小學數學解題反思內容概述

陳丹陽

摘要：數學解題反思是數學解題的一個重要的組成部分，它不僅能進一步促進學生對知識的理解，也能提高學生對知識的建構能力，還能能提高學生的思維能力。但在對小學高年級學生數學解題反思的現狀的調查看來，大多數學生缺乏解題反思的意識，不明確解題反思的內容，解題反思策略比較單一等等。因此，厘清數學解題反思的內容很有必要。學生可以在解題過程中不斷地學習，具備解題反思的意識，學會解題反思的方法，在數學解題過程中運用解題反思完善自己的數學知識體系、提高自身的思維水平，實現學會學習的目標。

關鍵詞：小學高年級，數學解題反思，解題反思能力

一、數學解題反思的重要意義

在《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中，明確界定了核心素養，即學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。數學是一種理性的精神，它追求的是真理，促進人們認識世界和發展自己。通過不斷的批判和反思，探索知識的真正內涵。《數學課程標準》指出：“人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、反思與建構等思維過程;能回顧解決問題的過程，初步判斷結果的合理性;通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯系，獲得數學活動經驗;學生只有明確了解題的目的，通過解題反思將知識、方法、策略內化成自身的經驗，才能提高學生的解題能力，提升學生的思維能力。

二、數學解題反思的概念界定及理論

數學解題反思就是學生對整個數學解題活動的“再認識”。具體而言，指的是對題意、知識、思想方法、拓展等各方面的反思，在不斷地解題反思中，改進解題思路、把握解題規律、優化解題結果、總結解題經驗、拓展解題方法等，進一步加深對數學問題的了解，提高自身的思維水平。

建構主義的教育理論的主要觀點就是，知識不是通過感官或交流被動獲得的，而是通過認識主體的反省抽象來主動建構的。數學解題反思是建立在學生已有的知識結構上的，學生在解題后對解題過程、解題方法、解題結果等進行反思，其本質就是自我的溝通過程，也就是重新建構知識體系的過程。董奇教授認為元認知概念包括三方面：元認知知識、元認知體驗、元認知監控。如果教師在數學解題教學中，能夠運用元認知理論去指導學生進行自我評價和自我調節，引導學生培養解題反思能力，養成反思習慣，那么學生會有更好地學習主動性、自主性、自覺性。波利亞在他的《怎樣解題》中提出了解題過程的四個基本步驟，即理解問題、擬定方案、執行方案、回顧這四個步驟。第四步回顧是最重要且有益的環節，回顧即反思，通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結果及導致結果的途徑，能鞏固知識，并培養他們的數學解題能力。

三、小學數學解題反思的內容

在我們的教學中，教師們也經常會讓學生反思，但大多只是回顧解題過程，或者摘抄錯題等等，并沒有系統地引導學生反思，更不清楚學生們應該反思什么，這就導致學生的反思流于表面，并沒有很好地促進學生能力的發展。因此，教師先了解小學數學解題反思的內容，才能更好地引導學生學會反思。

（一）反思解題的過程

反思解題的過程就是要求學生回顧從解題開始到結束的每一個步驟和相應心理活動，實現認知監控，培養元認知能力。

1.反思題意的理解過程

反思題意的理解過程就是要求學生重新思考自己從題目中獲取的信息是否準確、全面、深刻，信息之間有何關系，關鍵的信息是什么，哪些信息被遺漏、被忽略，哪些信息是多余、被隱藏的信息，信息理解不準確的原因是什么等。

例題：一本書共270頁，王強前3天看了78頁，后4天每天看了20頁。他一共看了多少頁？

師：從中你得到了哪些信息？

生：一本書共270頁，王強前3天看了78頁，后4天每天看了20頁。

師：要解決什么問題？

生：他一共看了多少頁？

師：你打算怎么列式解決？

錯誤方法一：78+20=98（頁）錯誤方法二：78×3+20×4=314（頁）

學生出錯的原因就在于沒有抓住題干的關鍵詞，沒有弄清題意就開始盲目做題，這時就應該引導學生抓住關鍵句和關鍵詞進行解題反思。

師：你認為問題中有沒有關鍵的詞？

生：有，“看了”，我們要解決的是“看了”多少頁。

師：那題目中的信息都要用到嗎？

生：不是的，一本書共270頁，這個信息是多余的。

師：“王強前3天看了78頁”是什么意思？

生：就是前3天一共看了78頁。

師：“后4天每天看了20頁”又是怎么理解呢？

生：這里的20頁是每天看20頁，不是這4天的看的，這4天一共看了多少頁，還得算一算。

學生針對問題中的關鍵詞“看了”的理解，排除了一個多余信息。通過對兩個關鍵句的理解，學生明白了第一個信息的78頁是3天一共看的，而第二個信息的20頁是“每天”看的。通過題意理解過程的反思，促使學生學會審題，弄清題意給解題奠定正確的基礎，使她們的審題能力獲得顯著提升。

2.反思解題的探索過程

在解決一個數學問題時，往往不是馬上就產生明確的解題思路，而是通過不斷地嘗試、推演，反復分析思考，才能是問題解決不斷地明朗和具體。反思解題的探索過程其實是對信息進行加工的過程，即重新思考信息的檢索、提取、組合及重新組合的過程。思考在探索過程中走過哪些彎路，為什么會遇到困難：是信息把握不準確，還是被淺層信息所迷惑？是單一地看待問題，還是將問題進行了分割？是思維方向單一，還是自我條件設置？特別是對探索過程中出現的靈感、直覺思維要充分挖掘，仔細分析，才能是探索過程變得具體化，從而應用于平時的解題中。

例題：求下圖長方形ABCD的面積（單位：厘米）。

師：我們來回顧一下是怎么找到求長方形ABCD的面積的。

師：首先，要求長方形的面積，需要知道什么？

生：長方形的長和寬。

師：但是從圖中的數據，我們無法確定長方形的長和寬（學生在剛開始解決這個問題時，由于對求解長方形面積方法的方向單一性，只想到了要求長方形的面積，就必須知道長方形的長和寬，導致解題思路中斷。）。

師：我們能從圖中觀察到什么？又能求出什么呢？（需要重新對題目進行思考，對于所給的信息進行再次加工，探索解題思路。）

生：從圖中我們觀察到有一個直角三角形，并且知道底和高分別是6厘米和8厘米，那么就可以求出三角形的面積等于12平方厘米。

師：求出來是否有用呢？這個三角形跟長方形有什么關系呢？我們求一個圖形的面積，還有什么方法呢？（面對第一種常規思路無法解決問題時，我們就需要打開思路，重新探索解決方法。）

生：求一個圖形的面積，我們還可以對圖形進行割補。

師：通過我們對長方形進行分割的嘗試，我們可以觀察到三角形的面積正好是長方形面積的一半，從而求的長方形的面積。

學生從一開始的無從下手，到思路的慢慢顯現，反思解題的探索過程，讓學生再一次系統地經歷求解的過程，幫助學生學會思考，將這樣的探索過程遷移到別的問題解決上。

3.反思推理過程

推理是從一個或幾個一致的判斷得出一個新的判斷的邏輯方法。反思推理過程就是重新思考邏輯基礎是否充分，得到了怎樣的新判斷，整個推理的過程是否嚴謹、周密。教師先是引導學生展開推理，然后通過反思推理的結果，利用問題串的形式，進一步提升對小數的意義的認識。使學生收獲的不僅僅是知識，還有推理的方法、經驗和思想。

4.反思運算過程

運算能力是小學生高年級學生的一個重要能力，反思運算過程就是要檢驗整個運算過程，思考用到了什么運算法則，運用是否得當，有無增、減、漏、筆誤等情況，運算過程是是否簡便，運算方法是否可以推廣等。

例題：典型錯題

師：這道題，運用了什么運算定律？

生：乘法分配律。

師：你認為用的對嗎？你有什么想說的？

生：不對，原來是99乘17，怎么變成100乘17了，

師：你認為這道題錯誤的原因是什么？

生：不能看到99就把99變成了100，不能改變數的大小，不然結果就會變化。

師：那應該怎么聯系99和100呢？

生：將99變成100-1。再利用乘法分配律進行計算。

這樣的錯誤做法在學生中很常見，學生總是片面的覺得要把99變成100，而忽略了簡便計算的前提是不改變結果的大小。只是盲目地湊整，僅僅只知道計算的結構上，而并沒有理解算式的意義。讓學生去反思自己運算過程，明確錯誤的原因和改正的方法，從而加深對簡便運算、乘法分配律的認識和運用。

5.反思語言表述過程

數學有其獨有、特殊的語言符號。反思數學語言表述過程，就是重新思考符號、公式的表意是否準確，使用的數學語言是否正確，語言的表述過程可否簡略等。

在學生展示并說明了不同的解題思路后，首先，教師可以提問學生：這幾種方法和思路你都聽懂了嗎？你覺得都對嗎？如果是對的，為什么對？如果是錯的，錯誤的原因什么？其次，比較幾種正確的解題思路，教師可以提問學生：這幾種思路的相同之處是什么，又有什么不同的地方？哪種方法更加簡便？對你又有什么啟發？

通過問題串的形式，引導學生理性地的思考自己的思維過程和表達過程，合理的質疑，幫助學生形成自覺反思的意識，養成理性思考的習慣。

（二）反思解題涉及的知識

認識數學對象的過程，不是一蹴而就的，而是需要在一次次的數學活動中不斷地認識再認識。在不同在情境下，同一個數學對象的本質特征是不變的，但是表現出來的形式卻多種多樣。通過在不同情境下對同一數學對象進行反思，可以提高認識的水平，產生更多新的認識，不斷豐富和完善自己對數學對象的理解。

1.反思知識的理解

反思知識的理解就是重新思考解題過程中涉及的概念、公式、法則等，反思解決問題的關鍵知識是什么？對涉及到的知識是否理解清楚準確？各概念之間的有什么關系？公式、法則等成立的條件如何？更多地思考還有哪些知識沒有掌握，沒掌握的原因是什么，是否對原有的知識有個新的認識等。

2.反思知識的運用

同一個概念可以以不同的形式呈現在不同的情境中，同一公式、法則也可以運用于不同的情形。反思知識的運用，首先，要回顧知識運用的情境，以促成知識的遷移;其次，要思考如何運用知識解決問題，是否對數學知識做到了活學活用;最后還要思考知識運用的靈活程度與熟練程度。

例題：六年級學生報名參加數學興趣小組，參加的同學是六年級總人數的，后來又有20人參加，這時參加的同學與未參加的人數的比是3：4。六年級一共有多少人？

師：在解決這道題時，我們用到了哪些知識，你是如何理解的？

生：用到了分數的意義，把六年級總人數看成單位“1”;用到了比的意義，參加的同學與未參加的人數的比時3：4;我們可以分數乘除法來解決這類問題。

師：解決這樣類型的題，關鍵的知識是什么？

生：找到一個具體的量除以所對應的分率，就能求出單位“1”的量，也就是六年級一共有多少人。

師：我們是怎么找到具體的量和它所對應的分率的？

生：具體的量題目中已經告訴我們了，而對應的分率需要從題目中算出來。

師：在求對應的分率時，你用到了什么知識來解決？

生：六年級的總人數是不變的，而參加的人數改變了，原來是總人數的，現在是總人數的，所以參加的同學就多了。

師：最后用分數除法列式計算：（人），就能求出六年級一共有多少人。

基本上每個學生都明確知道求單位“1”的方法，但是當題目中所給的信息無法直接解決問題時，這就需要學生靈活的運用所學的知識。經過這樣的對知識運用的反思，讓學生對這一知識有了更深刻的理解，進一步提高運用知識的能力。

（三）反思數學思想方法

反思數學思想方法是數學解題反思的一個重要內容，對數學思想方法進行挖掘和提煉，幫助學生對數學思想方法的領會、掌握和運用，從而提高學生的思維水平和數學能力。

1.反思解題所涉及的思想方法

每種數學思想都不是出現在某一道特定的數學題中，往往出現在具體的解題過程之中。反思解題所涉及的數學思想方法，就是重新思考和探究在解題過程中用到了哪一種數學方法，該類方法運用的原理是什么，反映了什么數學思想，這種數學思想可以具體表現在哪一類情境中。

2.反思數學思想方法的具體運用

反思數學思想方法的具體運用就是要重新思考解題的方法和策略的運用過程、運用是否合理，具體的運用程序、運用的背景和特點、在運用的過程有哪些注意事項等。還可以反思數學思想方法的指導下數學知識，如何用數學思想和方法統帥具體問題的解決。

教學片段：

例題：客車和貨車同時從甲、乙兩地相向開出，8小時相遇，相遇后又行了6小時，這時客車到達乙地，問貨車還要幾小時才能到甲地？

解法一：以全程為單位“1”。

先算客車行駛完全程需要多少小時：（小時）

再算貨車的速度：

再算貨車行駛完全程需要多少時間：（小時）

最后算出貨車還要幾小時才能到甲地：（小時）

解法二：先算客車行駛完全程需要多少小時：（小時）

再算，行駛同樣的路程，貨車所用的時間是客車的多少倍？

再算貨車行駛完全程需要多少時間：（小時）

最后算出貨車還要幾小時才能到甲地：（小時）

師：在解決這道題時，我們用到了兩種方法，你認為最關鍵的是什么？

生：畫出線段圖。

師：畫出線段圖后有什么好處？

生：我可以一眼就能看出，客車行駛完全程用了14小時;同樣一段路程，客車用的時間是6小時，而貨車用了8小時;

師：你知道借用線段圖解決問題的方法叫什么嗎？

生：數形結合法。

師：是的，關于行程問題，在讀完題卻沒有解題思路時，我們可以借助畫線段圖，利用數形結合的方法幫助我們理清數量關系，從而解決問題。

（四）反思數學問題之間的聯系

新的數學問題的解題過程中，必然與一些做過的題或者似曾相識的有一定地練習，所以在解題后要可以進行必要的收斂性思索，對這些有聯系的問題一起進行反思，并概括出某種規律或經驗，引導學生進行舉一反三，以達到融會貫通的目的。

1.反思問題情景的聯系

反思問題情景的聯系就是要回過頭去思考問題的情景、問題的呈現形式與曾經遇見過的哪些問題有什么相同之處，又有何不同之處，探究其是表面上的相似還是本質上的相似。

2.反思方法間的聯系

反思方法間的聯系就是要回過頭去思考在整個解題過程中用到的策略、方法是否在過去的解題中運用過，對比前后的運用，是否存在差異，是否有規律可尋，得到的規律能否推廣，不同的解法之間又有什么樣的聯系和區別等。

教學片段

例題：一個籠子里，雞和兔子一共有7只，共有腳22只，雞和兔子各有幾只？（復習課）

教師呈現新課教學中的四種方法：畫一畫、列表法、算一算、解方程。

環節一：溝通畫一畫和列表法。教師畫一步，學生填表。

環節二：溝通畫一畫和算一算。教師畫一步，學生算一步。

環節三：體驗畫一畫和解方程。

環師：請你仔細觀察這四種解法，說說你的看法？

生：這四種方法其實是一樣的，只是呈現的方式不一樣。

師：是啊，都用到了“假設法”。

學生經歷了對四種方法的再思考再溝通，通過反思，發現四種解法只是表達形式的不同，而內在的本質是一樣的，都是用到了“假設法”來思考問題的。從而將只關注表面的數學知識和技能，發展為更多地關注學生的深度學習，比如思想、策略和方法等。

（五）反思是否可以拓展延伸

在解題之后，不僅要進行收斂性思考，還可以拓廣，進行發散性思考。

1.解題思路的拓展延伸

同一個數學問題，如果從不同的角度去思考，或者對信息采用不同的組合加工形式，那么在解題過程中所使用的解題策略、方法就不同，從而蘊含的數學思想也會有所不同。在完成解題后，不要拘泥于一種解題方法或解題模式，而是要多角度、多層次的探索不同的解題思路。在得到一題多解以后，比較各種解法之間的相同和不同之處，尋求最簡單、最自然、最合理的解題途徑。

2.問題本身的拓展延伸

學生不僅要具備解決問題的能力，也要學會發現問題，更要學會提出問題，以提出問題為起點進行進一步地思考。這就要求對問題本身作更高層次的反思，求變求推廣。從問題本身出發，能否推出更一般或更特殊的問題;改變、刪減問題的條件，擴大或縮小條件的范圍，進行一題多變;提出開放型、探究型的問題等。以達到在變中求“活”、求“異”、求“新”、求“廣”。

教學片段：

例題：比較和的大小。

解法一：分母通分，，所以。

解法二：化為小數，，所以。

解法三：化為同分子分數：，，所以。

師：反思問題的特征，問題與結論的聯系，能發現什么規律？（小組討論）

生：這兩個分數的分子相差2，分母也相差2。

師：你認為像這樣，分數的分子和分母相差一樣多時，他們之間有什么樣的大小關系？

生：分子和分母比較小的那個分數就小，分子和分母都比較大的那個分數就大。

師：同學們說的很有道理，其實啊，還有個前提，這樣的分數必須是真分數。也就是一個真分數的分子和分母同時加上一個相同的數（零除外），這個真分數就就會變小。

師：你能舉例來說一說嗎？

在復習完三種分數比較大小的方法后，再回去思考問題，從問題出發去發現一個規律，以此規律再來判斷分數之間的大小關系，拓廣了解題的思路，也可以將此“新”解法推廣。

（六）反思解題的情感與態度

對于小學高年級學生來說，反思解題涉及的知識、方法、思路等都是比較常見的，但卻往往忽視了解題的情感與態度。事實上，在學生的整個解題的過程中，不僅有知識的存在，也有情感和態度的參與，缺乏解題情感和態度的反思顯然是不完善的。因此，在引導學生反思知識、方法，形成新的認知結構的同時，還應該營造反思解題態度和情感情境，以催化、強化積極的解題反思的情感和態度，從而完善認知、健全品格，促進學生全面發展。

師：同學們，今天這節《百分數的應用》你感覺學得怎么樣？如果從“滿意”和“遺憾”這兩個角度來評價自己，你能用百分數來說一說嗎？

生1：滿意占100%，沒有遺憾。因為我覺得百分數很好理解，今天的題我都會做，而且速度很快。

生2：滿意占80%，遺憾占20%。因為有一道題，我因為沒理解題意，最后列算式列錯了。

生3：滿意占50%，遺憾站50%。因為這節課，我有一些題沒有做出來，但是聽了同學的發言和老師的發言，我弄明白了。

師：看來，大部分同學既有滿意的地方，也有遺憾的地方，希望同學們可以多多思考滿意什么，又有什么遺憾。爭取滿意多一點，遺憾少一點。

數學核心素養的培養，源自學生的思考和質疑，反思和解題反思正是一項重要的思維活動，教師要引導學生不斷地進行反思、帶著問題去思考和探究，多角度地觀察、聯想，從而尋求更多的思維方式。只有這樣，才能真正提高學生的思維能力和創新意識，發展學生的數學核心素養。

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