賞析立體幾何中的創新問題

焦玉梅

(山東省德州市慶云縣第一中學 253700)

立體幾何的常規題型只要掌握常規知識點并加以理解，即可求得相關問題.但對于創新問題不僅要掌握相關知識，還要能夠較好地對問題進行深入思考，才能破解試題.

一、學科交叉

點評本題與赤道緯度相互結合，考查了空間相關點的坐標表示，意在對學生的空間想象能力和推理論證能力進行檢測.

二、實際應用

例2 如圖2，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側面CDD1C1上有一個小孔E，點E到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜(CD始終在桌面上)，則當水恰好流出時，側面CDD1C1與桌面所成角的正切值為( ).

解析由題意知，水的體積為4×4×2=32，如圖2.

設正方體水槽繞CD傾斜后，水面分別與棱AA1,BB1,CC1,DD1交于點M,N,P,Q,由題意，知PC=3，水的體積為SBCPN·CD=32.

在平面BCC1B1內，過點C1作C1H//NP交BB1于點H，則四邊形NPC1H是平行四邊形，且NH=PC1=1.

又側面CDD1C1與桌面所成的角即側面CDD1C1與水面MNPQ所成的角，即側面CDD1C1與平面HC1D1所成的角,其平面角為∠HC1C=∠B1HC1.

點評本題以正方形為載體進行考查，解題的關鍵是建立等式求得BN的值，再將二面角轉化到一個直角三角形中即可求解.

三、數列與立體幾何交匯

例3斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數：1,1,2,3,5，…為邊的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．圖5為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對應的扇形作圓錐的側面，則該圓錐的體積為( ).

解析根據已知可得所求扇形半徑為r=3+5=8，即圓錐母線長為l=8.

點評本題主要根據斐波那契數得圓弧的半徑為8，然后根據圓錐側面展開圖計算出圓錐的底面半徑和高，從而可得體積.

四、數學文化

例4牙雕套球又稱“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復，工藝要求極高.明代曹昭在《格古要論·珍奇·鬼工毬》中寫道：“嘗有象牙圓毬兒一箇，中直通一竅，內車數重，皆可轉動，故謂之鬼工毬”.現有某“鬼工球”，由外及里是兩層表面積分別為100πcm2和64πcm2的同心球(球壁的厚度忽略不計)，在外球表面上有一點A，在內球表面上有一點B，連接線段AB.若線段AB不穿過小球內部，則線段AB長度的最大值是( ).

解析因為外球的表面積為100πcm2，內球的表面積為64πcm2，所以外球的半徑為5cm，內球的半徑為4cm.

點評本題首先根據題意確定外球的半徑以及內球的半徑，然后以外球表面上一點A、內球表面上一點B以及球心O作截面，根據線段AB不穿過小球內部得出線段AB與內球相切時線段AB的長度最大，最后通過計算即可得出結果.

五、古代建筑與立體幾何

A．正四棱錐的底面邊長為6米

B．正四棱錐的底面邊長為3米

解析如圖8，在正四棱錐S-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點，則SH⊥AB.

故選AC.

點評利用已知條件畫出圖象，設O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點，設底面邊長為2a，利用線面角的定義得出∠SHO=30°，根據已知條件得到各邊的長，進而求出正四棱錐的側面積即可.

六、命題角度創新

(1)求證：平面AOD⊥平面ABCO；

又OB?平面ABCO，所以平面AOD⊥平面ABCO.

所以M是BD的中點.

點評求二面角的正弦值，可分三步，第一步：求出兩個平面的法向量；第二步：求出兩個法向量夾角的余弦值；第三步：由二面角范圍[0，π]知正弦值為正，由余弦值可得正弦值．本題的命題則拐了一個彎，先由二面角的正切值求得余弦值，從而再確定λ的值.