線性熵的系統故障熵模型及其時變研究

崔鐵軍，李莎莎

（1.遼寧工程技術大學 安全科學與工程學院，遼寧 阜新 123000;2.遼寧工程技術大學 工商管理學院，遼寧 葫蘆島 125105）

系統故障及其過程受到很多因素影響。這些因素的變化情況，決定了系統故障的發生特征。那么針對在不同因素或多個因素聯合變化過程中，系統故障變化衡量是關鍵問題[1]。總體上衡量方式要考慮全過程、全因素情況下的系統故障變化。局部也應考慮某些因素對系統故障影響作用的差異?？山忉尀閱蝹€因素或因素聯合變化中系統故障的穩定性或變化程度。研究系統變化的方法很多，其中熵定義就可用來描述系統故障變化情況。

目前使用熵來描述系統故障和可靠性的研究不多。國內主要有：使用能量熵辨識直流短路故障[2]；基于樣本熵的軸承故障診斷[3]；小波相對熵的系統接地故障定位[4]；對于改進多尺度排列熵的軸承診斷[5]；基于多尺度熵的軸承故障可拓智能識別[6]；基于信息熵與PNN 的軸承故障診斷[7]；基于電?振信號熵權特征的故障診斷[8]；基于故障特征信息量的診斷[9]；使用平滑先驗分析和模糊熵的故障診斷[10]；基于EMD 模糊熵與會診決策融合的故障診斷[11]；基于交叉熵改進NPE 間歇過程的故障檢測[12]。國外研究主要包括：基于集對稱交叉熵的故障診斷[13]；改進多尺度模糊熵的故障分類方法[14]；基于Otsu 方法和熵權法的缺陷分析[15]；自回歸近似熵方法識別多故障機械劣化[16]；改進多點最優最小熵反褶積方法的故障檢測[17]；基于改進ADMM 和最小熵反褶積的故障診斷[18]及機械故障診斷推理研究[19]等。這些研究實際上集中在一些非關鍵問題上，例如熵權。但系統故障直接導致系統功能性下降，也使系統混亂程度增加；或是通過維修系統故障減少，混亂程度下降。因此描述系統故障應基于熵增減的方式進行。且在了解系統總體故障情況下，不同因素對系統故障的影響也應通過熵來衡量。這些方面上述文獻未見提及。

因此本文提出了用系統故障熵來衡量上述情況，并基于線性熵具體實現系統故障熵模型。最后通過實例研究了系統故障熵的時變特征，得到了一些有益結論。

1 系統故障熵

熵(entropy) 是系統的混亂程度，其在控制論、概率論、天體物理、醫學科學等領域都有重要地位，在這些領域中也有各自具體定義[13]。

當系統發生故障時，在某診斷精度條件下故障熵描述了故障的不確定性。故障熵越大表示故障不可診斷性越高，對系統狀態信息需求越高；而故障熵越小則表示故障確定性越高，實現診斷的可能性越大[12]。這是已有文獻給出的故障熵描述。

這里的系統故障熵是基于空間故障樹[1]理論提出的，以適合因素空間中線性熵的定義。空間故障樹理論目前分為4 部分，即空間故障樹基礎理論[20-23]、智能化空間故障樹[24-27]、空間故障網絡[28-29]、系統運動空間與系統映射論[30-31]。其基本思想認為，在系統元件和結構確定后，系統故障變化由因素決定，可以是內在的也可以是外在的。所謂空間就是以這些影響因素作為坐標軸建立的多維空間，再增加一維表示系統故障概率或可靠性。那么系統故障概率就是在該多維空間中存在的超曲面。從另一角度就是在該空間中的系統故障分布，即系統故障概率分布[1]。空間故障樹基礎理論部分已經給出該超曲面的構造方法[1]。各因素的變化都將影響系統故障在該超曲面上以不同概率變化。將這些故障概率變化作為信息研究對應系統的故障變化特征是有用的工作。因此提出系統故障熵的概念。

定義1系統故障熵：在空間故障樹理論構造的系統故障概率分布中，將系統故障概率隨著影響因素變化而變化的信息作為研究對象，研究系統故障變化的混亂程度和信息量，其衡量指標即為系統故障熵。

作為熵定義的衍生，系統故障熵在總體上可使用現有如信息熵的基本計算方式，但其也有自身特點。系統故障按工作時間增長是逐漸增加的，這是普遍規律。原有熵概念難以分析時變特征。更重要的是，系統在不同因素變化過程中故障變化也是不同的。那么單一因素或多因素聯合變化時，使用傳統熵概念計算無法區分熵變與因素變化關系，因為熵具有置換不變性[32]。同理，不同因素具有不同狀態，可通過對因素變化范圍劃分得到這些狀態。那么系統從一個因素的一個狀態轉移到另一個狀態后系統故障熵的變化用傳統熵計算也是無法得到的，更何況系統在多因素狀態間運動。由于置換不變性的存在難以確定熵變與哪一部分的因素變化相關，這對系統故障分析是不利的。熵值相同的兩個系統故障發生的條件可能相差很遠，但熵值無法表示。那么系統故障熵如何表征和計算成為關鍵問題。

2 線性熵

系統故障熵難以用傳統熵的計算方法，原因在于傳統熵的4 個性質：1)均勻分布達到最高均勻度，即概率分布劃分(自變量間隔相同)后，所有這些劃分對應的概率相等，則該概率分布的熵為1；2)確定性蛻化為最低均勻度，即上述劃分的概率只有1 個為1，其余均為0，則熵為0；3)迭代性，即兩個分布拼接在一起所得分布熵可通過這兩個分布的熵計算確定[33]；4)置換不變性，即概率分布劃分后，在劃分概率不等時，置換這些劃分的概率后總概率分布熵不變。

正如上節所述，置換不變性阻礙了熵在系統故障分析中的應用。但線性熵可以解決該問題，因素空間理論的建立者汪培莊教授在文獻[33]中給出了線性熵定義。

定義2線性熵[33]：對二相分布P={p,q}，記J(P)=2min{p,q}，多相分布按熵的迭代公式計算，這樣得到的量J(P)稱為P的線性熵。

線性熵線性地表現了分布的均勻度。它不滿足熵所滿足的置換不變性公理，是一個能反映系統形態變化的整體性度量。因素狀態是根據設定值對因素相值域進行劃分形成的因素相狀態，簡稱因素狀態，如因素身高，其相劃分為高和矮狀態。下文若無特殊說明因素相劃分簡稱為因素劃分。定義2 中二相指一個因素的兩種因素狀態，而多個因素的兩狀態疊加為2k種狀態，k為因素數量。線性熵是熵的衍生定義，因此它滿足熵的前3 個性質。二相分布P={p,q}，p+q=1，p和q的變化是對應的。當p=0 時，q=1；當q=0 時，p=1；當q=0.5 且p=0.5 時，p=q，符合第一條均勻分布達到最高均勻度，顯然也符合第二條蛻化為最低均勻度。根據熵迭代性公式，當分布為二相分布時滿足熵疊加性，具體見實例。

熵并非線性均勻度而是對數均勻度，線性熵才是線性均勻度。這對描述系統故障變化與因素變化很重要。設熵的迭代性如式(1)所示：

式中：R=(p1,p2,···,pn;q1,q2,···,qn)；P=(p1/p,p2/p,···,pn/p)；p=p1+p2+···+pn；Q=(q1/q,q2/q,···,qn/q)；q=q1+q2+···+qn。

對任意兩概率值，設p?q=min{p,q}，則式(1)轉化為線性熵，如式(2)：

式中k為因素個數。

容易證得當k=2 時，線性熵如式(3)所示：

式中：X為1 和0 兩種狀態的并；P1/0XX中的1/0 表示可計算前一因素狀態為1 或0 時的線性熵。

當k=3 時，線性熵如式(4)所示:

當k=4 時，線性熵如式(5)所示：

當k=n時，線性熵如式(6)所示：

式中xn表示n個連續的X。

因此基于線性熵，系統故障熵計算模型為式(3)(k=2)和式(5)(k>2)的組合。當然空間故障樹得到的系統故障概率分布是更為精細的分布，因素可劃分為多個狀態。這里只對一個因素劃分兩種狀態進行討論，多狀態劃分情況有待研究。

3 系統故障熵時變分析

當系統被制造之后，系統的元件和系統組成結構都是固定的；另一方面，系統故障與元件故障及系統組成有關。但系統故障熵在系統制造后與系統本身及元件關系不大，即與系統的內因關系不大。相反，系統故障與系統運行時的環境有明顯關系[1]。這種影響來源于意外，不是在系統設計范圍內的因素變化。最終，系統故障熵與系統運行環境因素直接相關；也與使用時間有明顯關系。更為重要的是，環境因素變化是限定的、有規律的，但是時間則是單向的。

問題是在以時間衡量系統故障熵時，系統必將在環境因素變化過程中運行。在一個規定時間段內系統必將經歷不同運行環境，則系統表現出來的故障發生情況也不同。如果在連續多個時間段內，按照相同環境因素劃分，記錄故障與環境因素關系，則可得到每個時間段內系統故障熵?；诰€性熵也可得到各因素狀態疊加下的系統故障熵。進一步可得到在規定間隔時序下的系統故障熵變化情況。如果系統故障熵穩定，則系統故障及其可靠性穩定；否則不穩定，該過程稱為系統故障熵的時變分析。穩定的系統故障或可靠性對系統正常使用極其重要。甚至即便是低可靠性但故障穩定的系統，也比較高可靠性但故障不穩定的系統更容易應用于實際。低可靠性系統可通過系統結構設計提高可靠性降低故障；而不穩定的系統可靠性則無法及時采取措施保證系統可靠，特別是變化速度大于措施速度時。

4 實例分析

這里給出實例說明上述系統故障熵的計算及其時變分析。一個簡單的電氣元件系統，其故障發生對于溫度、濕度、電壓和磁場最為敏感。設溫度范圍為10～30 ℃、濕度為70%～90%、電壓為5～10 V、磁場為30～300 mG?？紤]因素劃分為兩種狀態，分別取上述范圍的平均值作為劃分狀態數值。因素劃分從小到大依次為：溫度因素狀態a0=[10,20]，a1=(20,30]；濕度b0=[70,80]，b1=(80,90]；電壓c0=[5,7.5]，c1=(7.5,10]；磁場d0=[30,165]，d1=(165,300]。4 種因素，每個因素劃分為2 種狀態，則該系統運行環境可形成16 種疊加狀態。時間劃分單位為1 個月，共10 個月。記錄該系統故障發生時4 個因素的狀態，針對16 種狀態組合分別統計，歸一化形成概率分布。組合狀態標記XXXX分別對應于a、b、c、d。10 個月的16 種狀態中發生故障的概率分布如表1 所示。

表1 故障概率分布及其系統故障熵Table 1 Fault probability distribution and system fault entropy

表1 中計算舉例：如式(3)所示，第1 月的線性熵值：

如式(5)所示，第1 月：

經過上述類似計算后得到表1 結果。表1 中前16 行是對16 種不同狀態下系統故障統計得到的，后7 行是通過計算得到的系統故障熵。后7 行中，前4 行考慮了2 種因素狀態變化疊加形成的4 種狀態的系統故障熵；第5、6 行考慮了第3 個因素；第7 行考慮了全部因素。將這7 個不同狀態下系統故障熵根據時間間隔繪制變化如圖1 所示。

圖1 不同狀態系統故障熵的時變規律Fig.1 Time-varying law of the system fault entropy in different states

圖1 中，00XX曲線代表了溫度a0和濕度b0狀態下電壓和磁場狀態疊加形成的系統故障熵隨時間的變化情況，其余3 種解釋相同。0XXX曲線代表了溫度a0狀態下濕度、電壓和磁場狀態疊加形成的系統故障熵隨時間的變化情況，1XXX解釋相同。XXXX曲線代表了溫度、濕度、電壓和磁場狀態疊加形成的系統故障熵隨時間的變化情況。用圖1 能說明如下問題：

1)不同因素影響下系統故障熵的變化不同。圖1 中曲線可成對分析，00XX與01XX、10XX與11XX、0XXX與1XXX。00XX與01XX在圖中距離較大，說明濕度變化對溫度不變的電壓磁場狀態疊加時系統故障熵影響較大。10XX與11XX在圖中距離很小，說明濕度變化對溫度不變的電壓磁場狀態疊加時系統故障熵影響較小。0XXX與1XXX表明溫度變化對其余3 個因素狀態疊加時系統故障熵影響較大。同理，可橫向對比，00XX與10XX表明溫度變化對濕度不變電壓磁場狀態疊加時系統故障熵影響較大。通過計算兩條曲線的距離平均值獲得影響因素的影響程度排序。該計算較為簡單，這里不再詳述。進一步可通過這些影響的對比和排序有的放矢地采取措施方式故障發生。

2)系統故障熵的總體變化規律。圖1 中7 條曲線給出了所有情況下系統故障熵隨時間的變化規律?？梢?，無論何種情況，雖然局部可能遞減，但系統故障熵總體上都是遞增的。根據熵的基本含義，熵值增加說明系統變得更加混亂?？紤]哲學意義，該電氣系統是人造系統，以完成預定功能。對該系統而言，在系統制造完成時系統故障熵為0(如果可靠性是100%)。自然對系統(人造)的影響是使系統失去功能，變得雜亂。不加維護的長時間使用，系統可靠性逐漸降低為0，這時系統故障熵為1。因此在不維護時使用系統必將導致系統故障熵的持續升高。

3)判斷系統可靠性的穩定性。系統可靠性與故障發生是互補關系。可靠性穩定證明在運行過程中故障發生也是穩定的，反之亦然。圖1 表明在這7 種4 個因素狀態疊加時系統故障熵曲線都是近似連續的，具有較小且穩定的斜率。這說明，系統故障熵是穩定的，系統可靠性是穩定的，沒有跳躍式變化。如果在連續時間間隔上，系統故障熵在某種條件下出現大幅變化，可能是由于系統修繕，或系統失效將要出現重大故障。

綜上，系統故障熵的理論和實踐都基于線性熵。系統故障熵和線性熵可應用于類似情況下的眾多領域故障及數據分析，也為系統故障智能預測提供了一種方法。

5 結束語

1)定義了系統故障熵。系統故障熵是基于系統故障概率分布曲面得到的?？裳芯肯到y故障變化的混亂程度和信息量。其變化可衡量不同因素狀態下的系統故障變化情況，得到系統故障變化總體規律及系統可靠性的穩定性。

2)定義了線性熵。與傳統熵相比，線性熵滿足它的前3 個條件。熵并非線性均勻度而是對數均勻度，線性熵才是線性均勻度，即線性熵具有的第4 條件。給出了線性熵在不同因素數量時的模型。認為線性熵可表征和計算系統故障熵。

3)對系統故障熵進行了時變分析。通過實例研究得到了不同時間和不同因素狀態疊加時系統故障熵及其變化規律。得到了考慮不同因素狀態疊加時系統故障熵的變化不同；系統故障熵總體隨時間增長而增長；可應用于判斷系統故障穩定性。