超空泡航行體H2/H∞狀態反饋魯棒控制

何昱霖，韓云濤，郭 浩

(哈爾濱工程大學自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引言

超空泡航行體相較于傳統的水下航行體在速度上有著極大的提升，使其具有廣闊的應用前景[1]。但是，在運動過程中超空泡航行體將會產生大的非線性滑行力。滑行力產生的原因是高速運動過程中航行體尾部與空泡壁接觸，由此為航行體建模和機動控制帶來了極大的困難[2]。對超空泡航行體建模的研究，研究人員提出了不同的建模方法[3-5]。其中文獻[5]和文獻[6]建立了一種以空化器和尾舵作為控制輸入的控制模型，被學術界廣泛引用[7-9]。

超空泡航行體在縱平面運動的過程中會受到強非線性滑行力和外界干擾的影響，進而會導致航行體不穩定。因此魯棒穩定性能和干擾抑制性能成為了控制器設計的重點。H∞控制對解決魯棒穩定性能有良好的作用，H2控制方法對于處理隨機噪聲、干擾等很有效果。于是結合H∞控制和H2控制的優點，使系統同時具有良好的魯棒穩定性能和干擾抑制性能的H2/H∞控制方法被越來越多的研究人員關注[10-13]。因此，考慮超空泡航行體縱平面運動時存在的外界干擾為噪聲干擾時，提出了一種H2/H∞狀態反饋魯棒控制器。

2 超空泡航行體建模

2.1 航行體數學模型

本文選用文獻[5]和文獻[6]所提出的控制模型。該模型表示如下

(1)

(2)

(3)

R′=(Rc-R)/R；浸入角α和浸入深度h′分別為

(4)

(5)

其中，空泡收縮率為

(6)

2.2 模型變換

航行體控制模型狀態空間表達式可描述為

(7)

通過滑行力機理可知，縱向速度w是唯一對其產生影響的狀態變量，為了將系統模型(7)轉換成LPV系統

(8)

圖1 p(w)和w的關系

(9)

考慮噪聲干擾，系統(9)又可寫為

(10)

B1∈R4為噪音干擾矩陣；w為噪聲干擾。

(11)

(12)

由于系統矩陣是關于時變參數p(w)的，且p(w)有界，因此可以將LPV系統轉化成多胞LPV系統，其中多胞系統矩陣如下

(13)

3 H2/H∞控制器設計

由式(12)和選擇的被調輸出，則航行體系統描述如下H2/H∞

(14)

本文的目標是設計H2/H∞狀態反饋控制器K(w)，即

(15)

將上式代入(14)中，得閉環系統

(16)

圖2 H2/H∞控制框圖

其中，Acl=A(w)+B2K(w)，C1cl=C1+D12K(w)，C2cl=C2+D22K(w)。

系統(16)具有以下性質：

1)Acl是二次穩定的；

定理1[14]：對于閉環LPV系統(16)，給定γ>0，則以下條件是等價的：

2)存在對稱正定矩陣P，滿足以下線性矩陣不等式

P=PT>0

(17)

證明 對式(17)的矩陣分別左乘和右乘diag{γ1/2I，γ1/2I，γ-1/2I}，令L=γP，易得當存在對稱矩陣P>0，使得式(17)成立當且僅當存在一個對稱矩陣L>0，使得

(18)

(19)

根據Schur補性質，式(19)等價于

(20)

對任意T>0，考慮

(21)

在零初始狀態即V(xe(0))=0的條件下

(22)

由式(20)可得

(23)

進一步由零初始條件，可得

(24)

(25)

將式(17)展開有

(26)

對式(26)分別左乘和右乘矩陣diag{P-1，I，I}，并令X1=P-1和W=KX1可得

(27)

定理 2[14]對于閉環LPV系統(16)，給定η>0，則以下條件是等價的

2)存在對稱正定矩陣X2和Z，使得

(28)

(29)

Trace(Z)<η2

(30)

證明：假定系統(16)中的輸入w是獨立零均值的白噪聲過程。因此在零初始條件下，系統的狀態方差矩陣為

(31)

因此

(32)

當D22=0時，輸出方差為

(33)

(34)

(35)

Trace[(C2+D22K)X2(C2+D22K)T]<η2

(36)

引入對稱矩陣Z，若

(C2+D22K)X2(C2+D22K)T

(37)

則式(36)等價于

Trace(Z)<η2

(38)

利用Schur補性質整理式(36)和(37)，定義W=KX2，則

(39)

(40)

由式(42)、(43)和(44)可得定理結論。證畢。

為了使系統(16)同時具有H2/H∞的性能指標，則定理1和定理2需同時滿足，即同時滿足式(27)、(38)、(39)和(40)。在以上4式中，有兩個不同的Lyapunov矩陣X1和X2。而且這兩個矩陣耦合在一起，為求解帶來了極大的困難。因此為方便求解，令X=X1=X2。

根據多面體理論，若式(27)、(38)、(39)和(40)成立，則下列各式也成立。

(41)

(42)

(43)

Trace(Z)<η2

(44)

定義J=αγ+βη，其中α和β為設定的權值，通過求解以下凸優化過程，最終得到滿足要求的控制器

s.tto(45)-(48)

(45)

4 仿真分析

則仿真中控制器為

在本文所設計的H2/H∞狀態反饋控制器下，圖3～6為系統各狀態變量零初始狀態下跟蹤期望值的響應曲線，圖7～8為跟蹤期望值時，空化器及尾舵偏轉角的響應曲線。圖9為整個仿真過程中，滑行力的響應曲線。其中實線表示響應曲線，虛線表示期望值曲線。

圖3 航行體深度響應曲線

圖4 縱向速度響應曲線

圖5 俯仰角響應曲線

圖6 俯仰角速度響應曲線

圖7 空化器偏轉角響應曲線

圖8 尾舵偏轉角響應曲線

圖9 滑行力響應曲線

從圖7和圖8可以看出，仿真開始時，空化器和尾舵的偏轉角是飽和的，但在短時間內能夠恢復到正常幅值內。仿真過程中，系統各狀態變量均能快速跟蹤期望值的響應曲線。穩態時，空化器最大偏轉角為-9度，尾舵最大偏轉角為28度，均滿足執行器的限幅要求。如圖9所示，整個仿真過程中，滑行力均為零，這表明了在縱平面運動過程中，航行形體尾部沒有擺動出空泡內部，因此并沒有和空泡壁有接觸，沒有出現尾拍現象。

5 結論

本文針對超空泡航行體的強非線性滑行力及外部噪聲干擾等問題，通過將基準控制模型轉換成LPV模型，結合H2和H∞控制的優點提出了一種H2/H∞從仿真結果來看，本文所設計的H2/H∞控制器在超空泡航行體縱平面運動時存在噪聲干擾的情況下，依然可以快速、準確地跟蹤期望值信號，且響應時間短，同時具有良好的魯棒穩定性能和干擾抑制性能。