自由設(shè)站法在地鐵竣工測量中的應(yīng)用研究

葛 文，井發(fā)明，徐長虹，何文峰，李學濤

（1.寧波市測繪和遙感技術(shù)研究院，浙江 寧波 315402；2.寧波市阿拉圖數(shù)字科技有限公司，浙江 寧波 315402）

城市軌道交通作為一種新型的城市交通工具，極大地方便了人們的出行。地鐵隧道竣工測量是建設(shè)完成后的一項重要基礎(chǔ)工作，其竣工資料可為今后的隧道設(shè)計、周邊施工以及規(guī)劃督察提供重要的參考信息。如何準確獲取隧道的外輪廓線及拱頂、拱底斷面線是竣工測量的主要工作[1]。

采用全站儀三維自由設(shè)站法測量隧道外輪廓線及斷面線時，如何準確獲得設(shè)站點的三維坐標是整個工作的核心內(nèi)容，對此，本文嘗試將方差分量估計理論和穩(wěn)健抗差估計理論相結(jié)合，提出一種新的抗差Helmert三維自由設(shè)站法。相比傳統(tǒng)的自由設(shè)站法，該方法不僅能夠解決不同種類觀測值的權(quán)值問題，更能抵抗已知點的坐標粗差對設(shè)站點坐標解算的影響[2]。最后，根據(jù)在某地鐵隧道的實踐經(jīng)驗，將所建模型應(yīng)用于竣工測量中[3]，得出了一些有益的 結(jié)論。

1 三維自由設(shè)站間接平差模型

1.1 三維自由設(shè)站

全站儀三維自由設(shè)站是指通過觀測設(shè)站點到兩個或兩個以上已知點的斜距LS、水平角LH、垂直角LV，利用已知點的坐標、定向角以及觀測數(shù)據(jù)采用間接平差模型處理后，得到設(shè)站點的三維空間坐標的測量 方法[4]。

令設(shè)站點S的坐標為（XS、YS、ZS），已知點的坐標為（Xi、Yi、Zi），i≥2，設(shè)站定向角為A，則觀測值方程為：

式中，

根據(jù)設(shè)站點坐標的改正數(shù)與近似坐標，即可推算出設(shè)站點的三維坐標。

1.2 基于Helmert方差分量估計的三維自由設(shè)站

采用傳統(tǒng)的間接平差模型解算設(shè)站點三維坐標時，最重要的工作就是各類觀測值的賦權(quán)，以往人們通常將權(quán)值定為單位權(quán)，而不考慮不同觀測值的類型不同，從而導致平差結(jié)果失準，無法達到預(yù)期的目的。

距離LS、水平角LH以及垂直角LV屬于3種不同種類的觀測值，一般情況下全站儀的垂直角觀測精度要低于水平角。Helmert方差分量估計法，可以解決多個不同種類觀測值定權(quán)的問題，進而避免經(jīng)驗定權(quán)導致觀測值改正數(shù)分配不合理的情況。

將三維自由設(shè)站的觀測值分為3類，即距離觀測值L1、水平方向觀測值L2、垂直角觀測值L3，可得觀測值的誤差方程為：

為了合理確定3種觀測值的權(quán)[5]，通常根據(jù)全站儀的標稱精度確定初始權(quán)陣P1、P2、P3。首先進行預(yù)平差，然后利用平差后各類觀測量的殘差平方和，對其驗前方差做出估計，重新定權(quán)。通過反復計算迭代，使得不同類觀測值的單位權(quán)中誤差趨向一致，從而達到最佳平差效果。

1.3 基于胡貝爾法與Helmert模型的觀測值權(quán)陣解算

地鐵隧道內(nèi)的已知點往往含有粗差[6]，而Helmert方差分量估計是基于最小二乘原理的一種數(shù)學模型，并不具備抵抗粗差的能力。自由設(shè)站觀測時，已知點的坐標粗差將直接導致觀測的角度、距離含有誤差，進而設(shè)站點的坐標也不精確，粗差同樣會使Helmert方差分量估計的權(quán)陣出現(xiàn)波動現(xiàn)象，最終導致迭代計算的權(quán)陣不收斂。

為解決粗差帶來的影響，在Helmert方差分量估計模型的基礎(chǔ)上，引入抗差估計理論的胡貝爾法[7]，通過選擇ρ函數(shù)構(gòu)造權(quán)因子ω，進行迭代平差求解，以此抵抗粗差對方差分量解算的觀測值權(quán)陣的影響。迭代計算公式為：

式中，c為常系數(shù)，通常取c=2σ；v為觀測值的改正數(shù)；σ為改正數(shù)的中誤差，由此可得相應(yīng)的權(quán)因子為：

由權(quán)因子的方程可知：當所有觀測值的改正數(shù)都在-c和c之間時，胡貝爾估計其實就是最小二乘估 計[8]；當改正數(shù)大于C時，其權(quán)因子w與改正數(shù)成反比，改正數(shù)越大，對應(yīng)的權(quán)因子越小，權(quán)也越小，與此相應(yīng)的觀測值對參數(shù)估計的影響也越小。

2 地鐵隧道竣工測量

規(guī)劃竣工測量是地鐵隧道建設(shè)完成后一項重要的基礎(chǔ)工作，可為軌道的設(shè)計、維護以及周邊施工提供重要的基礎(chǔ)信息。通過抗差Helmert三維自由設(shè)站模型進行地鐵隧道竣工測量的主要步驟如下：

1）全站儀架設(shè)于隧道軌行區(qū)中間位置，觀測其到各CPIII（軌道控制點）點的空間距離LS、水平角LH以及垂直角LV，根據(jù)全站儀標稱精度對三類觀測值確定各自的初始權(quán)值P1、P2、P3。

2）采用最小二乘法以及上述確定的初始權(quán)陣，通過式（4）進行首次平差，計算各觀測值的

3）利用Helmert方差分量估計公式（6）計算3種觀測值的單位權(quán)方差估值，根據(jù)式（8）重新調(diào)整三類觀測值的權(quán)。

4）利用胡貝爾法的選權(quán)迭代公式（9）重新定權(quán)，依次抵抗CPIII點的坐標粗差以及各觀測值的偶然誤差對平差結(jié)果的影響。

7）每隔10～15 m，通過全站儀極坐標法測量隧道同一橫斷面上的兩個點（一般測量隧道斷面與軌道道床的相交點），進而計算出隧道中心點坐標和高程，最后，根據(jù)隧道壁設(shè)計厚度可推算出外輪廓平面坐標和高程。

地鐵軌道的道床往往會有一定的傾斜度，如果取左右斷面點坐標的平均值作為軌道中心點坐標會導致軌道外輪廓線含有一定的誤差，實際計算時，需作一定的改正計算。如圖1所示，A、C為隧道某一斷面與道床的兩個相交點；OX1為垂直于軌道中心線的橫軸；斷面圓心坐標（XH，YH，ZH）可由A、C兩點的坐標通過公式（12）計算所得。

圖1 軌道中心點坐標改正計算圖

3 案例分析

某市軌道交通四號線計劃于2020年底通車，為了充分掌握隧道外輪廓、拱頂及拱底高程信息，需對其進行竣工測繪，即利用已知CPIII控制點，采用三維自由設(shè)站法通過觀測角度和距離，平差計算獲取設(shè)站點的平面坐標和高程，進而利用極坐標法獲取斷面點的坐標，根據(jù)公式（12）計算出斷面中心點坐標和高程，從而根據(jù)設(shè)計數(shù)據(jù)，可推算出隧道外輪廓以及拱頂、拱底坐標。

本文采用某軌道區(qū)間的一個斷面作為實驗數(shù)據(jù)，以驗證抗差Helmert模型的可行性。實際測量時，首先采用兩個沒有粗差的已知點后視定向獲取設(shè)站點的 三維坐標為（107020.088，602705.351，-15.464），以此作為設(shè)站點坐標的真值。為了方便觀測，將全站儀架設(shè)于軌道中心，利用兩組已知點（每組已知點個數(shù)為2個），其中一組已知點坐標含有粗差，一組已知點沒有粗差，分別通過最小二乘三維自由設(shè)站法、Helmert三維自由設(shè)站法以及抗差Helmert三維自由設(shè)站法平差計算設(shè)站點的三維坐標，如表1所示。

圖2 兩組已知點獲取的設(shè)站點的點位誤差

表1 兩組已知點獲取的設(shè)站點的點位偏差

由圖表數(shù)據(jù)可知，當已知點坐標沒有粗差時，Helmert三維自由設(shè)站模型得到的設(shè)站點的點位偏差低于最小二乘數(shù)學模型所計算出的點位偏差，抗差Helmert三維自由設(shè)站模型得到的設(shè)站點的點位偏差最小。當已知點的坐標含有粗差時，抗差Helmert三維自由設(shè)站數(shù)學模型獲取的設(shè)站點的點位誤差最小，且遠低于其他兩種數(shù)學模型，故可知，抗差Helmert數(shù)學模型不僅可以抵抗粗差影響且精度最高，Helmert數(shù)學模型的精度要優(yōu)于最小二乘法。

實際地鐵隧道竣工時，每隔10～15 m采集一個斷面數(shù)據(jù)，由全站儀自由設(shè)站法獲取設(shè)站點三維坐標后，即可通過極坐標法采集斷面上的兩個點，由改正公 式（12）可計算出圓心三維坐標，根據(jù)設(shè)計數(shù)據(jù)，可得到斷面的左右外輪廓以及最高、最低點坐標，采用CAD畫弧工具連接相關(guān)點，即可得到地鐵隧道竣工平面及斷面圖。

圖3 地鐵隧道平面竣工圖

圖4 地鐵隧道縱斷面竣工圖

4 結(jié) 語

如何確保自由設(shè)站點三維坐標的準確性是地鐵隧道竣工測量的重中之重，將決定整個竣工成果的精度。本文深入研究了基于抗差Helmert方差分量估計模型，推導了三維自由設(shè)站的平差數(shù)學模型，并根據(jù)實際測量數(shù)據(jù)，總結(jié)出一套坐標改正公式。最后通過地鐵隧道某一斷面的實測數(shù)據(jù)進行計算和分析，驗證了模型的正確性及可行性，主要研究結(jié)果如下：

1）地鐵隧道竣工測量是一項重要的基礎(chǔ)性工作，通過三維自由設(shè)站法獲取設(shè)站點坐標，然后，利用極坐標法每隔10m左右獲取一組斷面點，最終由斷面點坐標及隧道設(shè)計厚度可以獲取隧道的外輪廓線以及拱頂、拱底斷面線。

2）基于抗差Helmert三維自由設(shè)站是一種有效實用的數(shù)學模型，不僅可以解決不同種類觀測值的定權(quán)問題，而且能夠抵抗已知點的粗差對設(shè)站點坐標解算的影響。

3）地鐵隧道橫斷面上任意不同高度的兩個點都可以通過改正公式（12）計算出圓心坐標，從而可以得到隧道的外輪廓、拱頂以及拱底信息，使外業(yè)斷面點采集工作更加靈活、方便，提高了工作效率。