數學多選題的基本類型及破解策略

林菊芳

(湖北省黃岡市團風中學 438800)

數學多項選擇題是選擇題的一種，它具有備選答案不唯一，存在多個正確選項的特點.試題可以從多角度審視某一核心數學概念的全貌，考查更多的數學基本知識點或能力點，對學生有較好的區分度.解答此類型數學多項選擇題可以用直接法、特值法、反證法、數形結合法等逐項判斷.

一、數學多選題的基本類型

數學多項選擇題根據各選擇支干擾因素的區分，對應的選項設計大致分為以下六種基本類型，即：

(1)條件疏漏：將一些數學問題中容易疏漏的條件所產生的結果設計為選擇支干擾項；

(2)實際背景忽視：細心模擬學生的演算過失和差錯，得到迷惑性較強的選擇支干擾項，對提高試題的針對性和鑒別力十分有效；

(3)概念混淆：針對學生容易混淆的數學相關概念、性質等設計選擇支干擾項；

(4)題意誤解：讀題不慎，審題不細，誤解題意，由此引發的錯誤結論設計為選擇支干擾項；

(5)推理錯亂：由不合邏輯的推理而造成的錯誤結果設計為選擇支干擾項；

(6)思維定勢：熟悉的內容，相似的形式，常會令人產生類比與聯想，可能產生負遷移，由此導致的錯誤設計為選擇支干擾項等.

二、數學多選題的破解策略

1.概念辨析類多選題

例1(2021年高考數學新高考Ⅰ卷第9題)(多選題)有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1，2，…，n)，c為非零常數，則( ).

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同

分析利用統計知識中的基本知識、基本公式等，將統計中的概念、公式等基本知識交匯與融合在一起，通過平均數、中位數、標準差、極差的定義直接判斷即可.

解析對于選項A，兩組數據的平均數的差為c，故選項A錯誤；對于選項B，兩組樣本數據的樣本中位數的差是c，故選項B錯誤；對于選項C，由于標準差D(yi)=D(xi+c)=D(xi)，則知兩組樣本數據的樣本標準差相同，故選項C正確；對于選項D，由于yi=xi+c(i=1，2，…，n)，c為非零常數，x的極差為xmax-xmin，y的極差為(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin，所以兩組樣本數據的樣本極差相同，故選項D正確.故選CD.

2.運算、推理類多選題

例2(2021年高考數學新高考Ⅰ卷第11題)(多選題)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4，0)，B(0，2)，則( ).

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

分析求出過AB的直線方程，再求出圓心到直線AB的距離，得到圓上的點P到直線AB的距離范圍，判斷選項A與B；畫出圖形，由圖可知，當過點B的直線與圓相切時，滿足∠PBA最小或最大，求出圓心與點B間的距離，再由勾股定理求得|PB|判斷選項C與D.

3.位置確定類多選題

例3(2021年高考數學新高考Ⅱ卷第10題)(多選題)如圖1，在正方體中，O為底面的中點，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是( ).

圖1

分析對于選項A，設正方體棱長為2，設MN與OP所成角為θ，求出tanθ的值，從而不滿足MN⊥OP；對于選項B，C，D，作出平面直角坐標系，設正方體棱長為2，利用向量法進行判斷.

圖2

4.信息創新類多選題

例4(2021年高考數學新高考Ⅱ卷第12題)設正整數n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)=a0+a1+…+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n

分析根據創新定義，2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1可判斷選項A；取n=2可判斷選項B；把8n+5和4n+3都化成n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k，可判斷選項C；2n-1=1·20+1·21+…+1·2n-1可判斷選項D.

解析由于2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1，則有ω(2n)=ω(n)=a0+a1+…+k，故選項A正確；當n=2時，2n+3=7=1·20+1·21+1·22，可得ω(7)=3，又ω(2)=0+1=1，所以ω(7)≠ω(2)+1，故選項B錯誤；w(8n+5)=w(8n+4+1)=w(8n+4)=1,w(4n+3)=w(4n+2+1)=w(4n+2)+1,由A選項知，w(2n)=w(n),所以w(8n+4)=w(4n+2),即w(8n+5)=w(4n+3),故選項C正確；由于2n-1=1·20+1·21+…+1·2n-1，可得ω(2n-1)=n，故選項D正確.故選ACD.

新高考中數學多項選擇題的創新引入與設置，給數學知識的設置與考查提供更多的場所，給不同層次的學生增加了得分機會，也更精準地測試和區分了不同層次學生的數學基礎和數學能力水平.同樣，數學多項選擇題不同基本類型與相應的破解策略不斷涌現，特別是基本類型與破解策略之間經常也是交叉與融合的，沒有太過明顯的類別，實際破解時要合理綜合，巧妙應用.