“三角形的分類”教學實踐與思考

江蘇省無錫市新吳區錫梅實驗小學 陳 雅

江蘇省無錫市新吳區江溪小學 吳建亞

“三角形的分類”是蘇教版數學四年級下冊的內容，旨在讓學生通過觀察、比較、歸類等活動，經歷給三角形分類的過程，認識并辨別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，了解各種三角形的特點。這節課可以說是一節“老”課，但修訂教材對這一塊內容有所調整，而很多一線教師卻沒有關注到教材的變化，還按著“老方子”教學，令人憒憾。如何循著新教材的修改意圖，理解教材的編排與要求，將老課新上，從而更好地培養學生的數學思維呢？基于此，我們對這一課展開了研究、實踐與思考。

數學課堂可以發展學生哪些思維，我們進行了如下思考。

一、對點狀思維和整體思維的思考

【教學片段】

（1）復習角的分類

師：同學們來到農場做志愿者服務。為了慶祝農場成立，舉辦了一場燈光晚會?？?，舞臺上的燈光漂亮嗎？

生：漂亮！

師：燈光里還有數學知識呢。瞧，如果把射燈看作一個端點，射出的光線看作一條射線，把這條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置，就形成了一個（角）。這是一個什么角？（銳角）

師：那請同學們想象一下，如果繼續旋轉這條射線，還會形成什么角呢？我們一起來轉一轉、說一說。

師：什么角？（銳角）繼續轉。（直角）繼續轉。（鈍角）繼續轉，現在（平角），旋轉一圈（周角）。

師：根據角的度數，我們可以把角分成這樣幾類，見圖1。

圖1 角的動態演示

（2）引入三角形的分類

師：農場里還藏著許多三角形呢，我們一起來找一找、看一看。

課件播放。

師：三角形和角一樣還有很多，可以畫多少個不同的三角形（無數個），那我們用省略號來表示無數個。

師：看了這么多三角形，你有什么想法？我們怎么來區分它們？要不，給每一個三角形都取個名字？（不可取）無數個三角形，取不完呀！那應該怎么辦？

生：可以根據角給三角形分類。

師：這位同學覺得可以根據角的特征來給三角形分類。好，就聽她的，那今天我們就從角的特征入手，對三角形進行分類。

師：為了便于研究，我們從這么多的三角形中選出5個，老師給它們標上序號、排排整齊。

【思考】

以農場射燈的情境表征角的動態定義，從而引入角的分類，接著引出三角形，再自然而然地引向三角形的分類需求，這樣設計注重新舊知識之間的聯系。將三角形放在平面圖形中考察，而不單獨割裂開來學習，體現數學思維的整體性。從農場實物中抽象出三角形，學生感受到三角形和角一樣有無數多個，最終選5個代表展開研究。這一過程培養了學生思維的整體性，因為個體的背后是一個整體，這5個是三角形世界中的代表。

拋出“大問題”，讓學生小組合作討論解決，我們發現，這樣的課堂更精彩。學生對這些三角形按角的特征進行分類，首先依據的標準是三角形里有沒有直角，在此基礎上，部分學生再將經驗遷移，思考三角形里有沒有鈍角、是否全是銳角，這些學生采取的是二分法。還有部分學生直接根據角的特征，采用了三分法。最終，班級學生一共得到四種分法，在下一環節，我們設計了將四類分法整理為同一類的教學環節，這一過程也體現了思維的整體性，因為整體思維是追求各種關系的一種整合。我們發現，改進后的教學設計，學生在推動著課堂生成的同時，自身也在逐步形成有意義的學習建構?！叭切蔚姆诸悺币徽n，很多教師往往過分關注學生會不會對三角形按角的特征來分成三類，而忽視了更重要的向學生滲透數學中的分類思想，即“根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類”。減少教師的“鋪路”，給學生一定的空間與時間對問題進行全局性思考，充分發揮學生的主觀能動性，能更好地培養學生思維的整體性。

筆者認為，教師在教學“三角形的分類”一課時，應該培養學生的整體思維而不是點狀思維，這也是為何修訂教材時把表格刪去的原因吧。

二、對求同思維和求異思維的思考

【教學片段】

師：三角形還有很多很多，數也數不盡。那根據角的特征，是不是只能分成這樣的三類（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）呢？

生1：角還有平角和周角，三角形應該還有其他類別。

我們的競爭者不僅有國內的同行們，還有強勁的國外大型數字企業向國內的大舉擴張。這些國外大型數字企業不但擁有先進的技術和豐富的經驗，還具有完善的營銷策略。面對這些挑戰，我們要擺正心態，將注意力集中到自我發展上。好的競爭對手更能激勵我們不斷地前進。

生2：我覺得所有的三角形只能分成這樣的三類。師：到底哪位同學的猜想是對的呢？

（1）釘子板操作驗證。

（2）三角形內角和的推理驗證。

（3）幾何畫板多樣驗證。

師：剛才同學們圍出了很多三角形，也都只有這三類。是不是根據角的特征，三角形真的只能分成三類呢？其實啊，數學家也思考過這個問題，他們利用幾何畫板來研究，我們來看看（圖略）。

圖2 幾何畫板演示三個點在一線情況

師：通過剛才的演示，你有什么發現？

生：根據角的特征，三角形只能分成這三類。

師：你真會概括?，F在，我們可以十分肯定地說——師生齊：根據角的特征，三角形只能分成這三類。

【思考】

我們發現，這樣的教學不僅藏著許多探究活動，而且還向學生滲透不完全歸納推理等數學思想，給學生提供了思考的土壤，與原有設計中教師的直接告知形成了鮮明的對比。學生通過動手在釘子板上圍一圍——圍不出第四種三角形、用三角形內角和的知識來推理——發現一個三角形最多只有一個直角或鈍角、在幾何畫板上移一移——沒有第四種三角形出現。最終，學生們十分肯定地說出：根據角的特征，三角形只能分成這三類。而這一切，源于教師對學生“求異思維”的保護，讓學生猜一猜，充分尊重了學生的體會與感悟。

“求異探索是一種富有創造性的辨異思維”，當課堂上只有一種聲音，大家都在“求同”時，敢于說出自己不同意見“可能還有其他類三角形”的學生，雖然不一定正確，但其勇氣就值得教師肯定。原有的設計，只“求同”——讓學生知道所有的三角形按角分類只有三種，從而快速完成本課的重難點；而改進設計后慢下來的教學則更關注“學生的個性心理差異，使他們能更深入細致且靈活變通地掌握知識”。蘇教版修訂教材時將“三角形的內角和”前置于“三角形的分類”，這樣的編排凸顯了知識發生、發展的邏輯順序，為學生“求異”思維的培養提供了條件。

三、對常規性思維和創造性思維的思考

【教學片段】

練習：

（1）給出三角形兩個銳角的度數，判斷是什么三角形。

①30°，60° （ ）三角形

②7□°，5□° （ ）三角形

（2）露出三角形一個角，判斷是什么三角形。你最想猜哪一個信封。

【思考】

第（1）題的題①，學生通過三角形內角和的知識進行計算后進行判斷，符合學生的思維發展規律。教師小結時提到“這兩個銳角之和是90°，它就是一個直角三角形”，為接下來的教學做鋪墊。

當題②出示時，學生不約而同地發出“啊”的驚嘆聲，他們發現角度越來越小了，甚至影響他們通過計算來判斷。面對這樣的習題，學生們陷入了深深的思考中，有一部分學生用舉例子帶入數據來計算得出結論，但明顯發現有些煩瑣且容易出錯；還有一部分學生則發現這兩個銳角度數之和大于90°，那么第三個角度數肯定比90°小，所以肯定是銳角三角形，通過已知兩個銳角度數之和與90°的關系推理出了結論。這樣的教學尊重學生的個體差異，正視不同個體之間的思維差距，數據留白了，學生的思維卻從低階邁步進入了高階。

在題②基礎上，有的學生甚至說出如果已知兩個銳角度數之和小于90°，那么這個三角形肯定是鈍角三角形。從這個結論的得出，可見學生對所有情況都進行了分析，體現了思維的整體性和深刻性。計算與推理相結合的解題思路，必然會引起學生的頭腦風暴，最終促進學生形成高階思維。

第（2）題的“你最想猜哪一個信封”，極大激發了學生的解題興趣。這一問不僅讓學生去判斷三角形的類型，更讓學生思考自己的選擇。具有不同數學思想的學生會做出不同的選擇。選擇從簡單出發的學生注重由易向難，選擇從高挑戰性出發的學生則突顯了其探究欲。教師應該尊重學生的個體差異。

數學課堂是學生發展思維的重要場所，而每一節課、每一個環節甚至每一句話都可以是載體，教師要時刻把培養學生整體思維、求異思維、創新思維等重要思維品質作為每一節課的教學目標，真正遵循學生的思維發展規律——由淺入深、從簡到繁、從易到難來開展教學，讓學生在逐步發展數學思維的過程中，養成具有生長性的必備品格與關鍵能力，最終提升學生的數學核心素養。