笛卡爾與費馬解析幾何思想路徑之比較與啟示

李 慧, 陳惠勇

(江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江西 南昌330022)

著名數(shù)學(xué)史家、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院李文林先生認(rèn)為“數(shù)學(xué)史研究具有三重目的,一是歷史的目的,即恢復(fù)歷史的本來面目; 二是數(shù)學(xué)的目的,即古為今用,為現(xiàn)實的數(shù)學(xué)研究與自主創(chuàng)新提供歷史借鑒; 三是教育的目的,即在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史,這在當(dāng)前已成為一種國際現(xiàn)象”[1]。萊布尼茨(G.Leibniz,1646—1716)曾指出:“知道重大發(fā)明特別是那些絕非偶然的、經(jīng)過深思熟慮而得到的重大發(fā)明的真正起源是很有益的。這不僅在于歷史可以給每一個發(fā)明者以應(yīng)有的評價,從而鼓舞其他人去爭取同樣的榮譽,而且還在于通過一些光輝的范例可以促進發(fā)現(xiàn)的藝術(shù),揭示發(fā)現(xiàn)的方法。”[2]

由此可知,數(shù)學(xué)史研究(特別是基于數(shù)學(xué)教育傾向的數(shù)學(xué)史研究)不僅對于數(shù)學(xué)研究本身,而且對于數(shù)學(xué)教育亦具有不可或缺的教育價值和現(xiàn)實意義。本文探究笛卡爾與費馬創(chuàng)立解析幾何的思想路徑,并比較其異同及其對數(shù)學(xué)教育的啟示與借鑒。

1 笛卡爾與《幾何學(xué)》

近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以稱為變量數(shù)學(xué),而變量數(shù)學(xué)的第一個里程碑是解析幾何的發(fā)明。1637年,法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾(René Descartes,1596—1650)出版了《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書,此書包括三個附錄《幾何學(xué)》《折光學(xué)》和《論隕石》,解析幾何這一數(shù)學(xué)分支就誕生于《幾何學(xué)》中。

《幾何學(xué)》全書分三編,圍繞初等幾何的作圖問題展開,第一編“僅使用直線和圓的作圖問題”,笛卡爾引進了“單位線段”的概念,定義了線段的加、減、乘、除及開方運算,解決了僅使用直線和圓的作圖問題等“普通幾何”問題(即相應(yīng)方程中的未知量最高冪次不超過2次); 第二編“曲線的性質(zhì)”,笛卡爾進一步發(fā)展解析幾何方法,論述如何推導(dǎo)出具體代數(shù)方程并據(jù)以研究曲線的各種性質(zhì); 第三編“立體及超立體問題的作圖”,以當(dāng)時流行的代數(shù)問題為主題,其中包括了著名的“笛卡爾符號法則”。

可以看出笛卡爾早已被幾何與代數(shù)結(jié)合的巨大力量所吸引,但他的目的在于通過幾何方法構(gòu)造代數(shù)方程的解,進而尋找解決作圖問題的統(tǒng)一方法,真正體現(xiàn)其解析幾何思想的內(nèi)容源自對一個古希臘幾何問題——帕普斯四線問題的解決。

帕普斯問題敘述如下: 設(shè)在平面上給定四條直線AG、GH、EF和AD,求從某點C作四條直線CB、CQ、CR和CS分別與已知直線交于已知角,且滿足關(guān)系CB·CR=CS·CQ的點C的軌跡(如圖1所示)。

圖1 帕普斯四線問題Fig.1 The problem of Pappus

笛卡爾首先闡明了解這類幾何作圖問題的一般原則:“于是,當(dāng)要解決某一問題時,我們首先假定解已經(jīng)得到,并給為了作出此解而似乎要用到的所有線段指定名稱,不論它們是已知的還是未知的。然后,在不對已知和未知線段作區(qū)分的情況下,利用這些線段間最自然的關(guān)系,將難點化解,直至找到這樣一種可能,即用兩種方式表示同一個量。這將引出一個方程,因為這兩個表達式之一的各項合在一起等于另一個的各項。”[3]

遵循這個原則,笛卡爾首先假設(shè)C點已找到,并將AB記為x,BC為y,然后根據(jù)已知條件和三角形的邊角關(guān)系,分別將CR、CS及CQ用x和y表示出來,最后代入關(guān)系式CB·CR=CS·CQ中,整理后便得出了C點的軌跡方程(其中a、b、c、d是由已知量組成的簡單代數(shù)式)

y2=ay+bxy+cx+dx2。

根據(jù)上述方程,對于任意給定的一個x,都可以立即找到一個y與之對應(yīng),線段BC的一個端點C隨之畫出一條曲線。由此,笛卡爾不僅成功尋找到了幾何軌跡的代數(shù)方程,還使其幾何代數(shù)化方法的可行性得以驗證,點的“形”與方程的“數(shù)”統(tǒng)一起來,曲線與方程的概念也隨之形成[4]。

盡管嚴(yán)格來說,笛卡爾根本沒用到現(xiàn)代解析幾何意義上的平面直角坐標(biāo)系,而是以點B為坐標(biāo)原點,AB間距離為x值,BC間距離為y值構(gòu)造了一個斜角坐標(biāo)系,但其中已經(jīng)蘊含了解析幾何的本質(zhì)——用代數(shù)方程表示并研究幾何曲線。

通過上述討論,可以大致構(gòu)造出笛卡爾解析幾何思路為:幾何作圖問題(假設(shè)解已得到)→構(gòu)造方程→方程求解。

在《幾何學(xué)》一書末尾,笛卡爾給出了這樣的結(jié)論:“對于復(fù)雜程度越來越高的問題,我們只要遵循同樣的、具有普遍性的方法,就能完成其作圖; 就數(shù)學(xué)的進步而言,只要給出前二三種情形的做法,其余的就很容易解決。”[3]這個結(jié)論表明,他設(shè)計的路線圖旨在徹底解決幾何作圖問題,雖然低估了“遵循同樣的方法”解決更高次方程的難度,但他創(chuàng)造性地把變量思想和坐標(biāo)觀念體現(xiàn)到了其幾何代數(shù)化方法中,真正有意義地建立起代數(shù)與幾何的本質(zhì)聯(lián)系,這也正是曲線與方程概念的雛形。笛卡爾的工作意義超出了他的最初預(yù)想,為后人提供了一個全新的思路,成為數(shù)學(xué)家們進一步研究的出發(fā)點。

2 費馬與《平面與立體軌跡引論》

與笛卡爾不同,被稱為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的皮埃爾·德·費馬(Pierre de Fermat,1601—1665)是在試圖恢復(fù)失傳已久的阿波羅尼奧斯著作《論平面軌跡》的過程中發(fā)現(xiàn)了解析幾何。費馬的解析幾何思想誕生于一篇僅有8頁的重要論文——《平面與立體軌跡引論》,此文大約完成于1629年,但直到他去世后才在其子編輯的《數(shù)學(xué)論集》中發(fā)表出來。

在文中,費馬用代數(shù)方法對阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的一些失傳的證明作了補充,對古希臘幾何學(xué),尤其是阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論進行了整理和總結(jié),對曲線作了一般研究。

笛卡爾大膽采用獨具創(chuàng)造性的方法,從曲線軌跡出發(fā)尋找其方程。而費馬則致力于完善阿波羅尼奧斯的工作,繼承了希臘人的思想,即從方程出發(fā)尋找它的軌跡,其重點在于不定方程解法的圖示。

費馬在論文中這樣描述其解析幾何思想的基本原理:“每當(dāng)在最后的方程中出現(xiàn)了兩個未知量,我們就得到一個軌跡,其中一個未知量的端點描繪出一條直線或曲線。這條直線簡單且唯一,曲線的種類無限多——圓、拋物線、雙曲線、橢圓等。”[5]

圖2 費馬的解析幾何思想Fig.2 Analytic geometry of Fermat

為了有助于建立起方程的概念,費馬引入一條水平直線OZ并確定直線上一固定點O,即將直線OZ看成x軸,固定點O為坐標(biāo)原點,那么點M的位置可以由大寫字母A和E來確定,其中A表示從原點O沿軸線到點Z的距離,E表示從點Z到點M的距離,其中線段ZM與軸線成固定角α。

隨著A和E的不斷變化,其末端M,M1,M2,…繪制出一條直線或曲線(圖2)。根據(jù)這個方法,聯(lián)系未知量A和E的各種方程都可以構(gòu)造出相應(yīng)的軌跡。

隨后,費馬從給定方程出發(fā),分別研究了圓、橢圓、雙曲線、拋物線等一系列曲線,例如xy=k2是一條雙曲線,而形如xy+a2=bx+cy的方程通過坐標(biāo)軸變換可以簡化為xy=k2的形式; 證明了a2±x2=by是一條拋物線;x2+y2+2ax+2by=c2是一個圓;a2-x2=ky2是一個橢圓; 等等[6]。另外,費馬還推廣了阿基米德螺線r=aθ,并以代數(shù)方程定義了許多新曲線,例如被稱為費馬雙曲線的xmym=a、費馬拋物線yn=axm和費馬螺線rn=aθ。

為了給出處理各種幾何問題的一般方法,費馬遵循前人用代數(shù)方法研究幾何的思路,開創(chuàng)性地引進坐標(biāo)工具,把曲線看成是點的運動軌跡,具有依賴關(guān)系的變量構(gòu)成的方程得以被曲線表示出,解析幾何思想路徑為:方程(引入坐標(biāo))→點(點動成線)→軌跡。

盡管費馬建立的坐標(biāo)系只含一條坐標(biāo)軸,但他遵循自己的思想路徑揭示了解析幾何的本質(zhì),即用代數(shù)方程來表示并研究曲線,其思想與現(xiàn)代解析幾何是一致的。

對歷史上積累起來的前人創(chuàng)造的有關(guān)科學(xué)成果的繼承是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的前提,沒有繼承就沒有突破[7]。費馬深深理解這一點,于是以前人的成果為出發(fā)點進行更深的數(shù)學(xué)探索,加之對問題發(fā)現(xiàn)的敏銳,成為解析幾何的創(chuàng)立者之一。

3 笛卡爾與費馬思想路徑比較

3.1 研究目標(biāo)

出于“通用數(shù)學(xué)”思想的指引,笛卡爾從帕普斯三線與四線問題出發(fā),試圖通過將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解,總結(jié)出一種一般化、程序化的方法解決所有的幾何問題。

費馬為了修復(fù)阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的一些失傳的證明,繼承了希臘人的思想,遵循前人用代數(shù)方法研究幾何的思路,重點在于不定方程解法的圖示。

3.2 研究方法

笛卡爾在處理幾何問題時,首先假設(shè)解已找到,并根據(jù)已知量與未知量之間的關(guān)系構(gòu)建方程,最后通過方程的求解達到解決作圖問題的目的,這種從軌跡到方程的方法,正是從幾何到代數(shù)的研究方向。

費馬主要是完善了阿波羅尼奧斯的工作,并且沿用了韋達用字母表示數(shù)類的思想,為了尋找不定方程解法的圖示,從方程出發(fā)引進坐標(biāo)工具,把曲線看成是點的運動軌跡,正確敘述了解析幾何的基本原理,其研究內(nèi)容比較全面系統(tǒng),更符合現(xiàn)代解析幾何從代數(shù)到幾何的方法[8]。

3.3 思想特點

出于其方法論原則,笛卡爾主張理性主義的直觀和演繹推理,因此對傳統(tǒng)歐氏幾何方法采取摒棄態(tài)度,在解決幾何作圖問題過程中,巧妙地引入了變量思想和坐標(biāo)觀念,他的方法更具一般性,也適用于更廣泛的超越曲線,從歷史發(fā)展的角度看,更具有突破性[4]。

雖然費馬沿襲希臘人思想的方法更為傳統(tǒng),但在他的工作中,用方程表示曲線的思想表現(xiàn)得更為明顯,他對解析幾何思想的闡述也比笛卡爾更系統(tǒng)全面,更具有啟發(fā)性。

3.4 局限性

“一切問題都可歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題,一切數(shù)學(xué)問題都可歸結(jié)為代數(shù)問題,一切代數(shù)問題都可歸結(jié)為解方程問題。”這是笛卡爾創(chuàng)立解析幾何思想的行動指南。由此,笛卡爾為建立普遍的、統(tǒng)一的“通用數(shù)學(xué)”引進了變量,并在他的《幾何學(xué)》中解決了許多當(dāng)時非常引人注目的幾何與代數(shù)難題,為變量方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用開辟了一條嶄新的道路,這是一項開創(chuàng)性的工作。法國數(shù)學(xué)家雅克·阿達瑪評價道:“笛卡爾并不是修正幾何,他創(chuàng)造了幾何。”

但在另一方面,笛卡爾過于強調(diào)幾何與代數(shù)的結(jié)合,對解析幾何思想和方法的表述不及費馬。同時,笛卡爾的數(shù)學(xué)觀也造成了他在具體研究中消極的一面,他堅持亞里士多德關(guān)于“直”與“曲”有本質(zhì)區(qū)別的觀念,因而拒絕任何求曲線長度的探索,認(rèn)為費馬求極大極小值的方法和切線法則違反了嚴(yán)格的演繹推理的要求[9]。

與笛卡爾一樣,費馬建立的坐標(biāo)系只含一條坐標(biāo)軸,對縱坐標(biāo)和如何依賴于橫坐標(biāo)的重視不夠,因此他們所刻畫的幾何曲線都只是其中一部分; 同時,二人雖然都認(rèn)識到了二維以上的解析幾何,卻沒有進一步研究,三維幾何直到18世紀(jì)才得到了有效的發(fā)展。

3.5 影響

解析幾何把數(shù)學(xué)造成一個雙面的工具,幾何概念可用代數(shù)表示,幾何的目標(biāo)可通過代數(shù)達到; 反過來,給代數(shù)以幾何的解釋,可以直觀地掌握那些語言的意義,又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論。

17世紀(jì)中葉,笛卡爾的解析幾何得到了范舒滕、沃利斯和牛頓等人的發(fā)展和傳播,用代數(shù)方法研究幾何問題的思想深入人心,為微積分的誕生奠定了幾何學(xué)基礎(chǔ),擴大了數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域,從而改變了數(shù)學(xué)的面貌。

費馬成功地發(fā)明了求切線、極值和面積的方法; 又用求極值的方法去求重心,將與切線有關(guān)的曲線求長問題化為一個求面積的問題; 在極其廣泛的研究中應(yīng)用無窮小量等,為揭示微分和積分的關(guān)系建立了良好的認(rèn)識基礎(chǔ)。牛頓在一封信中清楚地說,他從費馬畫切線的方法中得到了微分法的啟示。費馬的工作為后來歐拉、拉格朗日把幾何學(xué)從現(xiàn)實空間圖形拓展到抽象空間圖形奠定了基礎(chǔ)。后來的泛函分析、抽象代數(shù)、線性代數(shù)等的產(chǎn)生和發(fā)展,都由此受益[7]。正如貝爾的評價:“費馬是一個第一流的數(shù)學(xué)家,一個無可指摘的誠實的人,一個歷史上無與倫比的算術(shù)學(xué)家。”[10]

4 對解析幾何教學(xué)的啟示——數(shù)學(xué)史的教育意義

解析幾何在整個中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)至關(guān)重要的地位,其思想和方法在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面具有獨特的意義和作用。解析幾何是連接“形”與“數(shù)”兩個自然界中具有普遍意義的對象的一門科學(xué),解析幾何的教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生“洞察”與“嚴(yán)格”的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)方面具有獨特的意義和教育價值。遵循萊布尼茨的教導(dǎo)——“通過一些光輝的范例可以促進發(fā)現(xiàn)的藝術(shù),揭示發(fā)現(xiàn)的方法”,通過對笛卡爾與費馬創(chuàng)立解析幾何思想路徑的分析與比較,對于解析幾何的數(shù)學(xué),我們至少可以得到如下的啟示與借鑒[11]。

4.1 遵循“從形到數(shù)和從數(shù)到形”的雙向思維,注重幾何本質(zhì)

平面解析幾何的基本思想有兩個要點:第一,在平面上建立坐標(biāo)系,平面上的點與一組有序的實數(shù)對相對應(yīng); 第二,在平面上建立了坐標(biāo)系后,平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)(即坐標(biāo)變量)的一個代數(shù)方程來表示。因此,解析幾何的教學(xué)必須體現(xiàn)這一核心思想和方法,也就是必須遵循“從形到數(shù)和從數(shù)到形”這種雙向思維的模式。這種思維模式在數(shù)學(xué)史上具有重要意義,如希爾伯特公理化體系相容性問題證明的基本思想,就遵循了這種“從形到數(shù)和從數(shù)到形”的雙向思維模式,而使得非歐幾何的相容性問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)算術(shù)公理的相容性問題。

基于上面的分析,解析幾何有兩大研究主題: (1) 如何求曲線的方程(幾何問題代數(shù)化,由形到數(shù)); (2) 通過研究方程的性質(zhì)(解的性質(zhì))來得到幾何問題的性質(zhì)(由數(shù)到形)。

4.2 突出“曲線與方程”的思想

由于解析幾何的核心思想,本質(zhì)而言是“曲線與方程”的思想,因而在解析幾何教學(xué)中還應(yīng)特別注重方程的理論及其方法的運用。在教學(xué)實踐中,關(guān)于解析幾何的基本思想,值得認(rèn)真研究與思考的幾個本質(zhì)問題是: (1) 如何實現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化?即如何建立坐標(biāo)系的問題; (2) 實現(xiàn)代數(shù)化的途徑對其代數(shù)結(jié)論(即方程)有何影響?為什么?這就涉及坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化問題,即坐標(biāo)變換,從而上述問題就轉(zhuǎn)換為“在坐標(biāo)變換下,所研究的幾何問題的性質(zhì)是否改變?或者說,我們所研究的問題是否是坐標(biāo)變換下的不變量？”這就涉及幾何學(xué)的分類問題,即F·克萊因著名的“愛爾朗根綱領(lǐng)”所提出的幾何學(xué)分類思想。解析幾何所研究的是在剛體變換群下的不變量理論,其本質(zhì)仍然是屬于歐氏幾何的范疇,這就是為什么可以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的原因,所謂“適當(dāng)”就是指不失一般性,從而不改變幾何性質(zhì),將坐標(biāo)系建立在最方便的位置,才有所謂的求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及將曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程等問題。因而,所有幾何性質(zhì)的研究都可以在標(biāo)準(zhǔn)形式的意義下進行。上述思想在現(xiàn)代微分幾何中得到的廣泛而深入的運用,特別是在流形上的微分幾何中,運用所謂的“活動標(biāo)架方法”研究流形的內(nèi)蘊不變量性質(zhì),可以看成是上述思想的深刻體現(xiàn)。

(3) 由上述方法得出的代數(shù)化的結(jié)論(方程)與幾何問題(曲線)本身之間有什么樣的內(nèi)在關(guān)系?這就是解析幾何的一個重要思想——曲線與方程的思想。研究要求這兩者本質(zhì)必須是一致的——即曲線是方程的曲線,而方程是曲線的方程。這就為用代數(shù)方法研究幾何問題奠定了基礎(chǔ)。

4.3 解析幾何教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題

(1) 加強坐標(biāo)變換的觀念和意識。各種坐標(biāo)系(直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等)之間的變換(互化、轉(zhuǎn)化、變換)——坐標(biāo)觀念——變換群; 坐標(biāo)變換是幾何學(xué)特有的觀念,為了用最簡單的方程表達幾何圖形,需要選擇最能表達該幾何圖形特性的坐標(biāo)系。

(2) 注意幾何問題的代數(shù)表述的訓(xùn)練(形數(shù)轉(zhuǎn)換)。分析表明,實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化是解析幾何的主題之一,因而在實際的教學(xué)之中,應(yīng)特別注意對幾何問題本質(zhì)的代數(shù)表述這一思維過程的揭示與訓(xùn)練,并以此為契機培養(yǎng)學(xué)生的思維與實踐能力。

(3) 注意問題的幾何本質(zhì)(性質(zhì))的研究。日爾梅(S.Germain)指出:“代數(shù)無非是寫出來的幾何; 幾何無非是畫出來的代數(shù)。”而赫斯藤斯(D.Hestenes)和索布齊克(G.Sobczyk)更是指出:“沒有代數(shù)的幾何是啞巴！沒有幾何的代數(shù)是瞎子！”

可見,幾何學(xué)與代數(shù)是不可分割的,更何況是解析幾何。解析幾何本質(zhì)而言是一門幾何學(xué),因此解析幾何的教學(xué)不應(yīng)被代數(shù)形式所迷惑,而要特別注意代數(shù)形式的幾何意義以及問題的幾何本質(zhì),兩者不可偏廢。