從“簡易方程”到“一元一次方程”

文／浦敘德（特級教師）

在七年級數(shù)學前三章中，我們分別學習了“第1章：數(shù)學與我們同行”“第2 章：有理數(shù)”和“第3 章：代數(shù)式”，現(xiàn)在我們開始學習“第4 章：一元一次方程”。說到方程，大家并不陌生，因為在小學五年級我們就學習了“簡易方程”，知道了方程、方程的解與解方程等概念，并會利用方程解決簡單的實際問題。到了初中，“一元一次方程”與小學的“簡易方程”又有什么異同呢？

一、全面認識研究方程的基本思路

首先，小學階段學習的方程、方程的解、解方程等概念以及用方程解決簡單的實際問題的思路同樣適用于一元一次方程；其次，一元一次方程是方程中最特殊、最簡單的方程。在初中階段，除了有特殊的一元一次方程之外，還有很多其他特殊的方程，它們都可以按照相同的思路和方法去研究。同學們可以從圖1來體會。

從圖1 中我們可以看出，小學階段講的方程知識，正好是方程需要被研究的幾個方面，而研究一元一次方程，是規(guī)范、系統(tǒng)研究方程的開始。可見，本章內(nèi)容學得好與壞，直接影響后續(xù)方程的學習。因此，同學們一定要在初中方程的開始就學好、學深、學透，取得“良好的開端”，才可能達到“成功的一半”。

圖1

二、局部認識研究方程的關(guān)鍵點

從數(shù)學知識的角度看，前面我們學習了數(shù)、式兩章內(nèi)容，因此，一元一次方程可以看成數(shù)與式的運用；從生活實際的角度看，方程可以看成實際問題中含有未知量的相等關(guān)系抽象的結(jié)果。圖1 告訴我們，從知識的角度看，要研究一元一次方程的定義、解、解法三個方面。下面，我們分別對這三個方面做一個研究。

方程的定義是“含有未知數(shù)的等式”；一元一次方程的定義是“只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)是1（次）”，由于涉及次數(shù)，所以隱含了“方程中含有未知數(shù)的代數(shù)式是整式”。一元一次方程的解的定義跟方程的解的定義完全一樣，即“能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值”。

我們再來看看等式與方程之間的聯(lián)系。

如“3+2=5”就是等式，而“3+x=5”就是方程。顯然，“x=2”就是這個方程的解。通過比較，我們可以看出，方程中的未知數(shù)看著不確定（未知），實際上是確定（已知）的，所以，方程的解也可以理解為“未知中的已知”。

求方程的解的過程叫作解方程。對于一元一次方程來說，分成“去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1”五步，對于其中的每一步，我們都要明白變形的依據(jù)。

“去分母”是根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程的兩邊同時乘各分母的最小公倍數(shù)，這是一個整體變形，要求每一項都乘到，這樣同學們就可以避免在解方程時犯“漏乘”的錯誤；“去括號”是利用乘法分配律把括號去掉，這是一個局部變形，只涉及括號內(nèi)的每一項；“移項”是根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程的兩邊同時加上（減去）某個項，這是一個整體變形，要求方程的兩邊同時變形，從結(jié)果來看，只要把一些項“改變符號”后從方程的一邊移到另一邊即可；“合并同類項”是針對方程兩邊的同類項而言，這是一個局部變形，只要根據(jù)合并同類項法則進行即可；“系數(shù)化為1”是根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時乘（除以）一個非0 的數(shù)，這是一個整體變形，要求方程兩邊同時進行，結(jié)果把未知數(shù)的系數(shù)放到右邊已知數(shù)的分母上即可。

明確了一元一次方程的定義，我們就可以判斷一個方程是不是一元一次方程。反之，如果一個方程是一元一次方程，這說明它只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，進而可以列出等式求出待定字母。明確了一元一次方程，我們可以通過解方程把它的解求出來，反之，知道一個方程的解，我們可以把它代入方程，求出待定系數(shù)。

三、整體認識方程知識的模型價值

上面提到，方程可以看成解決實際問題中相等關(guān)系的一個模型，這就是本章最后一項內(nèi)容“用一元一次方程解決問題”。這個內(nèi)容可以說明兩點：一是數(shù)學與生活是緊密相連的，數(shù)學來自生活實際；二是生活中的許多問題都可以用數(shù)學知識（方程）來解決，數(shù)學服務(wù)于生活實際。這充分體現(xiàn)了學習數(shù)學知識的價值。

列方程解決實際問題的基本步驟可以概括為“設(shè)元→列出方程→解方程→檢驗→作答”這五步。其中，設(shè)元后找到等量關(guān)系，把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，進而列出方程，是最關(guān)鍵的一步。從方程模型的整體角度看，就是“實際問題→抽象出數(shù)學問題（方程）→解決數(shù)學問題（解方程）→檢驗并解決實際問題”（如圖2）。顯然，這個建立數(shù)學方程模型的過程，適合任何一個用一元一次方程解決的實際問題。

圖2