基于Cubic映射的灰狼優化算法及應用*

張孟健，張 浩，陳 曦，楊 靖

(貴州大學電氣工程學院,貴州 貴陽 550025)

1 引言

灰狼優化GWO(Grey Wolf Optimization)算法是澳大利亞學者Mirjalili等[1]在2014年提出的一種新的群體智能優化算法。GWO算法以灰狼的等級制度為特征，以求解連續變量的優化問題為背景，其思想是受灰狼群的捕食行為啟發，進而模擬灰狼的群體狩獵等級制度并進行理論化研究。

標準GWO 算法也存在易陷入局部最優、后期收斂速度慢和求解精度不高等問題。GWO算法中，收斂因子a起到平衡算法全局和局部搜索能力的作用，但是，收斂因子a采用線性方式減小并不能很好地平衡算法的全局和局部搜索能力。因此，很多研究人員對GWO算法進行了一系列的優化改進。針對收斂因子a，魏政磊等[2]提出基于余弦函數和二次函數的非線性動態變化收斂因子更新方法；胡小平等[3]提出一種基于指數變化的參數調整策略，并運用在二維平面的無線傳感器網絡節點部署中；崔明朗等[4]通過添加“觀察”策略以及對控制參數a的調整策略進行改進，提出了一種用于解決多目標問題的改進GWO算法。針對初始化策略的研究中，滕志軍等[5]引入Tent映射來初始化種群，并將粒子群優化PSO(Particle Swarm Optimization)算法與GWO算法相結合構成新的混合算法；談發明等[6]提出改進非線性收斂方式的GWO算法，從混沌初始化和非線性控制策略2個角度改進了GWO算法；王志華等[7]提出了基于混沌的GWO算法，并用于提高SVM(Support Vector Machine)分類器的分類精度；Ibrahim等[8]提出了一種基于差分進化和擾動算子的混沌對立的GWO算法；Saxena等[9]提出了一種基于β-混沌序列的自適應橋接機制來調節控制參數a，用于改進GWO算法，提高算法的全局和局部搜索能力；此外，莫艷紅等[10]提出一種基于萊維飛行的GWO算法，一定程度上提高了算法尋優的精度，加快了收斂速度；Dhargupta等[11]提出一種基于反向學習的GWO算法來進行特征選取，增強了算法特征選取的性能。但是，上述改進策略還有可提升空間，因為目前許多智能算法均屬于隨機算法，采用了蒙特卡洛思想，不能完全保證對任何問題都能達到最優。

從上述2個角度對GWO算法的改進研究中，均在一定程度上提高了算法的搜索能力，但并不能解決算法在尋優過程中固有的不足。本文針對上述2個角度，提出了基于Cubic映射和反向學習策略的灰狼優化COGWO (Grey Wolf Optimization based on Cubic mapping and Opposition-based learning)算法，增強算法種群的多樣性，從而提高其尋優能力和收斂速度。

2 標準灰狼優化算法

GWO算法模擬了狼群的社會等級制度和群體的狩獵行為[1]，算法中每匹灰狼代表一個候選尋優解，將最優解設為α狼；次優解設為β狼；第3優解設為δ狼，剩余的解為ω狼。

灰狼群狩獵過程包括接近和包圍獵物，其數學表達式[1]如式(1)和式(2)所示：

D=|C·XP(t)-X(t)|

(1)

X(t+1)=XP(t)-A·D

(2)

其中，D為個體與目標之間的距離；t為當前的迭代次數；C和A為系數向量；XP為目標的位置向量；X為單匹灰狼的位置向量。其中，A和C的計算公式如式(3)和式(4)所示：

A=2a·r1-a

(3)

C=2r2

(4)

其中，C為1×1向量C的值，A為1×1向量A的值，r1,r2為[0,1]的隨機數；a為收斂因子，其值隨迭代次數的增加從2線性遞減至0，如式(5)所示：

a=2-2t/Tmax

(5)

其中，Tmax為最大的迭代次數，t=1,2,…,Tmax。

灰狼個體跟蹤獵物位置的公式表述如式(6)所示：

(6)

其中，Dα,Dβ和Dδ分別表示α,β和δ與其他個體之間的距離；Xα,Xβ和Xδ分別表示α,β和δ當前的位置；C1,C2和C3為隨機系數向量；X為單匹灰狼的當前位置向量。

在獵捕階段中，剩余的ω狼個體向著α,β和δ狼的前進步長和方向如式(7)所示：

(7)

灰狼個體位置的更新公式如式(8)所示：

X(t+1)=(X1+X2+X3)/3

(8)

3 對GWO算法的改進

GWO算法雖然具有較好的尋優能力，但對于高維問題存在易陷入局部最優等問題。本文主要針對算法種群的初始化與收斂因子a2個方面，通過增強算法種群的多樣性和動態選擇收斂因子的值對GWO算法進行改進。

3.1 Cubic映射

標準的Cubic映射[12]函數可以表示為式(9)所示：

(9)

其中，b,c為混沌影響因子，不同的b,c值Cubic映射的范圍也不同。一般在c∈(2.3,3)時，Cubic映射產生的序列為混沌狀態。此外，當b=1時，xn∈(-2,2)；當b=4時，xn∈(-1,1)。

文獻[13]對常用的16種一維混沌映射的最大Lyapunov指數進行了計算分析，Cubic映射表達式如式(10)所示：

(10)

其中，xn∈(0,1)；ρ為控制參數，Cubic映射的混沌性與參數ρ的取值有著很大的關系。由文獻[13]可知，Cubic映射的混沌性與Logistic映射、Tent映射的最大Lyapunov指數相近，且優于Sine映射、Circle映射、Singer映射和Kent映射等一維映射。文獻[14]提出了一種改進的Cubic映射，其最大Lyapunov指數為1.098 4，優于Logistic映射的Lyapunov指數0.693 0。

本文中，參數ρ的取值為(1.5,3)，根據式(10)進行仿真，其結果如圖1a所示。xn的初值為(0,1)，取x0=0.3，ρ=2.595時，Cubic映射具有較好的混沌遍歷性，仿真結果如圖1b所示。

Figure 1 Cubic mapping圖1 Cubic映射

3.2 非線性收斂因子

針對收斂因子a的調節，文獻[1]采用的是線性控制策略，可表示如式(11)所示：

a0(t)=afirst-afirst·(t/Tmax)

(11)

其中，afirst為控制參數的初值。

從式(1)～式(8)可知，算法初期，較大的a值可保證全局搜索能力，隨著迭代次數的增加，a的值逐漸減小，可加強算法的局部搜索能力。而式(11)中，a的值線性減小，不能很好地平衡算法的全局和局部搜索能力。為了提升算法搜索精度和速度，本文將使收斂因子隨迭代次數的增加而呈非線性變化。

文獻[15]對多種調整參數a的策略進行對比分析，并提出一種基于正弦函數的參數調整控制策略：

(12)

其中，afirst,afinal分別為控制參數的初值和終值；μ和k為調節參數，Tmax為最大迭代次數。

文獻[15]對式(12)的參數進行了實驗測試，當μ=k= 2時，改進策略的尋優效果優于其他改進策略(線性函數、二次函數和指數函數)，故本文中設置μ= 2，k= 2，Tmax= 500。

各控制策略的仿真如圖2所示。從圖2中可以看出，不同的控制策略對算法的尋優過程有不同的影響，曲線的斜率表示算法尋優過程中的速度。本文的控制策略在前期的變化速度較慢，便于全局搜索；中期變化速度較快，便于提高搜索速度及跳出局部最優搜索；后期變化速度減緩，便于進入局部搜素，尋找最優解。

Figure 2 a vs. t in different control strategies圖2 不同控制策略的控制參數隨迭代次數的變化曲線

3.3 反向學習策略

反向學習策略[16]主要是對問題的可行解與反向解進行評價，選擇較優的解作為下一代的優化個體，從而提高獲得最優解的概率。其定義如下：

(13)

3.4 COGWO算法流程

本文提出的COGWO算法的實現步驟如算法1所示：

算法1COGWO算法

步驟1設置種群的規模N,維度dim，初始化a,A和C；采用Cubic映射式(10)初始化Xα,Xβ和Xδ的值。

步驟2根據尋優函數計算每個智能體的適應度值。

步驟3比較各智能體的適應度值以及Xα,Xβ和Xδ的適應度值，確定當前的最優解Xα,次優解Xβ和第3優解Xδ的值。

步驟4根據提出的非線性參數控制策略，由式(12)計算控制參數a的值，以及根據式(3)和式(4)分別計算A和C的值。

步驟5根據式(6)～式(8)更新種群個體的位置，再重新計算適應度值，并更新α,β和δ狼的值。

步驟6判斷t是否達到Tmax，如果達到則結束，輸出最優解；否則返回步驟2繼續執行。

4 實驗仿真與結果分析

4.1 實驗設計與參數設置

為了驗證COGWO算法的尋優性能及其有效性，本文設計了2組對比實驗。(1)與經典的智能優化PSO算法[17]、較新的群體智能優化算法WOA (Whale Optimization Algorithm)[18]、改進的GWO算法(β-GWO(β-Chaotic map enabled Grey Wolf Optimizer)算法[9]和SOGWO(Selective Opposition based Grey Wolf Optimization)算法[11])進行對比實驗； (2)與其他改進的GWO算法進行比較。

為了驗證改進GWO算法的有效性，實驗采用的基準測試函數如表1所示。其中，F1～F3為單峰函數，F4～F6為多峰函數。此外，本文尋優測試的實驗環境為：Windows 7操作系統，Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU @2.4 GB，4 GB內存，Matlab 2018a。

本文的算法尋優中，各算法的參數設置如表2所示。種群規模N為30，最大迭代次數Tmax為500，維度dim為30。定義尋優成功率(Success rate)為ε=10-10，當尋優結果小于ε時，則認為尋優成功，反之為失敗。

4.2 與標準的4種優化算法的比較

為驗證本文提出的COGWO算法的性能，針對同一測試函數，每一種算法獨立運行30次，并統計6種算法對6種基準測試函數尋優結果的平均值(Mean)、方差(Std)、尋優時間(Time)和尋優成功率(Success rate)，結果如表3所示。

Table 1 Benchmark functions表1 基準測試函數

Table 2 Parameter settings表2 參數設置

從表3中可以看出，對于單峰測試函數F1～F3的尋優，除函數F1外，COGWO算法的尋優結果均優于其他5種群體智能優化算法的；對于多峰測試函數F4～F6的尋優，COGWO算法均優于PSO算法、GWO算法和改進GWO算法。對于測試函數F5的尋優，COGWO算法與WOA的結果相近；對于測試函數F6的尋優，本文提出的COGWO算法與β-GWO算法、SOGWO算法的結果相近，但COGWO算法的尋優時間較短。

從測試函數的尋優時間來看，COGWO算法均優于標準的GWO算法；從尋優成功率來看，COGWO算法的尋優成功率均為100%；從尋優的標準差來看，COGWO算法的標準差與尋優均值的數量級相差不大。這說明COGWO算法具有較好的尋優能力和穩定性，其收斂精度也比較高。

COGWO算法與5種群體智能優化算法對6種測試函數的尋優過程，如圖3所示，圖3a～圖3f分別表示不同算法對6種測試函數的尋優曲線趨勢。從圖3中可以看出,COGWO算法明顯優于GWO算法，且收斂速度更快，收斂精度更高。

4.3 與其他改進的GWO算法的比較

為進一步驗證本文提出的COGWO算法的有效性，與文獻[10]提出的LGWO (Grey Wolf Optimization algorithm based on Levy flight) 算法和文獻[6]提出的CGWO (Grey Wolf Optimization based on nonlinear Convergence) 算法進行對比，結果如表4所示。其中“/”表示改進的算法未對該測試函數進行尋優測試。

Table 3 Comparison of optimization results with standard optimization algorithms表3 與標準優化算法的尋優結果對比

Figure 3 Fitness value curves of different algorithms圖3 不同算法的尋優測試結果

Table 4 Optimization comparison of optimized GWO algorithms

從表4中可以看出，對于函數F1的尋優，CGWO算法的尋優精度最佳，COGWO算法優于LGWO算法；對于函數F2的尋優，COGWO算法的尋優結果比LGWO算法的尋優結果高出5個數量級；對于函數F3和F5的尋優，COGWO算法與CGWO算法的均值結果相差不大，但從標準差來看，COGWO算法的穩定性更好；對于函數F6的尋優，COGWO算法和LGWO算法均優于CGWO算法。

5 工程優化問題應用

為了驗證COGWO算法的性能，本節將其應用在拉壓彈簧設計的工程問題中，并與GWO算法、PSO算法和WOA進行對比分析。

拉壓彈簧設計問題是工程領域的一個經典的優化設計問題，在滿足條件的前提下，要求彈簧的質量最小。此外，該設計問題主要包括3個變量：即彈簧的橫截面的直徑(d)、平均線圈的直徑(Diam)和有源線圈的數量(Q)。

該問題的具體表述如式(14)所示：

X=[x1,x2,x3]=[d,Diam,Q]

(14)

目標函數如式(15)所示：

(15)

約束條件如式(16)所示：

(16)

其中，變量的取值范圍如下所示：

4種算法對拉壓彈簧設計問題的實驗結果如表5所示。

Table 5 Results of spring design problem by four optimization algorithms表5 4種優化算法的彈簧設計問題結果

從表5中可以看出，對于拉壓彈簧設計問題，COGWO算法要略優于其他群體智能算法。此外，COGWO算法對于其他實際工程優化問題的應用效果的驗證，還需要針對具體問題進行優化計算和實驗。

6 結束語

本文針對標準的GWO算法對復雜優化問題的求解易陷入局部最優的缺點，從混沌初始化和非線性控制策略2個角度改進GWO算法，提出了一種基于Cubic映射和反向學習的GWO算法COGWO。通過混沌映射來增加初始種群的多樣性，反向學習策略和非線性控制參數策略用來改進算法的收斂速度，并提高算法的收斂精度。與5種群體智能算法對6種基準測試函數進行尋優實驗，尋優結果表明，與對比算法相比COGWO算法的尋優能力和收斂精度得到一定的提高，且穩定性增強。此外，本文的COGWO算法與LGWO算法和CGWO算法相比，穩定性較好，尋優精度也較高，在實際的工程優化問題中也有較好的應用。未來將COGWO算法應用到更多的實際工程優化問題中，且對COGWO算法的收斂性理論證明開展進一步的研究。