對象導出三支概念格上的沖突分析

史建坤，胡舒淋，智慧來

1(河南理工大學 計算機科學與技術學院，河南 焦作 454003)

2(黃河交通學院 智能工程學院，河南 焦作 454950)

1 引 言

隨著社會的不斷發展，因分配不均等原因導致的沖突問題日益增多.沖突作為人類社會的重要特征之一，在人們的日常生活、工作中發揮著重要作用[1].因此，對沖突進行分析，將沖突轉化為合理的模型從而對沖突過程進行分析，可以有效地解決沖突，將各方的損失降到最小，使多方獲利，也有助于決策者做出正確的決策.目前已有很多學者對沖突分析進行了一系列的研究并且取得諸多成果.例如，Pawlak[2]于1998年提出了一種基于粗糙集理論的沖突分析模型，指出沖突分析主要研究的是將局中人按對爭端問題的不同態度劃分為不同的集合，并幫助決策者做決策.在Pawlak沖突模型的基礎上，Gao等[3]引入每個局中人的信息系統和可行性方案、全局可行性方案和沖突系統的約束條件，得到一個新的基于粗糙集的沖突模型，最后設計出一個算法來求解沖突系統的可行方案.Zhi等[4]將三支概念分析和沖突分析相結合，提出了基于近似三支概念格的沖突分析方法，定義對象集的一致屬性、沖突屬性、中立屬性和沖突度來進行沖突分析，并提出一個漸進式算法來解決動態信息系統中的沖突分析.Lang等[5]利用決策粗糙集理論計算了沖突分析中的閾值并定義概率沖突集、概率中立集和概率一致集，接著提出了在動態信息系統中計算概率沖突集、概率中立集和概率一致集的漸進式算法.Sun等[6，7]提出了一個基于雙論域粗糙集的沖突分析模型.在此基礎上，定義了新的沖突分析矩陣，用矩陣計算沖突的最優可行共識策略，有助于解決現實中的沖突問題.此外，Sun等[8]還研究了雙論域模糊粗糙集上的上、下近似，并將其應用到應急決策中.

形式概念分析是德國數學家Wille提出的一種數學理論，現如今已經成為粒計算中最重要的工具之一，且在許多領域都得到了廣泛的應用.形式概念分析(FCA)的輸入數據是一個稱為形式背景的表，它由一個非空有限對象集、一個非空有限屬性集和它們的二元關系組成.從形式背景中獲得的基本數據結構稱為概念格，它由所有的概念連同特化-例化關系構成.形式概念分析中的概念只描述了對象集共同具有的屬性，然而對象集共同不具有的屬性并沒有直觀的顯示出來.Yao于2012年提出三支決策理論[9，10]，將待解決的問題分為接受、拒絕和不承諾3個部分，為廣大學者提供了科學研究的思想方法.于是Qi將三支決策與形式概念分析相結合，提出了三支概念分析(3WCA)這一新理論[11].此外，在可能性理論的啟發下，學者們分別提出了對象導出三支概念、屬性導出三支概念[11，12]、對偶三支概念[13]和近似三支概念[14，15]來滿足更具體的需求.目前已有很多學者對三支概念分析進行了一系列的研究并且取得諸多成果[16].例如，Qi[12]等研究了對象(屬性)導出三支概念格和經典概念格的聯系，并提出了基于經典概念格構建對象(屬性)導出三支概念格的算法，用來快速構建三支概念格.Shivhare等[17]描述了基于三支概念分析的記憶認知過程.Singh[18]提出了模糊三支概念格，并將其應用到醫學診斷.Ren等[19]研究了對象導出三支概念格和屬性導出三支概念格的屬性約簡問題及計算方法.Qian等[20]提出了一種結合子格生成三支概念格的方法，有效地提高了構造三支概念格的效率.

基于粗糙集理論的沖突分析能夠有效地刻畫局中人之間的沖突關系.但是，利用粗糙集理論進行的沖突分析只是兩個局中人之間的沖突狀態，不能有效地刻畫與分析多個局中人的沖突狀態.然而在現實生活中，有必要分析多個局中人之間的沖突.對象導出三支概念格中的三支概念正好描述了對象集共同具有和共同不具有的屬性，若將形式背景中的屬性認作爭端問題，則對象導出三支概念能刻畫對象群體共同支持和共同反對的爭端.針對這一問題和實際應用的需要，本文將三支概念分析與沖突分析相結合，提出基于對象導出三支概念格的沖突分析方法.

本文構造信息系統誘導的形式背景及其對象導出三支概念格，根據對象導出三支概念來計算對象集合的一致屬性、中立屬性、沖突屬性，以得到對象集合狀態的直觀描述，并進行沖突分析.最后，用實例詳細地說明了基于對象導出三支概念格的沖突分析方法.

2 預備知識

下面介紹涉及到的相關概念.

2.1 三支概念分析

定義1[12].設三元組K=(G，M，I)為形式背景，其中G為非空有限對象集，M為非空有限屬性集，I為笛卡爾積G×M上的二元關系.I(x，a)=1表示對象x擁有屬性a，I(x，a)=0表示對象x不擁有屬性a.

對于形式背景中的對象子集X∈2G和屬性子集A∈2M，定義一組正算子*：2G→2M和*：2M→2G如下所示：

X*={a∈M|?x∈X，I(x，a)=1}

(1)

A*={x∈G|?a∈A，I(x，a)=1}

(2)

(3)

(4)

定義2[12].設K=(G，M，I)為形式背景，對于X∈2G，(A，B)∈2M×2M，定義一組三支算子·>：2G→2M×2M和<·：2M×2M→2G如下所示：

(5)

(6)

定義3[12].設K=(G，M，I)為形式背景，X∈2G，(A，B)∈2M×2M.如果X·>=(A，B)且(A，B)<·=X，則稱(X，(A，B))為一個對象導出三支概念.其中X和(A，B)分別為對象導出三支概念(X，(A，B))的外延和內涵.

設(X1，(A1，B1))和(X2，(A2，B2))是形式背景K=(G，M，I)的兩個對象導出三支概念，若X1?X2或(A1，B1)?(A2，B2)，則稱(X1，(A1，B1))是(X2，(A2，B2))的特化概念，(X2，(A2，B2))是(X1，(A1，B1))的泛化概念.記對象導出三支概念之間的特化-泛化關系為″≤″.

定義4[12].形式背景K=(G，M，I)中所有的對象導出三支概念連同特化-泛化關系構成一個完備格，稱為對象導出三支概念格，記做OEL(K).

2.2 沖突分析

定義5[1].設三元組S=(U，V，R)是一個信息系統，其中U為非空有限對象集，V為非空有限屬性集，R為笛卡爾積U×V上的二元關系，且取值范圍為{-1，0，1}.具體地，U中的元素表示局中人，V中的元素表示爭端問題.其中R(x，a)=1代表局中人x對爭端a持支持態度，R(x，a)=0代表局中人x對爭端a持中立態度，R(x，a)=-1代表局中人x對爭端a持反對態度.

定義6[4].設S=(U，V，R)是信息系統，其中X?U，a∈V且|X|>1，定義一致性測量函數：

在一致性測量函數φa(X)中，φa(X)=1代表對象集X中所有局中人對爭端a持相同態度.φa(X)=-1代表對象集中存在兩個局中人對于爭端a持相反態度.φa(X)=0代表對象集中存在局中人對爭端a持中立態度且其余局中人對爭端a持相同態度.

定義7[4].設S=(U，V，R)是信息系統，定義信息系統中的一致屬性λ(X)，沖突屬性μ(X)和中立屬性γ(X)分別為：

λ(X)={a∈V|?xi，xj∈X，R(xi，a)=R(xj，a)}

(7)

μ(X)={b∈V|?xi，xj∈X，R(xi，b)×R(xj，b)=-1}

(8)

γ(X)=V-λ(X)∪μ(X)

(9)

定義8[4].設S=(U，V，R)是信息系統且X?U，定義對象集X的沖突度為：

(10)

定義9[4].設S=(U，V，R)是信息系統，X?U且|X|>1，定義對象集X的狀態：

1)若m(X)>0.5，則稱X為沖突狀態；

2)若m(X)=0.5，則稱X為中立狀態；

3)若m(X)<0.5，則稱X為同盟狀態.

3 三支概念分析視角下的沖突分析

在本小節中提出一種新的基于對象導出三支概念格的沖突分析方法.

信息系統S=(U，V，R)中對象和屬性的關系有R(x，a)=1，R(x，a)=0，R(x，a)=-1這3種情況.然而，經典的形式背景中對象和屬性的關系是二值的.因此，需要將原信息系統等價地轉化為兩個形式背景K+=(G，M，I+)與K-=(G，M，I-).其中，G=U，M=V，I+與I-分別為：

為論述方便起見，在下文中稱K+=(G，M，I+)與K-=(G，M，I-)是信息系統S=(U，V，R)誘導的形式背景.

定義10.設K=(G，M，I)是形式背景，X?G且|X|>1，定義函數α(X)={a∈M|?xi，xj∈X，I(xi，a)=I(xj，a)}.

定義11.設K=(G，M，I)是形式背景，X?G且|X|>1，定義函數β(X)={b∈M|?xi，xj∈X，I(xi，b)≠I(xj，b)}.

定理1.設K=(G，M，I)是形式背景且(X，(A，B))∈OEL(K).則α(X)=A∪B，β(X)=M-A∪B.

由定義10、定義11可知M=α(X)∪β(X)，現已證明α(X)=A∪B，那么容易得出β(X)=M-A∪B.

在定理1中，α(X)和β(X)均和對象導出三支概念的內涵有關，然而對象導出三支概念格中的概念只能描述部分對象集X的α(X)和β(X).下面給出每一個對象集X對應的對象導出三支概念.

設K=(G，M，I)是一形式背景，規定Π={X|(X，(A，B))∈OEL(K)}，即Π為對象導出三支概念格OEL(K)中概念的外延集合.接著給出對象集X的函數

通過上述討論給出了一個用對象導出三支概念來描述任意對象集X的方法，下面定理2證明了其正確性.

定理2.設K=(G，M，I)是形式背景且X?G，則m(X)=m(f(X)).

證明：證明可以分成兩部分.

1)若X∈Π，很明顯m(X)=m(f(X)).

定理3.設S=(U，V，R)是信息系統且K+=(G，M，I+)和K-=(G，M，I-)是信息系統S誘導的兩個形式背景，則

λ(X)=α+(X)∩α-(X)；

μ(X)=β+(X)∩β-(X)；

γ(X)=V-λ(X)∪μ(X).

其中，α+(X)，β+(X)是定義在K+=(G，M，I+)上的α與β函數，α-(X)，β-(X)是定義在K-=(G，M，I-)上的α與β函數.

由定理1可得β+(X)=M-α+(X)，β-(X)=M-α-(X)，故同理可證得μ(X)=β+(X)∩β-(X)，那么容易得出γ(X)=V-λ(X)∪μ(X).

接下來，我們提出基于對象導出三支概念格的沖突分析方法，首先將信息系統的中立態度進行修改得到K+和K-兩個形式背景，使用文獻[12]中的方法快速構造OEL(K+)和OEL(K-)，通過使用對象導出三支概念格中的概念來計算每個對象集X的α+(X)、α-(X)、β+(X)、β-(X)，接著由定理3計算出對象集X在原信息系統中的一致屬性λ(X)，沖突屬性μ(X)和中立屬性γ(X)，最后計算對象集X的沖突度m(X).根據上述討論，提出算法1進行沖突分析.

算法1.基于對象導出三支概念格的沖突分析

輸入：信息系統S=(U，V，R).

輸出：每個對象集X的沖突分析結果.

1.將信息系統S=(U，V，R)等價地轉化為兩個形式背景K+=(G，M，I+)與K-=(G，M，I-).

2.分別構造對象導出三支概念格OEL(K+)和OEL(K-).

4.由定理1、定理3和定義8分別計算對象集X的α+(X)，α-(X)，β-(X)，β+(X)，λ(X)，μ(X)，γ(X)和m(X).

5.確定對象集X的狀態并輸出分析結果.

4 案例分析

為了驗證算法1的可行性，下面提出一個實例來說明基于對象導出三支概念格的沖突分析方法，并根據沖突分析結果對沖突做出解決策略.

例.表1是一個信息系統S=(U，V，R)，描述了一個赴美旅游團的5名中國游客及其想要去旅游的目標城市.具體來說，對象集U由5名中國游客所組成，屬性集V由5個目標城市組成，其中a代表紐約，b代表華盛頓，c代表拉斯維加斯，d代表洛杉磯，e代表西雅圖.R(x，a)=1代表游客x對去a城市旅游持支持態度，R(x，a)=0代表游客x對去a城市旅游持中立態度，R(x，a)=-1代表游客x對去a城市旅游持反對態度.以游客4為例，游客4對去紐約(a)，拉斯維加斯(c)和洛杉磯(d)旅游持支持態度，對去華盛頓(b)旅游持中立態度，對去西雅圖(e)旅游持反對態度.目前有兩種情況分別是：由于旅游團對游客進行優惠酬賓活動，導致旅游的費用下降，于是游客們對持中立態度的旅游城市都改為了支持態度；由于資金緊張，游客們統一決定不再前往持中立態度的城市旅游觀光.

表1 信息系統S=(U，V，R)

對于出現的兩種情況需要對信息系統S=(U，V，R)進行修改，即將R(x，a)=0(?x∈U，?a∈V)的項處理之后得到兩個形式背景K+和K-，如表2和表3所示，其中形式背景K+滿足第1種情況，K-滿足第2種情況.形式背景K+和K-構建的對象導出三支概念格OEL(K+)和OEL(K-)如圖1和圖2所示.

表2 形式背景K+

圖1 對象導出三支概念格OEL(K+)

圖2 對象導出三支概念格OEL(K-)

表3 形式背景K-

在形式背景K+構成的OEL(K+)中，所有的對象導出三支概念都代表了在第1種情況下游客們想去和不想去的旅游城市.例如對象導出三支概念(245，(bd，e))表示的意義是：游客2、游客4和游客5都對前往華盛頓(b)和洛杉磯(d)旅游持支持態度，都對前往西雅圖(e)旅游持反對態度.

在形式背景K-構成的OEL(K-)中，所有的對象導出三支概念都代表了在第2種情況下游客們想去和不想去的旅游城市.例如對象導出三支概念(134，(a，b))表示的意義是：游客1、游客3和游客4都對前往紐約(a)旅游持支持態度，都對前往華盛頓(b)旅游持反對態度.

由算法1經計算得到的沖突分析結果如表4所示，形式背景K+、K-的α(X)，β(X)和信息系統的λ(X)，μ(X)，γ(X)及沖突度m(X)在表4中直觀的顯示出來.容易計算出5個對象的對象集X個數為26個，因此表4中對象集X的個數為26個.在表4的分析結果的基礎上，可以提出以下策略來解決沖突：

表4 例1的沖突分析結果

1)若想降低對象集X的沖突度，可以游說對象集X中局中人改變對沖突屬性的態度來實現.這一舉動可以提高對象集X的一致性，可用于聯盟，團隊之間增強凝聚力.在第1種情況下，對于對象集{1，3}，參考對象導出三支概念(13，(ae，d))及形式背景K+，也可以說服游客1對去拉斯維加斯(c)旅游持反對態度，或者勸說游客3對去拉斯維加斯旅(c)游持支持態度.在第2種情況下，對于對象集{1，3，4}，參考對象導出三支概念(134，(a，b))及形式背景K-，可以說服游客3對前往拉斯維加斯(c)旅游持支持態度，也可以說服游客4對前往洛杉磯(d)旅游持反對態度.

2)若想提高對象集X的沖突度，可以游說對象集X中局中人改變對一致屬性的態度來實現.這一決策可以降低對象集X的一致性，可用于瓦解對手聯盟凝聚力，使聯盟關系更微妙，更容易戰勝.在第1種情況下，對于對象集{2，4，5}，參考對象導出三支概念(245，(bd，e))及形式背景K+，可以說服游客2對前往華盛頓(b)旅游持反對態度，也可以說服游客4對前往西雅圖(e)旅游持支持態度.在第2種情況下，對于對象集{3，4}，參考對象導出三支概念(34，(a，be))及形式背景K-，可以說服游客3對前往紐約(a)旅游持反對態度，也可以說服游客4對前往華盛頓(b)旅游持支持態度.

實例結果表明基于對象導出三支概念格的沖突分析方法可以實現對多個局中人進行沖突分析，并且可以根據沖突分析結果提出相關的解決策略.

5 結 論

本文將沖突分析和三支概念分析相結合，得到了一種新的基于對象導出三支概念格的沖突分析方法.在此方法中，先將信息系統S等價地轉化為兩個形式背景K+和K-，然后通過定義中間變量α(X)和β(X)，最后計算出原信息系統中的一致屬性、中立屬性、沖突屬性和沖突度.基于對象導出三支概念格的沖突分析方法能更直觀的表達每個對象集的沖突信息，使得決策者能夠快速準確的做出決定.后期的工作將著重考慮如何使用三支概念格模型來解決動態信息系統中的沖突分析.