單自由度廣義Maxwell阻尼結構基于歐進萍譜隨機響應的簡明封閉解法

劉美華，鄒萬杰，葛新廣，姜琰

摘? 要：通過對歐進萍譜激勵下的廣義Maxwell阻尼耗能結構隨機地震動響應進行研究，提出了一種簡明的結構隨機地震響應封閉解法.首先，運用歐進萍譜濾波方程和阻尼器微分型本構關系與結構運動方程聯合組成非經典阻尼系統，將地面運動由歐進萍譜激勵轉化為基于白噪聲激勵來表示;然后，利用復模態法，獲得由白噪聲激勵表示的結構位移、速度和阻尼器受力響應的杜哈梅積分表達式;最后，基于隨機振動理論，獲得由振動復特征值線性表示的耗能結構功率譜及系統響應的0—2階譜矩簡明封閉解，并給出算例，驗證了本文方法的準確性和高效性.

關鍵詞：廣義Maxwell阻尼器;歐進萍譜;地震響應;簡明封閉解

中圖分類號：TU318? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.04.009

0 引言

地震地面運動過程具有隨機性，其發生時間、地點和強度難以確定.地震動是由震源釋放出來的地震波引起的地面運動，是引起震害的外因，國內外眾多學者提出了各種隨機地震動力學模型[1-3].工程上常把地震視為建筑物反應的隨機激勵，建立隨機地震動模型是進行結構反應設計分析的基礎[4-7].地震地面運動隨機過程可模型化為平穩與非平穩兩大類[8]，當隨機過程理論應用于地震動分析時，如果不考慮地震動頻率的非平穩特性，平穩隨機過程模型可使問題的分析尤為簡化，故工程上一般采用平穩假設.目前，金井清平穩地震動模型[2]在地震工程界被廣為使用，但是該模型假定了基巖地震動為白噪聲，不能反映基巖地震動的頻譜特征，也不能求出地面的位移、速度及加速度過程導數方差的有限值.為了改進金井清譜模型的不足，歐進萍等[1]在金井清譜模型基礎上，假定基巖運動為“馬爾柯夫”有色譜，提出了一種改進的地震動模型，該模型保持了金井清譜過濾噪聲的特點（即將地表覆蓋土層視為單自由度線性濾波器），較好地反映了地表覆蓋土層和基巖的頻譜特征，歐進萍模型對金井清譜的高頻段引入了修正項，同時也能夠求得地面位移、速度及加速度過程導數等方差的有限值.為此，研究基于歐進萍譜激勵下的結構隨機地震動響應的簡明封閉解具有重要意義.

粘彈性阻尼器耗能能力強，能有效減小結構體系的地震反應.Maxwell模型阻尼器本構關系簡單，能較好地描述粘彈性阻尼器的力學性能，對于實際工程中應用到的線性流體粘彈性阻尼器[9?10]和線性固體粘彈性阻尼器[11]，都可以用參數足夠多的廣義Maxwell模型精確表示其本構關系[12].因此，采用廣義Maxwell模型阻尼器分析結構的動力響應特性是一種有效的被動控制方式[13-15].文獻[13]用擴階復模態法研究了廣義Maxwell阻尼減震結構的平穩響應特性，但所得到的響應方差表達式較復雜;文獻[14]用傳遞函數法研究了廣義Maxwell阻尼器系統基于非平穩巴斯金譜的地震響應特性，但計算量較大，且結構響應需要通過數值積分才能得到.因此，分析廣義Maxwell模型阻尼器受力響應的簡明封閉解對實際工程具有很好的指導作用.

時域法和頻域法是研究結構隨機地震動響應常用的兩種方法[8].時域分析常用的方法主要有實模態法和復模態法[16-19]，但首先要已知隨機激勵的協方差函數，才能運用時域分析獲得結構響應的協方差函數，而歐進萍譜隨機激勵模型無協方差，因此，時域分析中不能直接得到基于歐進萍譜激勵的體系的協方差函數.頻域法基于傅里葉變換，虛擬激勵法[20]是頻域法的典型代表，通過傅里葉變換，由地震動激勵功率譜得到結構響應功率譜，再通過數值積分求得地震作用下系統的均方響應，但計算精度會受積分區間和積分步長的影響，而且有時積分運算相當繁復.鄒萬杰等[4]提出將Kanai-Tajimi譜濾波方程與結構運動方程聯合求出結構響應方差和譜矩的簡明解，相比已有的數值計算求系統響應，可有效提高運算的準確性和計算效率.本文以文獻[4]所提方法為基準，研究了更復雜隨機地震動激勵下耗能結構響應的簡明解法.

本文首先利用歐進萍譜濾波方程和阻尼器微分型本構關系與結構運動方程聯合組成非經典阻尼系統;然后，通過時域分析獲得結構響應的杜哈梅積分表達式，再由白噪聲激勵特點，得到系統響應協方差解析式;最后，基于隨機振動理論，得到平穩隨機過程系統響應的0—2階譜矩簡明封閉解.

1 耗能結構的地震動方程

1.1 結構運動方程

圖1為單自由度廣義Maxwell阻尼結構.設結構的質量為[m]，阻尼為[c]，剛度為[k]， [x]、[x]、[x]分別為結構相對地面的位移、速度和加速度，[xg（t）]為地面運動絕對加速度，[PQ（t）]為阻尼器所受的阻尼力.

在隨機地震激勵[xg（t）]作用下，粘彈性阻尼器耗能結構的運動方程為：

[mx+cx+kx+PQ（t）=-mxg（t）]? ? ?（1）

本文采用歐進萍譜，該模型是對Kanai-Tajimi譜的改進，歐進萍模型的功率譜密度函數為：

[Gxg（ω）=1+4ξ2gω2ω2g（1-ω2ω2g）2+4ξ2gω2ω2g?11+ω2ω2hS0] （2）

式中：[ξg]、[ωg]分別為場地土的阻尼比和卓越頻率，[ωh]為基巖的譜參數，[S0]為地震動強度常數，[ω]為功率譜的頻域變量.

已有虛擬激勵法是通過對式（2）數值積分求解結構地震響應，只有通過數值積分才能得到結構響應方差和譜矩，為此，本文提出將歐進萍譜濾波方程與結構地震動方程聯立求解的方法，解決已有方法方差和譜矩分析需要數值積分等問題.歐進萍譜濾波方程描述如下[1]：

[xg（t）=ug+u]? ? ? ? ? ? （3a）

[u+2ξgωgu+ω2gu=-ug]? ? ? ? ?（3b）

[ug=ωhV（t）]? ? ? ? ? ? ?（3c）

[V（t）+ωhV（t）=W（t）]? ? ? ?（3d）

式中：[ug]為基巖加速度，[u]、[u]、[u]分別為地面相對于基巖的位移、速度和加速度， [V（t）]為隨機過程，[V（t）]為[V（t）]對時間[t]的導數，[W（t）]為白噪聲激勵.其協方差為：

[CW（τ）=2πS0δ（τ）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式中：[δ（τ）]為Dirac函數.

1.2 廣義Maxwell阻尼模型的本構關系

圖2所示為廣義Maxwell阻尼模型，由一個線性彈簧單元和多個Maxwell單元并聯組成，模型的總阻尼力等于各個單元之和，其本構關系為[12]：

[PQ（t）=k0x+PQ1+PQ2+…+PQn=k0x+i=1nPQi]（5）

式中：[k0]為阻尼器平衡剛度，[x]為阻尼器兩端相對位移，[PQi]為第[i]個Maxwell阻尼單元的阻尼力.

阻尼器兩端相對位移[x]與各分支阻尼力的計算簡圖如圖3所示，其微分關系為[4]：

[PQi+kiciPQi=kix]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

式中：[ki]、[ci]分別為第[i]個Maxwell阻尼單元的剛度和阻尼.

1.3? ?重構地震動方程

由式（1）、式（3）和式（5），將結構的運動方程改寫為：

[mx+cx+（k+k0）x+i=1nPQi=-mωhV（t）-mu]（7）

引入狀態變量[y]，令其為：

[y=[u? x? u? x? V? PQ1? …? PQn]T]? ? ?（8）

聯立式（3）、式（6）和式（7），寫成：

[My+Ky=αW（t）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

式中：

[α=[0? 0? 0? 0? 1? 0]T]? ? ? ? ? ? （10）

[M=102ξgωg000Tmm0c00T001000T000100T000010T00000E（n+5）×（n+5）] （11）

[K=00ω2g0ωh0T000k+k0mωhIT-100000T0-10000T0000ωh0T0A000B（n+5）×（n+5）]（12）

式中：[0]是元素均為0的[n×1]階向量，[E]為[n]階單位矩陣，[I]為[n×1]階單位列向量，矩陣

[A=[-k1 -k2 … -kn]T]; [B=diag[k1/c1 k2/c2 … kn/cn]T].

2 結構響應的統一表達式

2.1 結構復模態解耦的杜哈梅積分

由于方程（9）所示體系為非經典體系，故用復模態方法求解.根據復模態理論，系統特征值矩陣[p]為對角矩陣，存在右、左特征向量矩陣[U]、[V]和特征值矩陣[p]使方程（9）解耦，且存在關系式：

[p=-VTKUVTMU]? ? ? ? ? ? ?（13）

引入復模態變換：

[y=Uz]? ? ? ? ? ? ? ?（14）

式中：[z]為廣義變量.

將方程（9）最終化為已解耦的一階方程：

[z-pz=ηW（t）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

式中：

[η=VTαVTMU]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

由于[p]為對角矩陣，則式（15）可寫成分量形式：

[zj=ηj0tepj（t-τ）W（τ）dτ]， j=1，2，…，n+5? ?（17）

式中：[zj]、[ηj]分別為[z]和[η]的分量.

2.2? ? 結構響應的杜哈梅積分

根據式（8）、式（14）和式（17），得結構的速度[x]和位移[x]的杜哈梅積分表達式為：

[x=u2z=j=1n+5λ2， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]? ? ? ? （18）

[x=u4z=j=1n+5λ4， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]? ? ? ? （19）

式中：[ui]為右特征向量矩陣的第[i]行向量;[λ]為結構響應的強度系數：

[λi， j=ui， j×ηj]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（20）

由式（5）、式（8）、式（14）和式（17），阻尼器所受阻尼力[PQ（t）]可表示為：

[PQ（t）=k0x+i=6n+5j=1n+5λi， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]（21）

把式（19）代入式（21），得阻尼力[PQ（t）]的杜哈梅積分表達式為：

[PQ（t）=j=1n+5（k0λ4， j+i=6n+5λi， j）0tePj（t-τ）W（τ）dτ]（22）

對式（5）求導得：

[PQ（t）=k0x+i=1nPQi]? ? ? ? （23）

由式（6）、式（8）和式（23），阻尼器阻尼力變化率[PQ（t）]的杜哈梅積分形式為：

[PQ（t）=j=1n+5（a=0nkaλ2， j-b=1ni=6n+5kbcbλi， j）0tePj（t-τ）W（τ）dτ]

（24）

3 響應方差分析

根據式（18）、式（19）、式（22）和式（24），結構響應均可以統一表示成：

[Ls（t）=j=1n+5ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ=j=1n+5Ls， j（t）] （25）

式中：[Ls， j]為結構響應分量，其表達式為：

[Ls， j（t）=ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]，j=1，2，…，n+5

（26）

式中：[ls， j]為強度系數，當[s=2]時為結構速度響應，[l2， j=λ2， j];當[s=4]時為結構位移響應，[l4， j=λ4， j];定義當[s=6]時為阻尼器受力響應，[l6， j=k0λ4， j+i=6n+5λi， j];定義當[s=7]時為阻尼器受力速率響應，[l7， j=a=0nkaλ2， j-b=1ni=6n+5kbcbλi， j] .

由于：

[Ls， j（t）=ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ=ls， j0tepjτW（t-τ）dτ]，[j=1， 2， …， n+5] （27）

得結構在平穩地震激勵下的響應協方差為： [CLs（τ）=E[Ls（t）Ls（t+τ）]=]

[j=1n+5r=1n+5E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]]? ? ? ? ? ? （28）

根據式（27），得結構響應分量的協方差為： [E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=ls， jls， r0∞0∞epjueprvE[W（t-u）W（t+τ-v）]dudv=]

[ls， jls， r0∞0∞epjueprvCW（u+τ-v）]dudv]? ? （29）

由于[W（t）]為白噪聲激勵，將式（4）代入? ? ? ? ?式（29）：

[E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=]

[2πS0ls， jls， r0∞0∞epjueprvδ（u+τ-v）dudv]? ?（30）

利用Dirac函數的性質，式（30）可以化為一重積分：

[E[Ls，j（t）Ls， r（t+τ）]=2πS0ls， jls， r0∞epj（u+τ）eprudu]

（31）

對式（31）積分部分進行運算，可得：

[E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=2πS0ls， jls， r-epjτpj+pr]? ? （32）

故由式（28）、式（32），可得結構在歐進萍譜激勵下的響應為：

[CLs（τ）=E[Ls（t）Ls（t+τ）]=-2πS0j=1n+5r=1n+5ls， jls， rpj+prepjτ]

（33）

令：

[Ds， j=r=1n+5ls， jls， rpj+pr]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （34）

則耗能結構系統響應的協方差式（33）可以表示為：

[CLs（τ）=-2πS0j=1n+5Ds， jepjτ]? ? ? ? ? ? ?（35）

當[τ=0]時，耗能結構在基于歐進萍譜激勵下的響應協方差即為響應方差。

4 譜矩分析

由Wiener-Khinchin關系，結構響應的功率譜為[8]：

[GLs（ω）=1π0∞CLs（τ）cos（ωτ）dτ]? ? ? ?（36）

將式（35）代入式（36）：

[GLs（ω）=1πj=1n+5Ds， j0∞epjτcos（ωτ）dτ]? ? ?（37）

對式（37）積分，可得本文方法結構響應功率譜表達式為：

[GLs（ω）=-1πj=1n+5Ds， jpjω2+p2j]? ? ? ? ?（38）

由譜矩的定義，結構位移響應的0階譜矩等于位移響應方差，結構位移響應的2階譜矩等于速度響應方差：

[αx，0=σ2x（0）=j=1n+5D4， j]? ? ? ? ? ? ?（39）

[αx，2=σ2x（0）=j=1n+5D2， j]? ? ? ? ? ? ?（40）

阻尼力響應的0階譜矩等于阻尼器受力響應方差，阻尼力響應的2階譜矩等于阻尼器受力速率響應方差：

[αP，0=σ2P（0）=j=1n+5D6， j]? ? ? ? ? ? ?（41）

[αP，2=σ2P（0）=j=1n+5D7， j]? ? ? ? ? ? ?（42）

結構位移的1階譜矩[αx，1]可以表示為：

[αx，1=20∞GLs（ω）ωdω]? ? ? ? ? ? （43）

將式（38）代入式（43）：

[αx，1=-2πj=1n+50∞D4， jpjω2+p2jωdω]? ? ? ? ?（44）

將上式積分可得：

[αx，1=-1πj=1n+5D4， jpjln（ω2+p2j）∞0=? ? ? ? ? ? 1πj=1n+5D4， jpjlnp2j-1πln（∞2+p2j）j=1n+5D4， jpj]（45）

根據文獻[8]可知：

[j=1n+5D4， jpj=0]? ? ? ? ? ? ? ? ?（46）

故位移的1階譜矩表達式為：

[αx，1=1πj=1n+5D4， jpjlnp2j]? ? ? ? ? ? ?（47）

同理可得，阻尼力的1階譜矩表達式為：

[αP，1=1πj=1n+5D6， jpjlnp2j]? ? ? ? ? ? ?（48）

5 算例

某單層附加廣義Maxwell粘彈性阻尼器的鋼筋混凝土框架結構，場地抗震設防烈度為7度，場地土為Ⅱ類，結構質量[m=3.6×105 kg]，剛度? ? ? ? [k=3.2×108 N/m]，阻尼比[ξ=0.05].廣義Maxwell阻尼器的平衡剛度[k0=2.5×106 N/m]，標準? ? Maxwell阻尼器兩分支單元的剛度和阻尼分別為[k1=5.3×106 N/m]，[c1=7.2×104? N·s/m];[k2=3.7×106 N/m]，[c2=8.9×104? N·s/m].耗能結構采用歐進 萍譜作為隨機地震激勵，根據文獻[1]，譜強度因子[S0=3.176×10-3? m2/s3]，場地土的阻尼比[ξg=0.72]，卓越頻率[ωg=15.71? rad/s]，基巖的譜參數[ωh=8 π? rad/s].

5.1? ?本文方法功率譜計算驗證

由式（8）、式（14）和式（17），可得地面相對于基巖的速度和位移[u]、[u]：

[u=u1z=j=1n+5λ1， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]? ? ? ? ?（49）

[u=u3z=j=1n+5λ3， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]? ? ? ? ?（50）

將式（49）、式（50）代入式（3a）、式（3b），得地面加速度[xg]的杜哈梅積分形式為：

[xg=-（2ξgωgu+ω2gu）=]

[-j=1n+5（2ξgωgλ1， j+ω2gλ3， j）0tepj（t-τ）W（τ）dτ]（51）

令[γj=-（2ξgωgλ1， j+ω2gλ3， j）]，則式（51）可以改寫成：

[xg=j=1n+5γj0tepj（t-τ）W（τ）dτ]? ? ? ? （52）

由式（34）、式（38）和式（52）可得按本文方法激勵[xg]的功率譜表達式為：

[Gxg（ω）=2S0j=1n+5r=1n+5γjγrpj+prpjω2+p2j]? ? ? ? （53）

本文方法求得的結構相對于地面位移[x（ω）]的響應功率譜表達式見式（38）.

令復數頻率特性：

[H（ω）=-mω2+cjω+k+k0+i=1nkijωjω+ki/ci]（54）

式中：[j=-1].

即傳統方法基于歐進萍譜的結構相對于地面位移[x（ω）]的響應功率譜為：

[Gx（ω）=m2Gxg（ω）H（ω）H*（ω）]? ? ? ? ? ? ? （55）

式中：*表示取復共軛.

圖4給出了地面絕對加速度[xg]的激勵功率譜對比圖，圖5給出了結構相對于地面位移[x（ω）]的響應功率譜對比圖.可以看出，在圖4和圖5中，本文方法與已有的虛擬激勵法計算得到的功率譜值完全重合，這也驗證了本文方法解析表達式正確性，而本文方法給出的功率譜表達式為系統特征值的線性組合，形式更為簡潔，計算簡單易行.

5.2? ?本文方法譜矩計算精度對比

為了驗證譜矩計算精度，將本文方法和傳統虛擬激勵法分別得到的0—2階譜矩進行對比分析.表1列出了當虛擬激勵法積分區間固定為[0， 500]時，虛擬激勵法取0.10 rad/s、0.25 rad/s、0.50 rad/s 3種不同頻域積分步長的譜矩與本文方法的譜矩對比.? ?表2列出了當虛擬激勵法的頻域積分步長固定為? ?0.25 rad/s時，虛擬激勵法取3種不同積分區間? ? [0， 100]、[0， 250]、[0， 500]的譜矩與本文方法的譜矩對比.

由表1、表2數據可以看出，傳統虛擬激勵法中，選取不同的積分步長和積分間距對譜矩計算精度影響較大，從圖5結構位移功率譜圖像的凹凸走勢可直觀看出，如果積分區間選擇不當，有可能造成結果偏大或偏小.兩種方法計算的譜矩近似程度高，誤差值與0非常接近，而且隨著頻域積分步長[Δω]的減小和整個積分區間的增大，虛擬激勵法得到的譜矩更接近本文方法的計算值，這也說明了本文方法的準確性和精確性.本文方法的精度明顯優于虛擬激勵法，同時也提高了運算的準確性和計算效率.

6 結論

本文對設置廣義Maxwell阻尼單自由度結構在歐進萍譜激勵下的平穩隨機地震動響應進行了研究，所得結論如下：

1）利用復模態法，使基于歐進萍譜的激勵轉化為白噪聲激勵，從而獲得結構以系統特征值線性表示的結構響應和阻尼器受力響應的解析解，表達式簡潔、實用，無需數值積分就可獲得各類響應的值，提高了運算效率.

2）本文提出的譜矩計算方法不受積分步長和積分區間的影響，計算精度比傳統虛擬激勵法顯著提高，可為結構的設計和優化提供分析路徑，更有利于工程的應用.

3）本文計算得到的耗能結構的0—2階譜矩及方差，可為結構動力可靠度分析提供參考.

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A concise closed-form solution for random response of single degree of freedom structure with generalized Maxwell damper based on

Ou Jinping spectrum

LIU Meihua， ZOU Wanjie*， GE Xinguang， JIANG Yan

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： By studying the random ground motion response of the generalized Maxwell damper energy? ?dissipation structure based on Ou Jinping spectrum， a concise closed-form solution is proposed.Firstly， combining the Ou Jinping spectrum filter equation， damper differential constitutive relationship and the structural motion equation to form a non-classical damping system， the ground motion is transformed from Ou Jinping spectral excitation to white noise excitation. Then， using the complex modal method， the Duhamel integral expressions of the structural displacement， velocity and damper force response represented by the white noise excitation are obtained. Finally， based on the random vibration theory， a concise closed-form solution for the power spectrum and the 0-2 order spectral moment expressed by the complex eigenvalues are obtained， and the accuracy and efficiency of the proposed method is? ? ? verified by giving an example.

Key words： generalized Maxwell damper; Ou Jinping spectrum; seismic response; concise closed-form solution

（責任編輯：羅小芬）