離散型和連續型改進Karnik-Mendel算法在高階模糊系統降型中的關系研究*

陳 陽，王 濤

(遼寧工業大學理學院,遼寧 錦州 121001)

1 引言

當前，計算相對簡單的區間二型模糊邏輯系統被成功應用于如智能控制[1]、預測[2]、永磁驅動[3]、故障診斷[4]和醫療系統[5]等諸多領域，它們是應用最廣泛的一類模糊系統。盡管如此，自從廣義二型模糊集的α-平面(或稱z切片)[6 - 8]表達理論被幾個不同研究小組提出，許多研究者的關注點逐漸從區間二型模糊邏輯系統逐漸轉向了廣義二型模糊邏輯系統[9]。廣義二型模糊邏輯系統理論及其應用研究[10 - 13]在近年來得到了較充分的發展。由于廣義二型模糊集的次隸屬度介于[0,1],因此，它們可看成比區間二型模糊集更高階的參數模型。隨著設計自由度增加，廣義二型模糊邏輯系統在處理不確定性上比區間二型模糊邏輯系統更具潛力。

一般來說，二型模糊邏輯系統是由模糊器、推理機[14]、規則庫、降型器[15，16]和解模糊器5個模塊組成。首先，在推理機的指導下，二型模糊輸入集被轉化成二型模糊輸出集。接著，降型模塊把二型模糊集映射成一型模糊集。最終解模糊化把一型模糊集變成明確輸出。當前，最流行的降型算法是源于計算區間二型模糊集質心的KM(Karnik-Mendel)算法或改進EKM(Enhanced Karnik-Mendel)算法[17,18]，這類計算密集的算法具有保持不確定性在上下級隸屬函數之間流動的優勢。國內東南大學劉新旺教授等人[19]給出了EKM算法初始化的理論解釋，以連續CEKM(Continuous EKM)算法為計算基準，擴展EKM為3種不同形式的加權WEKM(Weighted EKM)來計算出更準確的區間二型模糊集質心左端點。但是，WEKM算法的計算速度稍稍慢于EKM算法的。

本文擴展基準的CEKM算法計算來完成廣義二型模糊邏輯系統質心降型，主要目標是提高離散EKM算法的計算精度。在研究中發現，不必對EKM算法進行加權，當適當改變系統質心輸出廣義二型模糊集主變量采樣個數時，離散EKM算法計算出的廣義二型模糊邏輯系統質心降型集和解模糊化值結果就可以精確地逼近CEKM算法。

2 廣義二型模糊邏輯系統

(1)

其中，主變量x∈X，X為論域，次變量u∈[0,1]，式(1)為點-值表達式，其緊式如式(2)所示：

(2)

(3)

其中，x′表示任意主變量。

(4)

(5)

(6)

(7)

定義4Ae表示一個嵌入式一型模糊集，如式(8)所示:

Ae={(x,u(x)|?x∈X,u∈Jx}

(8)

(9)

式(7)可重新被表達為：

(10)

(11)

(12)

從推理結構的角度看，廣義二型模糊邏輯可被分成2類：Mamdani型[10]和TSK(Takagi Sugeno Kang)型[20]。不失一般性，考慮一個Mamdani型廣義二型模糊邏輯系統，假設它有n個輸入x1∈X1,…,xn∈Xn和一個輸出y∈Y，其中，xi表示第i個變量，Xi為xi的論域，Y為y的論域。系統由M模糊規則描述，其中第s條規則為：

(13)

(14)

對于每條模糊規則，其相關的α水平下的激發區間如式(15)所示：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

3 基于離散EKM和CEKM算法的廣義二型模糊邏輯系統質心降型

對于離散EKM算法，聚合所有的α-平面YEKM,α(x′)構成一型模糊集YEKM，即:

(22)

步驟1取k=[N/2.4](最接近N/2.4的整數)且計算:

c′=a/b

步驟2找到k′∈[1,N-1]滿足yk′≤c′≤yk′+1;

步驟3核對是否k′=k,若滿足，終止且設置c′=cl，k=L；否則，進入步驟4；

步驟4計算:

s=sign(k′-k)

且

c″(k′)=a′/b′

步驟5設置c′=c″(k),a=a′ 且b=b′并返回步驟2。

步驟1取k=[N/1.7](最接近N/1.7的整數)且計算:

c′=a/b

步驟2同(1)中的步驟2。

步驟3除了設置c′=cr,k=R，其它同(1)中的步驟3。

步驟4計算:

s=sign(k′-k)

且

c″(k′)=a′/b′

步驟5同(1)中的步驟5。

(23)

(24)

步驟1取c=a+(b-a)/2.4且計算：

c′=α/β

步驟2核對是否 |c′-c|<ε(ε為給定的邊界誤差),若滿足，終止且設置c′=cl;否則，進入步驟3。

步驟3計算：

s=sign(c′-c),

步驟4設置c=c′,c′=c″,α=α′,β=β′ 且返回步驟2。

步驟1取c=a+(b-a)/1.7且計算：

c′=α/β

步驟2核對是否 |c′-c|<ε(ε為給定的邊界誤差),若滿足，終止且設置c′=cr;否則，進入步驟3；

步驟3計算：

s=sign(c′-c)

步驟4同(3)的步驟4。

(25)

最終的解模糊化輸出可由端點平均解模糊化方法計算，如式(26)所示：

(26)

觀察(1)～(4)，可總結出離散EKM算法和連續EKM算法的內在聯系為：

(1) 離散EKM算法是基于離散點的求和運算計算完成廣義二型模糊邏輯系統質心降型。當迭代終止時，取得的優化轉折點可近似估計質心。連續EKM算法采用積分運算完成廣義二型模糊邏輯系統質心降型。從理論上說，當主變量離散，采樣點的個數趨于無窮時，離散EKM算法解就趨于連續EKM算法。

(2) 對于離散EKM算法，增加主變量采樣個數可能會取得更準確的計算結果。對于連續EKM算法，控制相鄰2次迭代的邊界誤差可提高算法的計算精度。

(3) 離散EKM算法用求和運算法完成數值計算。連續EKM算法用求積分運算完成象征性的計算。總結起來，離散EKM算法可看成在數值積分方法下CEKM算法的數值實現。

4 仿真實驗

本節給出2個仿真例子。在例1中，輸出廣義二型模糊集的FOU為分段線性函數，相關次隸屬函數(或稱垂直切片)為梯形函數。在例2中，輸出廣義二型模糊集的FOU是由高斯型函數和分段線性函數組成，相關次隸屬函數為三角形函數。這里假設廣義二型模糊邏輯系統的質心輸出廣義二型模糊集已通過加權或聚合所有的激發模糊規則得出。此外，主變量用字母x表示。表1和圖1給出了所定義的FOU，而表2和圖2又給出了所定義的相關次隸屬函數。

Table 1 Membership function expressions for FOU of example 1 and example 2表1 例1和例2的FOU隸屬函數表達式

Figure 1 Graphs of FOU圖1 FOU圖

Table 2 Secondary membership function expressions of example 1 and example 2

Figure 2 Shape graphs of secondary membership functions圖2 次隸屬函數形狀圖

當Δ取最大值100時，由基準的CEKM算法計算出的質心降型集如圖3所示。當Δ以1為步長從1到100變化時，基準的CEKM算法計算出的質心解模糊化值如圖4所示。

Figure 3 Centroid type-reduced sets computed by the CEKM algorithm圖3 CEKM算法計算出的質心降型集

為了研究算法的計算精度，這里定義離散EKM算法和連續EKM算法在計算質心降型集和質心解模糊化值時的絕對誤差。當取輸出廣義二型模糊集主變量采樣點個數分別為20,50,100,200,3 000 和17 000時，2個算法計算的質心降型集左側隸屬函數和質心解模糊化值絕對誤差分別如圖5和圖6所示。

為了進一步定量研究誤差指標，表3和表4又分別給出了在上述采樣點個數下離散EKM算法和連續EKM算法在計算質心降型集左側隸屬函數和質心解模糊化值時的絕對誤差的平均值。

觀察圖5、圖6、表3和表4，可以得出如下結論：

(1) 隨著主變量采樣個數的增加，無論是計算廣義二型模糊邏輯系統的質心降型集還是質心解模糊化值，離散EKM算法的計算結果都會越來越接近連續EKM算法，如圖5和圖6所示。

Figure 4 Centroid defuzzified values computed by the CEKM algorithm圖4 CEKM算法計算出的質心解模糊化值

(2) 在例1中，當取主變量采樣個數為200時，離散EKM算法計算質心降型集的結果就與連續EKM算法的相同了；但在例2中(主隸屬函數是非線性函數)，需要取采樣個數為17 000才能使離散EKM算法計算質心降型集的結果與連續EKM算法的相同，如表3所示。

(3) 在計算質心解模糊化值時，當取主變量采樣個數為17 000時，例2中離散EKM算法的計算結果就與連續EKM算法的相同了，而例1中離散EKM算法的計算結果仍然不能完全與連續EKM算法的相同，但誤差(0.002 6)已經很小了(如表4所示)，可適當再增加采樣個數使離散EKM計算結果與連續EKM算法的相同。

Table 3 Mean absolute errors of left membership functions on centroid type-reduced set表3 質心降型集左側隸屬函數的平均絕對誤差

Table 4 Average mean absolute errors of centroid defuzzified values表4 質心解模糊化值平均值

Figure 5 Absolute errors of left centroid membership functions computed by two algorithms圖5 2個算法計算的質心降型集左側隸屬函數絕對誤差值

Figure 6 Absolute errors of centroid defuzzified values computed by two algorithms圖6 2個算法計算的質心解模糊化值絕對誤差值

5 結束語

本文比較并給出了離散EKM算法和連續EKM算法之間的內在聯系。基于α-平面表達理論，對于推理輸出具有不同足跡不確定性和次隸屬函數的廣義二型模糊集，2個仿真實驗表明了當適當增加主變量采樣個數時，離散EKM算法在計算質心降型集和質心解模糊化值時可以較好地逼近連續EKM算法。

在以后的工作中，作者將基于各類迭代和非迭代降型算法[25,26]研究二型模糊邏輯系統的中心集降型[27]，以及基于智能優化算法的二型模糊邏輯系統在預測、模糊控制[28,29]和模糊系統辨識中的應用等。