數學，人類的一種文化

文／朱建良 范建剛

同學們，在本章中，我們將一起領略幾何學中的一顆光彩奪目的明珠——勾股定理。它被譽為“幾何學的基石”，有著悠久的歷史，是人類的智慧結晶。

一、數形結合，奇妙完美

相傳2500年前，古希臘數學家畢達哥拉斯在朋友家做客時，發現朋友家的地板很有趣，4個全等的等腰直角三角形可以拼成1個正方形（如圖1），而且等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（如圖2）。畢達哥拉斯陷入深思：兩條直角邊不相等的直角三角形有這個性質嗎？于是他著手從特殊到一般，去探究直角三角形三邊的數量關系。

圖1

圖2

在我國古代，《周髀算經》最早記錄了“勾股定理”。同學們，請觀察圖3，3個正方形的面積分別為a2、b2、c2，你能通過推理計算，體會數與形的完美結合，感悟數與形的內在聯系嗎（a2+b2=c2）？

圖3

二、出入相補，各從其類

勾股定理有上百種證法，數學家們想方設法去證明它，可見它的魅力所在。

如圖4，三國時期東吳數學家趙爽將正方形中的4個直角三角形涂上紅色，把中間的正方形涂上白色，經拼補搭配，證明了勾股定理。圖5是圖4的拼圖模型，得到2ab+（b-a）2=c2。魏晉數學家劉徽通過“出入相補，各從其類”，也巧妙地證明了勾股定理（如圖6）。“出”表示面積減少，“入”表示面積增加，“出入相補，各從其類”即面積不變，與我們的割補原理類似。這些證明方法都說明了幾何方法的多樣、靈活和美麗。

圖4

圖5

圖6

三、以數示形，以形思數

一個三角形滿足什么條件才是直角三角形？

古埃及人用13個等距的結，把一根繩子分成等長的12段，一人同時握住繩子的第1個結和第13個結，另外兩人分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，其直角在第4個結處。相傳我國古代大禹在治水時也用過類似的方法確定直角。

如圖7，在△ABC中，已知a2+b2=c2，△ABC是直角三角形嗎？我們先畫RtΔA′B′C′，使∠C′=90°，取B′C′=a，A′C′=b，如圖8，再根據勾股定理證 明A′B′2=a2+b2，再 用“SSS”證 明△ABC≌△A′B′C′，說明∠C=90°。同學們，要證明一個圖形的某種性質，我們可先構造具有這種性質的圖形，再證明它與已知圖形是“同樣的”。這種證明方法稱為“同一法”。我們通過“同一法”，可以感受勾股定理蘊含的豐富的數學思想。

圖7

圖8

四、學以致用，轉化方程

有首歌這樣唱道：“波平如鏡一湖面，半尺高處出紅蓮；鮮艷多姿湖中立，猛遭狂風吹一邊；紅蓮斜臥水淹面，距根生處兩尺遠；漁翁發現忙思考，湖水深淺有多少。”如圖9，你能替漁翁計算出湖的水深嗎？

圖9

我們設水深為x尺，則AC=x，BC=2，DE=在Rt△ABC中，可列方程，得x=3.75（尺）。我們將實際問題轉化成數學模型后，運用勾股定理列出方程，便可解決。

同學們，你們感受到數學證明的優美與精巧了嗎？感受到應用勾股定理解決問題后的喜悅與快樂了嗎？數學是人類的一種文化，也是人類文明的積淀和傳承。讓我們一起走進勾股定理，感受它豐富的內涵吧。