕變勁度模量S,即瀝青抵抗荷載的能力；(2)蠕變速率m值，即荷載作用時瀝青勁度隨時間的變化率。這兩個指標是建立在流變力學基礎上的，能充分反映溫度、時間對瀝青低溫流變性質的影響[12,18]。

圖4和5為4種瀝青BBR試驗 60 s時的蠕變勁度模量log[S(t)]和蠕變速率m(t)值隨溫度T的變化情況，即等時曲線。

圖4 4種瀝青60 s時勁度模量log[S(t)]與溫度T的變化Fig 4 log[S(t)] at 60 s versus test temperatures for unmodified and modified asphalt binders

根據 Superpave 性能等級規范，用PAV 老化后瀝青試樣的勁度模量S和蠕變速率m值可以確定瀝青的低溫性能，同時滿足S≤300，m≥0.3 的要求。

由圖4、5和表2可知，4種瀝青的蠕變勁度模量S隨溫度下降而不斷增加，而蠕變速率m值隨溫度降低而減小，相關學者認為S和m與溫度呈現線性關系，據此建立了線性關系表達式，但通過試驗結果驗證，實際上S和m值與溫度之間不能粗略地認為是線性關系，尤其在90 #基質瀝青和SBS改性瀝青進行BBR試驗時，當溫度低于-18 ℃時，其S和m值往往會發生突變，這是由于瀝青會發生玻璃化轉變，而不是始終線性變化。

3 BBR試驗的分數階導數黏彈性模型分析

3.1 BBR試驗的分數階導數模型參數

正如前面所證明，采用冪函數描述材料的蠕變柔量等價于采用分數階導數彈壺模型(圖1)描述瀝青膠結料的黏彈行為。又根據蠕變勁度模量和蠕變柔量的關系，很明顯：

(17)

采用式(17)對4種瀝青4個溫度下的BBR試驗實測得到的蠕變勁度模量進行擬合，將得到的分數階導數黏彈性模型的參數A和α的結果列于表2，隨溫度的變化如圖6和7所示。

表2 不同溫度下基質和改性瀝青的分數階導數黏彈性模型參數值Table 2 Element values of fractional viscoelastic model for various unmodified andmodified asphalts at different temperatures

由圖6可知，對同一溫度，橡膠瀝青和極寒瀝青的利用分數階導數黏彈性模型擬合得到的參數A值較SBS改性和基質瀝青的A值大；A值隨著溫度的降低而逐漸減小，在溫度為-12～-18 ℃范圍內下降趨勢較快，在-24～-30 ℃范圍內下降趨勢減慢；隨著溫度的降低，4種瀝青間的差值也逐漸減小，當溫度降低到-30 ℃后，A值很小趨于零，說明瀝青的低溫抗變形能力隨著溫度的下降而下降。因此，同試驗溫度條件下，可以將A作為瀝青的低溫性能評價指標，稱A為變形因子，A值越大，低溫下柔性越大，瀝青的低溫抗裂性越好。

圖5 4種瀝青60 s時蠕變速率m(t)與溫度T的變化Fig 5 m(t)at 60 s versus test temperatures for unmodified and modified asphalt binders

圖6 4種瀝青的參數A隨溫度的變化Fig 6 Variation of parameter A of four asphalts with temperature

由圖7可知，相同溫度下，基質瀝青的α值最小，材料的黏彈性成分越小；隨著試驗溫度的降低，其α值逐漸減小，說明瀝青的黏性性能隨著溫度的下降而逐漸減小，越來越接近彈性體。因此，相同試驗溫度條件下，可以稱α為黏彈因子(松弛因子)，α值越大，表明瀝青低溫松弛能力越強。

圖7 4種瀝青的參數α隨溫度的變化Fig 7 Variation of parameter α of four asphalts with temperature

3.2 基于分數階導數模型確定BBR試驗蠕變速率m值

根據ASTM D6648[31]的計算方法，考慮蠕變速率m值的確定過程，則可以確定出蠕變速率m值只與分數階導數黏彈模型的分數階導數階次α有關。對式(17)兩邊取對數，則有：

log[S(t)]=-logA-αlog(t)

(18)

利用蠕變速率m值的定義，可以確定：

(19)

將不同溫度下BBR試驗實測得到的蠕變速率m值和采用分數階黏彈性模型擬合得到的分數階導數階次α值(即計算m值)進行對比，對比結果如圖 8所示。

由圖8可知，一方面，4種瀝青不同溫度下的實測蠕變速率m值和分數階導數黏彈性模型參數，即分數階導數階次α值(計算m值)，經計算相差都小于1%，兩者相關性非常好，因此表明采用分數階導數彈壺模型可以較好地預估瀝青膠結料的低溫蠕變速率m和線性黏彈性行為；另一方面，蠕變速率m值可以表征瀝青低溫勁度的時間敏感性及應力松弛能力，m值越大，瀝青的應力松弛性能越好，其低溫抗裂性能越好。由圖5發現，溫度越低，蠕變速率m值越小，瀝青低溫性能越差。根據SHRP PG分級標準可知，m≥0.3作為一項重要的參考指標評價結果，當溫度為-24 ℃時，極寒瀝青的m值≥0.3，其瀝青低溫松弛能力較好；當溫度降低到-30 ℃時，反而橡膠瀝青的低溫松弛能力最好。

圖8 不同溫度下基質和改性瀝青的蠕變速率m實測值和α值(計算m值)對比Fig 8 Creep rate m measured and the α value (calculated m value) of the unmodified and modified asphalt at different temperatures

3.3 基于分數階導數模型建立BBR試驗參數之間的物理方程

基于分數階導數黏彈模型，本文推導建立BBR試驗參數蠕變勁度模量S和蠕變速率m之間的關系。

由式(15)，可以導出：

S(t)=10{A+B[log(t)]+C[log(t)]2}

(20)

通過定義：

(21)

并把式(20)代入式(21)，可得：

M1(t)=10{A+B[log(t)]+C[log(t)]2}×

(22)

由log[S(t)]的曲線和測試溫度的特征，可知

B+2Clog(t)<0

(23)

因此，由式(16)推導出：

B+2Clog(t)=-m(t)

(24)

最后，把式(20)和(24)代入式(22)，可得：

(25)

另一方面，根據式(17)可知，蠕變勁度模量S(t)是蠕變柔量J(t)的倒數，并且定義M2(t)與M1(t)相同[12]，即

(26)

把式(17)和(19)代入式(25)，并由式(26)可得：

(27)

由式(5)和(17)，把式(27)可以改寫為式(28)：

M2(t)=-[S(t)]2×J′(t)

(28)

顯然，M1(t)和M2(t)表示相同的物理概念。因此，由式(25)-(28)可以推導出式(29)[12]：

(29)

把式(29)可以寫成以下形式[12]：

(30)

其中，J′(t)為蠕變柔量速率，且有：

J′(t)=Aαtα-1

(31)

根據式(30)可知，在某一特定時間，通過增加蠕變速率m(t)的值和減少蠕變勁度模量S(t)的值，同樣都可以得到更大的蠕變柔量速率J′(t)，這也是在較低的服務溫度條件下瀝青BBR試驗所期望的趨勢。因此，蠕變柔量速率J′(t)可以作為評價瀝青膠結料的低溫性能指標，并且蠕變柔量速率J′(t)越大，意味著瀝青具有較好的低溫抗裂性能。

圖9為瀝青蠕變柔量速率J′(t=60 s)與試驗溫度變化圖。由圖9可知，隨著溫度的升高，蠕變柔量速率J′(t)會增大。又考慮到表2中列出的分數階導數黏彈性模型參數A、α和分數階導數黏彈性流變行為的概念，顯然在更高的溫度下，瀝青具有更大的功率，分數階導數階次α值越大，表明瀝青的黏性成分越大，低溫下具有較大的柔性，抗開裂性能更好。

圖9 基質和改性瀝青60 s時的蠕變柔量速率J′(t)與溫度的變化Fig 9 Derivation of creep compliance for unmodified and modified asphalt binders at 60 s

4 結 論

(1)基于分數階導數理論，證明了黏彈性材料的黏彈性行為分數階演算，即采用Nutting方程描述材料的蠕變柔量等價于實現分數階導數彈壺模型，并進一步推導建立了分數階導數彈壺蠕變模型與Nutting蠕變方程之間的關系，分數階導數黏彈性模型的分數階導數階次α和材料的黏彈性能參數E與Nutting蠕變柔量系數A相關，變形因子A可表征黏彈性材料的抗變形能力；分數階導數階次α為黏彈因子，反映黏彈性材料的黏彈性能，從而明確了分數階導數黏彈模型參數的物理意義及應用價值。

(2)BBR試驗4種瀝青60 s 的蠕變勁度模量log[S(t)]和蠕變速率m值隨溫度的變化并不具有顯著的線性關系，并且改性瀝青的蠕變速率m值均大于基質瀝青，而蠕變勁度模量log[S(t)]明顯小于基質瀝青，應力松弛能力強，其低溫性能較基質瀝青好，尤其橡膠瀝青的低溫抗裂性能最好。

(3)通過理論推導和試驗數據擬合，與實測瀝青彎曲梁流變試驗(BBR)數據對比發現，分數階導數黏彈性模型能夠更加精確地描述瀝青彎曲梁流變(BBR)試驗中的瀝青低溫性能，模型參數都具有物理意義，模型參數A表示瀝青低溫變形因子，參數分數階導數階次α表示瀝青低溫松弛因子，并且α可以較好地預估瀝青的低溫蠕變速率m值。

(4)基于分數階導數黏彈性模型，推導構建了瀝青低溫蠕變勁度模量S和蠕變速率m之間的物理方程，進而提出蠕變柔量的速率J′(t)可以作為評價瀝青膠結料的低溫性能指標，并且蠕變柔量速率J′(t)越大，意味著瀝青膠結料具有較好的低溫抗裂性能。本文只針對4種瀝青的BBR試驗進行了分數階導數黏彈性模型分析，結論是否具有普遍性還需其他學者采用其他瀝青進行驗證。