帶形狀參數的三次三角域Bézier曲面*

查東東,劉華勇,王曾珍

(安徽建筑大學數理學院,安徽 合肥 230601)

1 引言

在計算機輔助幾何設計中，三角域上非張量積型的Bézier曲面因為在形狀設計上的靈活性，得到了大量的應用。同時學術界為克服它在控制多邊形不變時不能調整曲面外形的缺點，引入了形狀參數。例如，文獻[1]構造了三角域上的局部形狀可調的三次Bézier曲面；文獻[2]從幾何角度定義了帶形狀參數的四次Bézier曲面；文獻[3]在不升次的前提下，擴展了三角域上的三次Bézier曲面；文獻[4]分析了三角域上生成三角多項式曲面的方法。文獻[1-4]中的曲面除了繼承原有的特性，還能利用形狀參數來調節曲面的形狀，但上述曲面還存在著不能兼顧局部形狀參數和全局形狀參數的缺點。文獻[5]討論了帶有3個形狀參數的三角曲面；文獻[6]介紹了三角域上二元n次Bernstein基函數的擴展；文獻[7]給出了針對空間散亂數據點的三次曲面插值方法；文獻[8]給出了帶多局部形狀參數的擬二次Bernstein基函數。文獻[5-8]中曲面的構造，都未實現拼接的連續性，且文獻[5]的局部形狀參數和全局形狀參數效果是非獨立的，或對曲面的形狀控制力還略有不足。文獻[9]將指數函數合并到多項式函數中；文獻[10]基于遞推關系構造了帶形狀參數的基函數；文獻[11]擴展了帶有多個形狀參數的Bézier曲線和曲面。

本文構造了帶有形狀參數的三次三角域Bézier曲面，構造出的曲面不但能實現較高的光滑拼接，還可以用3個局部形狀參數和1個全局形狀參數修改曲面形狀，其中，3個局部形狀參數取值相同時具有對稱性的形狀控制效果。形狀參數大大豐富了曲面的形狀控制效果。

2 帶形狀參數的三次三角域Bernstein基函數

2.1 基函數的定義

定義1給定面積坐標(u,v,w),其中，u,v,w≥0,u+v+w=1,稱:

(1)

為帶形狀參數λ,α1,α2,α3的三次三角域Bernstein基函數，簡稱為三次三角域λα-Bernstein基。其中,-2<λ≤1,0≤α1,α2,α3≤1。

2.2 基函數的性質

性質5(角點性質) 當i+j+k=3時，有:

性質6(角點導數)

(2)

證明若

(3)

其中,Xi,j,k∈R。將式(2)代入式(3)整理得:

□

3 帶形狀參數的三次三角域Bézier曲面

3.1 三次三角域λα-Bézier曲面

定義2給定面積坐標(u,v,w),其中u,v,w≥0,u+v+w=1,呈三角陣列的控制頂點Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=3)∈R3，稱:

(4)

為帶形狀參數α1,α2,α3,λ的三次三角域Bézier曲面，簡稱為三次三角域λα-Bézier曲面。

借由轉換矩陣，也可將r*(u,v,w)寫作三次三角域Bézier曲面形式：

(5)

(6)

3.2 三次三角域λα-Bézier曲面性質

性質8(凸包性) 三次三角域λα-Bézier曲面完全被包含在控制點Pi,j,k構成的凸包內。

性質9(幾何不變性和仿射不變性) 三次三角域λα-Bézier曲面的形狀僅依賴于控制頂點Pi,j,k∈R3(i,j,k≥0,i+j+k=3)，幾何變換不改變曲面的形狀。

其中，N是任意向量且N∈Rd(d=3)，M是一任意k×k(k=3)階矩陣。

性質10(角點性質) 當i+j+k=3時，有：

性質11(退化性) 當α1=α2=α3=λ=1時，三次三角域λα-Bézier曲面退化為三次三角域Bézier曲面。

性質12(形狀可調性) 當Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=3)固定時，可以改變形狀參數α1,α2,α3,λ的值來控制曲面的形狀。

圖1為給定同一控制點Pi,j,k下，形狀參數α1,α2,α3,λ分別取不同值時得到的三次三角域λα-Bézier曲面。可以看出各參數的效果：

(1)λ趨于1 時，曲面整體就越靠近控制網格，如圖1a～圖1c所示。

Figure 1 Influence of different values of λ，α1，α2 and α3 on the surface圖1 λ、α1、α2、α3分別取不同值時對曲面的影響

(2)α1、α2、α3控制效果是類似的，這也與基函數的性質3相對應。它們各自控制著相應角點處的局部曲面形狀，是對稱的。其中α1控制著角點P300的局部曲面形狀，α1越趨于0，P300的局部曲面越靠近線段P210P201。α1越趨于1，P300處的局部曲面越靠近P300，如圖1d～圖1f所示。同理可得：α2控制著角點P030的局部曲面形狀，α2越趨于0，P030的局部曲面越靠近線段P120P021。α2越趨于1，P030處的局部曲面越靠近P030，如圖1g～圖1i所示。同理可得：α3越趨于0，P003的局部曲面越靠近線段P012P102。α3越趨于1，P003處的局部曲面越靠近P003，如圖1j～圖1l所示。

3.3 n次三角域λα-Bézier曲面

借助De Casteljau算法可以遞推n(n≥4)次三角域λα-Bernstein基函數[1]：

(7)

定義3給定面積坐標(u,v,w),其中u,v,w≥0,u+v+w=1,呈三角陣列的控制頂點Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=n)∈R3，稱:

(8)

為帶形狀參數α1,α2,α3,λ的n次三角域Bézier曲面，簡稱為n次三角域λα-Bézier曲面。

3.4 三角域λα-Bézier曲面與類似方法的比較

本文將λα-Bézier曲面與文獻[11]中擴展的Bézier曲面進行了如下比較:

(1)以控制網格為目標函數，引入2-范數來衡量曲面到控制網格的距離，2-范數越小，距離越短，逼近程度越高。

當λα-Bézier曲面比文獻[11]中擴展Bézier曲面更貼近控制網格時，有：

(2)比較文獻[11]算法和本文算法的時間復雜度，借助Matlab秒表計時函數計算出各種算法的運行時間，以運行時間近似替代。為減少誤差算法運行時間按如下方式統計:每種算法一組實驗執行100次循環，取100次運行時間的平均值，進行10組實驗，再取10組平均運行時間的最優值，比較2種算法的運行時間最優值。多次實驗后可以看出，改進算法略有領先，但基本上兩者相差不大。

Figure 2 Comparison of curved surfaces from different angles圖2 不同角點視角曲面對比圖

(3)λα-Bézier曲面和文獻[11]中擴展Bézier曲面都能全局和局部地修改形狀，但λα-Bézier曲面具有全局形參和局部形參，文獻[11]中曲面形狀的全局修改還是依靠共同修改多局部形參,且參數過多。

算法對比如表1所示。

Table 1 Comparison of different algorithms表1 不同算法的對比

4 曲面拼接

4.1 三次三角域Bézier曲面的C1連續拼接

給定2張三次三角域Bézier曲面

由三角域Bézier曲面的拼接條件[12]知，若滿足：

則2張三次三角域Bézier曲面r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共邊界(w=0)實現C1連續。

4.2 三次三角域λα-Bézier曲面的C1連續拼接

定理1給定2張三次三角域λα-Bézier曲面

若滿足：

(1)α1=α2=λ=1；

□

Figure 3 Jointing of cubic triangular λα-Bézier surfaces圖3 三次三角域λα-Bézier曲面的C1拼接

Figure 4 Examples of λα-Bézier surface jointing around corner points圖4 λα-Bézier曲面繞角點的C1拼接實例

4.3 三次三角域Bézier曲面的G1連續拼接

給定2張三次三角域Bézier曲面:

(9)

其中，Qi,j,k為曲面r2(u,v,w)上的點坐標。

由三角域Bézier曲面的拼接條件[11]知：

當i,j≥0,i+j+k=3時滿足:

P0,j,k=Q0,j,k

(10)

有r1(0,v,w)=r2(0,v,w)，即2張三次三角域Bézier曲面r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共邊界(u=0)實現G0連續；

實現G1連續需在式(10)基礎上還滿足:

(11)

其中，ε和η為自由因子。

式(10)可轉化為:

(12)

則同時滿足式(10)和式(12)時，r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共邊界(u=0)實現G1連續。

4.4 三次三角域λα-Bézier曲面的G1連續拼接

給定2張三次三角域λα-Bézier曲面:

(13)

Figure 5 Jointing of cubic triangular λα-Bézier surfaces圖5 三次三角域λα-Bézier曲面的G1拼接

又可以將式(13)改寫為:

(14)

當i,j≥0,i+j+k=3時滿足:

(15)

(16)

將式(6)和式(16)代入式(14)可得:

(17)

實現G1連續需在式(17)基礎上還滿足:

(18)

將式(6)、式(17)代入式(18)可得:

(19)

5 結束語

本文構造了帶有形狀參數的三次三角域Bézier曲面，在繼承三次三角域Bézier曲面原有性質外，曲面滿足C1、G1連續的融合條件也比較簡單，文中給出了一些參數不同取值下的曲面形狀可調的實例。此外，本文在保持基函數次序不變的情況下，給出了可調的局部形狀參數和全局形狀參數，可以根據需求更方便地調節曲面的形狀。