考慮條間力合理性的不平衡推力法改進

戴嘉寧，陳文勝，蔣茂林，李穎豪

（長沙理工大學 土木工程學院，湖南長沙 410114）

0 引言

極限平衡條分法自誕生以來就成為了邊坡穩定性分析的一大利器，其基本思路是：假定滑動面已知，同時假定滑動體為剛體，在此基礎上對邊坡進行靜力平衡計算，從而求出邊坡穩定性系數。

根據極限平衡條分法的不同假定條件，目前已經發展出十幾種計算方法[1-4]，其中不平衡推力法就是由我國工程技術人員，以計算滑坡推力為目的，通過長期的工程實踐，在深入分析和總結之后，創造出來的一種邊坡穩定性分析方法[5]。一方面，由于該方法計算簡單，并且可以為實際工程提供很好的設計推力，在我國應用廣泛；另一方面，該法屬于極限平衡分析方法，但又與國際上流行的以條分為特征的極限平衡分析方法有著顯著的區別。因此，對不平衡推力法進行深入研究很有必要。

不平衡推力法假定條間力方向與當前條塊的底面平行，且主要應用于滑動面為折線段或者可以簡化為折線形滑坡的分析，在實際計算中，當滑動面為圓弧時，該法的計算結果和嚴格法相當，而對于非圓弧滑動面的計算誤差會很大[6-8]。原因在于條間力的方向被確定后，條間力的豎向分量與水平分量的比值也就確定了，當條塊之間的底面傾角差距過大時，有可能出現計算剪力比抗剪強度更大的不合理現象[9]。這是不平衡推力法假定條件為減少未知量簡化求解而無法避免的系統誤差。

為了讓計算過程更加合理，令不平衡推力法的推力物理意義更加明確，本文提出一種以滿足條間力合理性條件[10]為前提的改進方法，使條間剪力按抗剪強度取極大值，并根據整體性安全系數的定義，對條間抗剪強度按照與底面抗滑力進行相同程度的強度折減。

1 不平衡推力法基本理論

1.1 基本假設

（1）視滑坡為剛體，條塊之間只能受壓不能受拉。

（2）橫向取單位寬度為1m的滑體作為計算代表斷面，不計兩側摩阻力的作用。

（3）當任意條塊的剩余推力計算值為負值時，表示無剩余推力，按0取值。

（4）條間力方向與上一相鄰條塊底面平行。

1.2 力學模型

不平衡推力法的力學模型如圖1所示，a）為多個直線段組成的非圓弧滑面邊坡，b）為陰影部分條塊i的受力分析示例圖：①條塊重力Wi；②滑動面上的法向力Ni；③滑動面上的抗滑力Ri；④條塊兩側的法向力Ei、Ei-1和豎向剪切力Xi、Xi-1；⑤條 間 力Gi、Gi-1。

圖1 不平衡推力法力學模型

根據圖1b）所示的力學模型，可以推導出不平衡推力法的推力計算公式：

以上各式中：ψi-1為傳遞系數，ci為粘聚力，li為條塊底面長度，αi為條塊底面與水平面的夾角。通過上述的推力計算公式，可以推導出兩種安全系數的解法，即隱式解法和顯示解法。

隱式解法為迭代法，其安全系數的物理意義是采用國際通用的強度折減系數的定義，將上式中的ci和tanφi分別用ci/Fs與tanφi/Fs代替。求解過程是從坡頂的第一條塊開始，由于替換后的推力中本身含有Fs，無法通過式（1）直接計算出Fs，因此，需要定一個安全系數Fs對條塊的抗滑力進行折減，再通過式（1）逐條計算條塊的剩余推力，直到處于剪出口的最后一個條塊n，要求Gn=0。如果Gn=0不成立，則調整Fs的值，直到Gn=0成立為止，此時的Fs即為所求的安全系數。

顯式解法即可以通過一個安全系數的顯式表達式直接計算出結果[7]。

顯式解法安全系數的物理意義定義為條塊下滑力的放大系數。由于計算簡單，不需要迭代計算，被納入國家規范，但實際計算原理與式（1）并不等價，且如果Fs越大，其誤差也越大。所以在計算機的計算能力十分強大的今天，并不推薦使用該解法。

2 改進方法基本理論

2.1 不平衡推力法誤差分析

根據式（1）可知，不平衡推力法所計算出來的條間力是條塊下滑力與抗滑力的差值，即剩余下滑力。將剩余下滑力直接作為條間力實際上是不平衡推力法為了求解而作的簡化，通過條間力與上一條塊底面平行這一基本假定，使得條間力在上一相鄰條塊底面的法向分量為零，在計算條塊下滑力與抗滑力時就無需考慮這一部分分量所帶來的影響，從而達到減少未知量的目的。由于條間力的方向已經根據條塊底面傾角提前確定，在計算條間力的豎向分量與水平分量的比值時也就是確定的，即Xi=Eitanα，這說明不平衡推力法的推力大小與條塊的底面傾角有關。如果考慮條間極限抗剪條件，條間剪力應取其極值，即抗剪強度，根據摩爾庫倫準則，可得Xmi=Eitanφi+cihi。當傾角變化很大時，在計算過程中就很可能出現Xi大于Xmi的不合理情況，這會導致計算所得邊坡抗滑能力比實際邊坡抗滑能力要強的不符合實際情況的結果。這屬于不平衡推力法的基本假定所帶來的系統誤差，Xi與Xmi的大小關系，就是不平衡推力法可能產生誤差的關鍵所在，盡管可以通過限制其適用范圍降低誤差，但這一不合理現象需要在使用時得到重視。該誤差會在計算中不斷累積，最終導致安全系數偏大。

改進方法針對條間剪力采用和邊坡滑動面抗滑力相同的折減系數。其安全系數與不平衡推力法隱式解法的安全系數的定義相同，都為反映了邊坡抗力儲備的折減系數。在計算安全系數時，除了要對底面抗滑力進行折減，同時還需要對條間剪力進行折減。但規定條間剪力最大不超過抗剪強度發揮的1/Fs。

對于安全系數的定義，文獻[11]指出，盡管安全系數在概念上是局部的，但在建立極限平衡法時，通常將安全系數視為一個常數，這實際上是極限平衡法引入的又一假定。一般來說，只要所引入的假定在力學上合理，在數量上剛好能夠求解出這個力系，就不會出現原則上的錯誤，例如文獻[12-14]中安全系數的定義就是對整個邊坡而言，任意點的任意方向都是按同一個安全系數進行折減。

2.2 求解方法

首先，需要明確條間剪力的方向，顯然該方向與條塊底面之間的傾角變化有關，下面對條塊側邊受力情況進行分析。

如圖2所示，假定某一滑坡從右上到左下滑動，每一個條塊都沿著各自底面方向有一個單位的位移趨勢，當條塊i-1的底面傾角大于條塊i的底面傾角時，條塊i-1相對于條塊i有向下滑動的趨勢，條塊i右側受到豎直向下的剪力，如圖2a）所示。當條塊i-1的底面傾角小于條塊i的底面傾角時，條塊i-1相對于條塊i有向上滑動的趨勢，條塊i側邊受到豎直向上的剪力，如圖2b）所示。

圖2 條間受力分析

在確定了滑坡的滑動面以后，就可以根據相鄰條塊底面傾角的大小關系，確定條間剪力的方向。

如果不考慮力矩平衡條件，舍棄力的作用點未知量，一般認為，單個條塊待定的未知量有安全系數Fs、條塊底面法向力Ni，條塊底面抗滑力Ri，條間法向力Ei，條間有效剪切力Xi，其它圖中所示力為已知或由上一條塊求出，共5個未知量。對于每一個條塊，可以建立水平和垂直兩個力系的平衡方程。另外，根據極限平衡狀態，引入摩爾庫倫準則，用于建立滑動面與條間的剪切力與法向力的關系，所以可以提供4個方程，由于Fs通過不斷試算得出，至此，建立方程組即可求解所有未知量。

2.2.1 計算公式推導

（1）對條塊建立x和y方向的靜力平衡方程：

式中：αi為條塊i的底面與水平面的夾角。

（2）根據摩爾庫倫強度準則，建立滑動面和條間側面的法向力和切向力方程：

式中：φi為土體內摩擦角，ci為土體粘聚力，Ri為條塊i抗滑力，li為條塊i的底面長度，Fs為滑動面抗滑力折減系數。

式中：hi條塊i左側邊長度，Fv為條間剪力折減系數。

令條間剪力折減系數等于條塊抗滑力折減系數，即，聯立方程式（6）至（9），可以先求解出Ri與已知量的關系式：

將式（10）依次代入到式（8）、式（6）、式（9）中便可以分別求出Ni、Ei、Xi。由于推導過程十分復雜，可以通過matlab的slove函數幫助求解。

顯然，條間剪力的調整會使得整個條塊的受力重新分布，保證Xi取得極值Xm，滿足合理性條件。可以預見，這種取條間剪力極值的做法，最終的推力值會比常規不平衡推力值更大，其安全系數必然小于或等于不平衡推力法的計算結果。

2.2.2 安全系數計算

首先，假定一個折減系數，通過上述計算公式，依次求得所有條塊的條間力，然后判斷處于邊坡剪出口的最右一個條塊n的條間力是否為零。如果為零，則此時的折減系數就是當前邊坡的安全系數，如果不為零，則調整折減系數，重新計算出Gn的值，直到Gn=0為止。

3 算力分析

3.1 人工算例

為了更加直觀地體現改進方法的計算過程及特點，對人工算例進行分析。某均質粘性土坡的幾何參數和條塊編號如圖3所示，AB點之間上凸折線段為邊坡坡面線，下凹折線段為邊坡滑動面，土層參數如表1所示。表2為不平衡推力法、Morgenstern-Price法（簡稱M-P法）和本文提出的改進方法的安全系數計算結果，表3為Gn=0時和指定Fs=1.5時的兩種情況下改進方法的計算過程。

表3 改進方法計算過程

圖3 人工算例邊坡模型

表1 土層參數

表2 安全系數

從表2可以看出，常規不平衡推力法計算出的安全系數要高于M-P法與改進方法的計算結果。表3的計算過程表明，在指定折減系數為1.5時，通過改進方法計算的最后一個條塊的推力為51.70kN·m-1，使用不平衡推力法的計算結果為47.34kN·m-1，改進方法以條間力的極大值傳遞，計算結果更大。

3.2 滑動面適應情況

根據計算原理編制了相應的滑坡穩定性分析程序，本文提出的改進方法適用于任意形狀滑動面，為了檢驗該法是否可以解決不平衡推力法需要限制滑面傾角變化在10°以內的問題。現假定一均質土坡，將圓弧滑動面的2、4、8等分點作為折線形滑動面的控制點，連接這些控制點就形成3條不同的折線滑動面，幾何參數如圖4所示，3條不同滑動面傾角的平均變化量依次為37.0°、18.5°、9.2°，土層參數如表4所示。

表4 土層參數

圖4 程序算例邊坡模型

分別采用不同的分析方法計算安全系數，結果見表5。表6為指定安全系數為1.5時，使用不平衡推力法和改進方法求解最后條塊條間力的結果（單位：kN·m-1）。

表5 安全系數

表6 Fs=1.5時最后條塊剩余推力

根據表5三種不同傾角變化滑動面的安全系數結果可知：一般情況下，不平衡推力法的安全系數要大于M-P法，結果偏于不安全，并且Fs越大，誤差也就越大。以M-P法為標準，當滑動面的傾角變化值從大到小排列時，不平衡推力法的安全系數最大相差18.7%，改進方法最大相差12.8%。在指定安全系數后對剩余推力進行計算，從表2和表6的結果可以看出，改進方法最終求得的邊坡推力要比常規不平衡推力法的計算結果更大，這意味著改進方法在以條間力極值傳遞的同時，可以保持良好的計算精度。

4 結論

（1）本文提出了一種滿足條間力合理性條件的不平衡推力法的改進方法。改進方法屬于極限平衡條分法，使條塊間按條間力極值傳遞，相較于不平衡推力法物理意義明確，對于邊坡穩定性和加固設計有較好的參考意義。

（2）通過對條間剪力按照與滑動面抗滑力相同的折減系數進行折減，使條間剪力滿足邊坡合理性條件。

（3）在確定滑坡滑動面與滑動方向后即可確定條間剪力方向，相鄰條塊間，底面傾角大的條塊受到豎直向上的條間剪力，反之受到豎直向下的條間剪力。

（4）通過算例可以證明，改進方法的安全系數更小，在計算滑動面傾角變化大的滑坡時，誤差相對不平衡推力法更低。