環軌起重機主臂拓撲優化與算法改進

高順德 徐振東 徐金帥 李 鑫 滕人鵬

1大連理工大學機械工程學院 大連 116024 2大連理工大學裝備結構分析國家重點實驗室 大連 116024 3大連船舶重工集團有限公司 大連 116083

0 引言

環軌起重機主臂是環軌起重機最重要承載結構，其結構形式對力學性能起著至關重要的作用，結構設計的合理與否直接關乎環軌起重機的起吊性能。目前，國內環軌起重機產品鮮見，國外環軌起重機的主臂均采用A字形結構[1]，如圖1所示。

圖1 環軌起重機主臂結構形式

不同的結構形式對于環軌起重機主臂的質量、剛度等參數影響很大。傳統的設計方法由于在設計初始時不能將這些參數作為驅動參數，往往不能設計出最合理的受力結構形式。拓撲優化從材料本身的性質出發，將材料的物理參數映射到優化模型中，通過求解優化模型得出最優解，從而得到最優結構形式，是一種更合理的結構設計方法[2]。

當前，起重機臂架拓撲優化設計的方法主要為基結構法[3]。雖然該方法更適合用于臂架拓撲優化，但基結構法也有諸多缺點[4]：基點位置是人為選定且不連續的，故不能保證是最優解；每2個基點之間都需要連接，問題的規模卻會隨基點數量的增加呈指數上升態勢。

隨著優化理論的發展，越來越多的學者將連續體拓撲優化應用于結構設計中。陳濤等[5]將拓撲優化應用于汽車電池外結構設計中，使強度在極端條件下得到提升；張庭瑋等[6]將拓撲優化應用于熱傳導件設計中，在提高散熱效率的情況下減小了散熱肋片的質量；周奇才等[7]采用分層優化的思想，對2 500 t環軌起重機主臂進行了優化設計，實現了減重的目的。

然而，將連續體拓撲優化應用于環軌起重機主臂的研究卻很少，本文以柔度為目標函數、體積分數為約束的連續體拓撲優化[8]為切入點，研究了環軌起重機主臂系統的剛度最優設計問題，得出了人字形加平行臂的最大剛度結構形式；針對該方法在計算大型三維問題的計算速度慢的問題[9]，本文提出了一種修正移動限法對原算法進行修正，算例結果顯示該方法能夠有效地減少迭代次數，提升計算效率。

1 連續體拓撲優化的概述與分析

1.1 插值模型與過濾方法

本文研究的問題基于SIMP插值模型[10]，SIMP法是將單元的密度參數利用懲罰函數映射到剛度矩陣中，通過迭代準則改變單元的密度從而影響剛度陣，實現材料的刪減，從而實現拓撲優化。

拓撲優化由于存在棋盤格和網格依賴性問題，需要采用一定的過濾技術。常用的有柔度敏度卷積過濾和二重敏度過濾[11]，二重敏度過濾是在柔度敏度過濾的基礎上加入對密度梯度的過濾，這一方法對解決網格依賴性具有很好的效果。

環軌起重機主臂受力形式可簡化為臂頭部分受到重物重力和拉索的拉力作用，臂架底部受到底部支撐的約束。本文所研究模型的設計域和約束均一致，在圖2所示坐標系中，左下2個單元的4個被標注點進行全約束，用以模擬起重機臂架底部的支撐；右上角的中心點處加載-x、-y的單位力，用以模擬起重機臂頭受到重物的重力和拉桿的拉力。

圖2 結構設計域的約束形式

1.2 算例驗證與問題分析

算例參數設置：網格規模為40×40×20，體積分數為0.1，過濾半徑為2，懲罰因子為3，移動限為0.2。由于不同的計算機整體計算時間不同，而迭代次數不變，故以迭代次數作為計算速度的依據。算例1使用密度和柔度敏度的二重過濾方法，算例2使用柔度敏度過濾方法。迭代曲線如圖3和圖4所示。

圖3 算例1迭代曲線

圖4 算例2迭代曲線

由圖3、圖4可知，當采用二重敏度過濾方法時，迭代出現震蕩現象，最終結果不收斂；采用柔度敏度過濾時，迭代至103步收斂。相較之下，柔度敏度法過濾的迭代曲線較平穩，對計算是有利的。

由算例可知在三維大規模問題計算中，不同的敏度過濾法對收斂性影響很大。本文研究重點不在敏度過濾方法，而是在后續分析中均采用柔度敏度過濾法。

2 計算模型的修正

SIMP插值模型在計算大規模問題時，由于計算機數值計算的問題，迭代計算過程中很可能出現剛度陣奇異現象，導致計算失敗。因此，考慮對原模型進行修正，以防出現矩陣奇異現象。

2.1 改進的SIMP法

SIMP插值模型可表示為

在迭代過程中，當單元設計變量趨于0時，會因計算機的誤差導致組裝總剛度陣時出現奇異現象。為了防止這種現象出現，采用Sigmund提出的修正SIMP模型[12]，即

式中：Emin為設定空單元的彈性模量，取E0＝1 000Emin。

與原方法相比，此方法設定了彈性模量的下限，避免了剛度陣的奇異，提升了程序的穩定性。

2.2 改進的卷積過濾法

原卷積過濾方法可表示為

式中：Hf為卷積算子。

當設計變量xe趨近于0時，修正的敏度值將趨于無窮大，故對其進行修正的表達式為

式中：γ為一個較小的正值（10-3），可有效防止除以0現象的發生。

2.3 修正模型的驗算

綜上所述，對圖1所示模型進行拓撲優化，計算可得圖5所示對應約束條件下使剛度最大的環軌起重機主臂結構形式。從拓撲優化得到的結構形式來看，在最大剛度要求下，人字形加平行主臂結構形式更為合理。

圖5 環軌起重機主臂的最大剛度結構形式

3 迭代準則法的改進

在單約束情況下，使用基于K-T條件的準則法[12]是計算優化模型最快的方法?；贙-T條件的更新準則表示為

式中：λ為拉格朗日乘子；m為移動限；η為阻尼函數，取0.5。

3.1 移動限對計算速度影響的分析

準則法以K-T條件為基礎，為防止設計變量變化過快，引入了移動限m。在利用K-T條件求解優化問題時，問題的收斂性與迭代點位置有關，而移動限m是直接影響迭代點位置的重要參數，故其取值對收斂性影響較大。準則法中的移動限m是由二維算例經驗設定的值，但三維問題的參數的影響程度與二維不相同。

算例3：移動限m取0.1，其余設計參數和算例2均一致。計算得模型柔度值為7.52，迭代收斂曲線及結構拓撲如圖6、圖7所示。

圖6 算例3的迭代收斂曲線

圖7 算例3的拓撲構型

由圖6可知，當移動限取0.1時，迭代至72步時收斂且收斂過程較為穩定，未出現震蕩現象。與圖4對比可知，移動限取0.1時迭代過程更穩定，且收斂速度更快。進一步對比兩模型拓撲（見圖5、圖7）發現，2次計算得到的拓撲形狀無區別。

3.2 參數關系驗證

體積分數f也是影響迭代速度的參數之一，在通常情況下，體積分數f越大則迭代次數越少。在根據實際需求設置體積分數f后，確定移動限m的數值是加快迭代速度不可忽視的一步，尤其當模型體積分數f較小時，移動限m對計算速度的影響更加顯著。

為探究移動限m與體積分數f取不同值時對計算速度的影響，進行如下驗證：當體積分數f取0.1～0.3時，以移動限m為橫坐標，迭代次數為縱坐標；橫坐標取值范圍為0.02～0.2，間隔0.02采樣迭代次數，得出移動限m關于迭代次數的曲線。再按曲線的變化趨勢，以體積分數f取0.2為分界點，可將11條曲線分為2組。其中體積分數f取值范圍為0.1～0.18時m-f曲線如圖8所示；體積分數f取值范圍為0.2～0.3時m-f曲線如圖9所示。

由圖8、圖9可知，當體積分數f＜0.2時，迭代次數隨移動限m增加先減小后增加，且隨體積分數f的增大，這種趨勢逐漸放緩，曲線逐漸演變為單調遞減的趨勢；當移動限m取值范圍為0.04～0.08時，迭代次數最少。當體積分數f＞0.2時，迭代次數隨移動限m增加單調遞減，移動限m越大則迭代次數越少，且在移動限m＞0.2時，迭代次數趨于穩定。

圖8 m-f迭代次數曲線（f取0.1～0.18）

圖9 m-f迭代次數曲線（f取0.2～0.3）

本文研究臂架系統的拓撲優化，體積分數f取值較小，故對其取值0.1～0.2、m取值0.01～0.1時進行細化研究。其中，采樣區間0.005，記錄迭代次數，迭代曲線如圖10所示。圖10的趨勢與圖8基本一致，當體積分數f變化范圍為0～0.2時，迭代次數總是在移動限m取值0.05～0.06時最少。

圖10 細化的m-f迭代次數曲線

3.3 修正的移動限法

由前述分析可知，參數移動限m、體積分數f與收斂性密切相關?？紤]移動限m與體積分數f的關系變化趨勢，采用Sigmoid函數擬合二者的關系，通過對Sigmoid函數進行線性變換后再修正，得出移動限m與體積分數f之間關系的表達式為

式中：f為體積分數；Lu、Lb為移動限m的上下基準，Lu＝0.2，Lb＝0.05；α為Sigmoid曲線轉折時變化的劇烈程度，取200；b為曲線映射突變的轉折點，根據以上分析，取0.18；β為控制系數，取0.01?？傻脠D11所示移動限m與體積分數f的關系。

圖11 m-f關系函數曲線圖

3.4 算例驗證

算例4采用修正的移動限法進行計算分析，設計參數除移動限外與算例2均相同。計算得迭代曲線和拓撲形狀如圖12、圖13所示。

圖12 算例4的迭代曲線

圖13 算例4的拓撲構型

由以上算例分析結果可知，在采用修正的移動限法后，柔度值為7.52，迭代步數在48步收斂，速度提升了1倍，且相較于算例2的方法（迭代103步），該迭代過程更平穩。對比圖7、圖13可知，2個模型拓撲基本一致。通過以上算法的優化計算，所得結構形式均為A字形加平行臂的形式，驗證了本文提出的修正移動限的正確性。

4 總結

本文以SIMP拓撲優化方法研究了環軌起重機主臂的優化問題，通過對大量計算數據的分析發現了移動限m、體積分數f和收斂性之間存在聯系，并針對三者間的關系提出了移動修正限法。該方法針對體積分數f取值范圍為0.1～0.3時m-f曲線趨勢突變的現象，采用修正的Sigmoid函數對移動限m的數值進行擬合，實現了在不同體積分數f情況下取得最適合移動限m的目的。該方法增強了SIMP法的穩定性和計算速度，對于解決小體積分數f時的大規模三維拓撲優化問題具有較好效果，能顯著加快其計算速度和收斂穩定性。為了使環軌起重機主臂結構形式更合理提供了依據。