基于小波變換閾值去噪算法的改進

李維松，許偉杰，張 濤

(1. 中國科學院聲學研究所東海研究站，上海 201815；2. 中國科學院大學，北京 100089)

1 引言

在信號的采集、處理和轉發過程中，由于環境干擾，信號中總會夾雜有噪聲。如果對帶有噪聲的信號直接處理，就會產生很大的誤差，甚至會造成錯誤。因此，對信號的噪聲去除在信號處理的過程中顯得尤為必要。信號去噪處理的方法有很多，小波分析克服了傳統傅里葉分析中的諸多不足，能夠同時在時域和頻域對信號分析，具有較好的局部化和多分辨率特性，是近年來對含噪信號進行濾波去噪應用最廣泛的方法之一。

目前比較常見的小波去噪方法有：模極大值去噪算法、相關性去噪算法和小波閾值去噪算法，其中閾值去噪算法應用最為廣泛。傳統的閾值去噪法主要包括硬閾值去噪、軟閾值去噪[1]，以及Garrote閾值去噪[2-3]，這三類算法都存在有自身固定的缺陷，本文在在充分吸取以上三類算法優點的基礎上，提出一種改進的閾值函數，并采用新的閾值確定方法，取得了更優地去噪效果。

2 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪算法的主要原理是[4]：小波變換有很強的去數據相關性，它把信號的能量集中到小波域中一些較大的小波系數上，而所含的白噪聲在正交基上的變換都是白噪聲，小波變換則將其能量分布于整個小波域內大多數的展開系數上。因此，經過小波分解后，原始信號的小波系數幅值要大于噪聲的系數幅值，并且信號小波系數個數遠遠少于噪聲小波系數。幅值比較大的小波系數一般以信號為主，而幅值比較小的系數在很大程度上都是噪聲。所以可將幅值較大的系數保留，將幅值較小的系數置零，得到估計的小波系數，再對其進行信號重構，即可達到去除噪聲的目的。

小波閾值去噪算法流程如圖1所示[5]。

圖1 小波閾值去噪一般算法流程

2.1 小波閾值去噪基本步驟

1)選擇合適的小波基函數和分解層數，對含噪信號進行小波分解，常用的小波主要有dbN小波、symN小波、coifN小波、Haar小波和biorNr.Nd小波等，分解層數一般選取3-5層。

2)選取合適的閾值和閾值函數[6]。小波閾值直接影響去噪效果，若所選閾值過大，則會丟失掉一部分原始信號信息，導致重構后的信號產生失真；若所選閾值過小，則會保留過多噪聲分量，去噪效果大打折扣。常用的閾值主要有基于無偏似然估計(rigsure)閾值、固定(sqtwolog)閾值、啟發式(heursure)閾值和最小極大方差(minimaxi)閾值。而常見的閾值函數主要有軟閾值函數、硬閾值函數和Graaote閾值函數三類。

3)將處理后的小波系數進行離散小波逆變換，得到重構去噪信號。

2.2 閾值函數

1)硬閾值函數

(1)

2)軟閾值函數

(2)

3)Garrote閾值函數

(3)

這三類函數在信號處理中經常用到，但它們各自都存在一定的不足。用硬閾值函數處理信號時，去噪后的信號邊緣性比較好，但由于函數本身具有不連續性，可能會導致重構后的信號存在不必要的震蕩；軟閾值函數具有很好的連續性，去噪結果更為平滑，但當小波系數較大時，估計的小波系數與原始系數之間存在固定的偏差，使得信號高頻部分遭到損失，導致重構后的信號與原信號相比逼近度差，容易產生失真；Garrote閾值結合了軟、硬閾值函數的優點，信號連續性好，且小波系數較大時，固定的偏差會趨向于零，有效克服了軟、硬閾值函數存在的不足，但它忽略了噪聲在小波變換下隨尺度的增大而減小的特性[7]，并且針對突變信號，其去噪效果仍有不足之處[8]。三類閾值函數圖像如圖2所示。

圖2 軟、硬閾值函數和Garrote閾值函數對比

3 改進的閾值去噪方法

3.1 一種新的閾值函數

由于上面所提的三類傳統閾值函數都存在各自的缺陷，故在充分考慮這三類函數各自優點的前提下，構造出一種新的閾值函數，具體表達式如下式(4)所示。

(4)

由(4)式可以看出新的閾值函數具有如下特征：

1)新的閾值函數仍是連續函數，它保留了軟閾值函數連續性好的特點。

2)在|di,k|≥λ的很短區間內新閾值函數能夠迅速的逼近硬閾值函數，因此有效地解決了軟閾值函數存在的固定偏差問題。

圖3和圖4分別為N取10和100時的四類函數對比情況。

圖3 當N=10時，四類閾值函數對比

圖4 當N=100時，四類閾值函數對比

3.2 新的閾值獲取方法

經過小波變換后，原始信號對應的小波系數幅值隨著分解尺度的增大而變大，而噪聲對應的小波系數幅值隨分解尺度的增大而減小，根據這一特性，可以對不同分解層選取不同的閾值。

由文獻[9]和文獻[10]可知

|Wfjx(t)|≤K2jα

(5)

式中，Wfjx(t)表示第j層小波系數，j表示分解層數，α表示Lipschitz指數，K為常數。該式表明，存在一個常數K，使得小波變換系數的模極大值為K2jα。

對于原始信號成分來說,α>0,則根據(5)式可知：

max{|Wfjx(t)|}≤2αmax{|Wfj+1x(t)|}

(6)

可以看出原始信號小波系數尺度比值>2，即第j+1層小波系數幅值大于第j層的兩倍；而對于噪聲成分來說，其α=-0.5-ε(ε>0)[10]，帶入(5)式中可得

(7)

(8)

4 仿真研究

本文使用Matlab仿真軟件對該改進的閾值函數進行仿真，以驗證其去噪能力是否得到改進。對比較平滑的Heavysine信號和波形突變性很強的Block信號分別加入高斯白噪聲，然后對含噪信號進行閾值去噪處理[11]，其去噪效果通過信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)進行定量判定，其中SNR和MSE分別通過如下式(9)和(10)得到

(9)

(10)

式(9)和(10)中，s(i)表示原始信號，y(i)表示去噪后的信號。

信噪比是衡量信號去噪效果的重要依據，去噪后的信噪比越高說明信號的提取效果越好；均方誤差則反映了信號的失真程度，去噪信號與原始信號的均方誤差越小，說明失真程度越小，信號提取的越完整，去噪效果越好。

首先采用硬閾值函數、軟閾值函數、Garrote閾值函數以及本文提出的改進閾值函數對加噪Heavysine信號做去噪處理，采用sym8小波對加噪信號做5層小波分解，調節因子N取100，采用固定(sqtwolog)閾值作為第一層閾值，公式為：

(11)

式中，σ為噪聲標準方差，N為信號長度，硬閾值函數、軟閾值函數和Garrote閾值函數去噪方法采取固定閾值方式，而改進的閾值函數去噪方法則采用分層變閾值方式，選取規則按照(8)式進行，仿真結果如圖5所示。

圖5 四類閾值函數對Heavysine信號去噪結果

由圖5可知，用四類閾值函數去噪處理后，重構信號與原始信號逼近度很高，重構出的信號總體上較為平滑，都保留了大部分有用信息，直觀上較難分辨出處理效果的好壞。因此再對四類重構信號做定量分析，表1列出了用這四類函數對Heavysine信號去噪后的信噪比和均方誤差。

表1 Heavysine信號的四種去噪結果定量比較

由上表可知，軟閾值去噪效果優于硬閾值去噪，而Garrote去噪和軟閾值去噪相比差別并不大，改進后的閾值去噪方法在SNR和MSE兩個方面都要優于其余三類方法。

其次用四類閾值函數對加噪Block信號做去噪處理，采用db1小波對加噪信號做5層小波分解，調節因子N取10，采用固定(sqtwolog)閾值作為第一層閾值，硬閾值函數、軟閾值函數和Garrote閾值函數去噪方法采取固定閾值方式，本文改進閾值函數去噪則采用分層變閾值方式，仿真結果如圖6所示。

圖6 四類閾值函數對Block信號去噪結果

由圖6可知，硬閾值去噪方法對Block信號中的上升沿、下降沿等突變部分保留得較好，但信號不夠平滑，波形中存在尖峰、毛刺；軟閾值去噪后的信號整體過于平滑，對波形的突變部分保留的不完整，存在明顯的失真現象；用Garrote閾值法去噪后，波形整體去噪效果比軟閾值去噪要好，但仍有少量失真；用改進的閾值去噪方法處理后，重構的信號波形不再存在尖峰毛刺，信號的突變部分信息保留得也較好。

再對四類重構信號做定量分析，表2列出了用這四類函數對Block信號去噪后的信噪比和均方誤差。

表2 Block信號的四種去噪結果定量比較

由表2可知，對突變性強的Block信號做去噪處理，采用硬閾值去噪效果明顯優于軟閾值去噪，Garrote閾值去噪效果稍次于硬閾值去噪，而改進的閾值去噪方法信噪比最高、均方誤差最小，可以看出其去噪效果最好。

5 結論

小波變換在信號的濾波降噪處理中有著廣泛應用，本文基于小波閾值去噪的基本原理，針對傳統小波閾值去噪算法中軟、硬閾值函數以及Garrote閾值函數的不足，構造出了一個新的閾值函數，并采用新的閾值確定方法，克服了傳統閾值函數的不足，同時對信號的去噪處理更加靈活。最后仿真結果表明，改進的閾值去噪方法對平滑信號以及突變性信號降噪效果都要優于傳統的三類閾值去噪方法。