轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)負(fù)載音叉固有頻率的影響

張閱劍，劉 悅，劉珂溦，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

音叉的受迫振動(dòng)是大學(xué)物理基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)[1-8]，此實(shí)驗(yàn)的基本內(nèi)容是測(cè)量音叉在不同負(fù)載下的固有頻率. 理論分析時(shí)，通常將音叉等效為彈簧振子，負(fù)載等效為附加質(zhì)量. 這樣音叉固有周期的平方就與負(fù)載質(zhì)量呈線性關(guān)系，而等效勁度系數(shù)k與固定負(fù)載的位置有關(guān)[1-3]. 在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，雖然該模型可以描述共振頻率對(duì)負(fù)載質(zhì)量的依賴關(guān)系，但仍存在細(xì)微的不足. 按照彈簧振子模型，在固定的位置加負(fù)載，音叉的固有頻率僅與負(fù)載的總質(zhì)量有關(guān)，而與加載負(fù)載的質(zhì)量分布無(wú)關(guān). 而實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，負(fù)載的質(zhì)量分布改變也會(huì)導(dǎo)致固有頻率發(fā)生輕微的改變，例如圖1所示的2種不同負(fù)載分布構(gòu)型.

(a)

雖然負(fù)載的總質(zhì)量都為2(m1+m2)，但圖1(b)的固有頻率要比圖1(a)的低0.8 Hz左右. 相比加負(fù)載引起的幾十Hz固有頻率偏移，此差異很小，但它遠(yuǎn)大于固有頻率測(cè)量的不確定度，此現(xiàn)象存在的物理機(jī)制值得深入研究.

1 理論分析

音叉可看成無(wú)窮多個(gè)小質(zhì)元，它們之間通過(guò)彈性耦合構(gòu)成彈性連續(xù)體. 當(dāng)振動(dòng)幅度較小時(shí)，可以認(rèn)為彈性作用服從胡克定律，依照維里定理，音叉的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值相等.

設(shè)基頻振動(dòng)的位移為

φ0(x,t)=aΦ0(x)cos (ω0t),

(1)

式中，x為空間坐標(biāo)，ω0和Φ0(x)分別為基頻的角頻率與振動(dòng)模式，a為模振幅.音叉基頻簡(jiǎn)正模的平均動(dòng)能為

(2)

彈性平均勢(shì)能為

(3)

(4)

如果在音叉上增加負(fù)載，新系統(tǒng)的簡(jiǎn)正模和對(duì)應(yīng)的本征頻率發(fā)生變化.若所加負(fù)載質(zhì)量較小，可以用微擾論來(lái)計(jì)算.如果只做ω2一階微擾修正，只需在未受微擾的簡(jiǎn)正模Φ0(x)，即由

φ(x,t)=aΦ0(x)cos (ωt)

(5)

描述振動(dòng)的基礎(chǔ)上計(jì)算動(dòng)能和勢(shì)能平均值.因?yàn)楹?jiǎn)正模沒(méi)有變，等效勁度系數(shù)也不會(huì)變，平均彈性勢(shì)能仍由式(3)給出.但因頻率變化，音叉的平均動(dòng)能變?yōu)?/p>

(6)

設(shè)負(fù)載被加在固定點(diǎn)x0，負(fù)載的平動(dòng)方程為

z(t)=aΦ0(x0)cos (ωt)≡aβcos (ωt).

(7)

此外，負(fù)載還存在輕微的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度為

(8)

因此負(fù)載的平均動(dòng)能為

(9)

(10)

需要指出的是，作為一階微擾，此式(10)理論上只適合負(fù)載質(zhì)量較小，基頻振動(dòng)模式基本不變的情況.至于其實(shí)際的效果，需要用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn).

2 裝置與方法

本文使用DH4615型音叉受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)儀進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 為記錄波形，實(shí)驗(yàn)使用了數(shù)字示波器(RTB2002)，實(shí)驗(yàn)裝置照片參見(jiàn)圖2.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置

測(cè)量音叉固有頻率有2種常用方法：共振法和暫態(tài)法. 由于需要測(cè)量多種情況下的固有頻率，因此采用測(cè)量速度更快的暫態(tài)法. 用橡膠錘敲擊音叉，使其做阻尼振動(dòng)，用示波器記錄通過(guò)感應(yīng)線圈得到的衰減振動(dòng)曲線，如圖3所示. 示波器的采樣率為5.45 kHz，波形長(zhǎng)度為24 s，包含1.3×105個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn).

圖3 音叉振動(dòng)輸出信號(hào)

將波形數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab處理. 把數(shù)據(jù)分割成65段波形(每段含2 000個(gè)數(shù)據(jù))，每段波形都可以很好地?cái)M合為正弦函數(shù)，因而可得到65個(gè)隨時(shí)間變化的振幅與頻率. 振幅隨時(shí)間的變化如圖4所示，可以用指數(shù)衰減a(t)=Ae-δ t很好地?cái)M合. 畫出頻率與振幅的關(guān)系(圖5)，可以看出頻率存在隨振幅減小而增大的趨勢(shì)，這種趨勢(shì)體現(xiàn)了振動(dòng)的非線性. 由于頻率變化范圍不超過(guò)0.01 Hz，因此非線性效應(yīng)并不顯著. 利用二次函數(shù)f=f0+c1a+c2a2擬合頻率-振幅曲線，所得f0為振幅無(wú)限小的振動(dòng)頻率. 理論上，阻尼振動(dòng)的頻率要略低于固有頻率，由于這2個(gè)頻率都不大于0.2 s-1，比頻率小3個(gè)數(shù)量級(jí)，固有頻率的修正都在0.001 Hz以下，因此f0可直接作為音叉的固有頻率. 相同情況下多次測(cè)量，所得f0一般在0.01 Hz位上略有區(qū)別，據(jù)此單次f0的測(cè)量不確定度在0.01 Hz量級(jí).

圖4 阻尼振動(dòng)的振幅衰減曲線

圖5 衰減法測(cè)量固有頻率

實(shí)驗(yàn)使用大、中、小3種圓柱形砝碼，具體參量見(jiàn)表1. 使用3種砝碼的不同組合，按不同的疊放順序固定在音叉的不同位置上. 音叉上有5個(gè)等間距分布的位置(記為A,B,C,D,E)可用于固定負(fù)載，它們到音叉自由端的距離分別為10,20,30,40,50 mm，音叉臂的長(zhǎng)度為137 mm. 砝碼中心有用于固定的螺孔，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)將其簡(jiǎn)化為圓柱形. 因此砝碼相對(duì)固定的轉(zhuǎn)動(dòng)軸(即砝碼底面的中線)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

表1 不同型號(hào)砝碼參量

(11)

2個(gè)砝碼按圖6(a)方式疊放，轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向如圖6(a)中虛線所示. 桿的振動(dòng)與砝碼旋轉(zhuǎn)如圖6(b)所示. 根據(jù)平行軸定理，總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(a)兩砝碼疊放

Im1,m2=Im1+Im2+m1H2(H1+H2).

(12)

由于所有砝碼的高度相同(都為H)，可得

Im1,m2-Im2,m1=2(m1-m2)H2.

(13)

即較大的砝碼在外側(cè)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2列出了用暫態(tài)法測(cè)得不同質(zhì)量的砝碼組合固定在音叉不同位置時(shí)的固有頻率. 第1列中按照從上向下的順序中標(biāo)出了砝碼的放置順序，其中“|”區(qū)分了音叉的2個(gè)臂. 例如圖1(a)所示組合順序，被表示為“小中|中小”. 表中的每個(gè)固有頻率為2次測(cè)量的平均值.

表2 不同質(zhì)量組合方式對(duì)應(yīng)的固有頻率

表4 負(fù)載固有頻率的擬合結(jié)果(T2=b+km)

顯然，考慮到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后的改進(jìn)模型可以更好地描述實(shí)測(cè)數(shù)據(jù).首先改進(jìn)模型的相關(guān)R2比簡(jiǎn)化模型更接近1.由于1-R2正比于擬合殘差的平方和，因此改進(jìn)模型可使擬合殘差的平方降低1個(gè)數(shù)量級(jí).其次可以比較固有頻率的擬合值與測(cè)量值的最大誤差，結(jié)果用εmax表示.可以看出考慮到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，εmax會(huì)降低一半.當(dāng)固定位置從A向E移動(dòng)時(shí)，L逐漸變小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響逐漸增大.與之對(duì)應(yīng)的是，無(wú)論從R2還是從εmax的角度看，簡(jiǎn)化模型的擬合情況都會(huì)逐漸變差，而改進(jìn)模型并沒(méi)有這個(gè)趨勢(shì).

位置b/(10-6s2)k/(10-6s2·g-1)L/cmR2εmax/HzA14.2440.5057.290.999 940.405B14.2830.3946.800.999 930.425C14.3030.2996.170.999 940.314D14.2990.2225.460.999 920.310E14.3290.1544.450.999 920.259

圖7 固有周期平方T2與負(fù)載等效質(zhì)量m*的關(guān)系

4 討 論

針對(duì)負(fù)載音叉彈簧振子模型不能解釋的負(fù)載質(zhì)量分布不同導(dǎo)致的固有頻率差異問(wèn)題，考慮負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，得到了推廣的負(fù)載音叉固有頻率公式. 改進(jìn)后的公式包含與負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)項(xiàng). 經(jīng)過(guò)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比較，改進(jìn)后的公式更好地描述了負(fù)載音叉固有頻率的變化規(guī)律.

(14)

其中ξ0≈1.875 104是方程coshξcosξ=-1的最小正根，L0=137 mm為音叉臂長(zhǎng)，而

(15)

在此近似下，音叉的基頻模式的等效質(zhì)量M和等效勁度系數(shù)K可分別表示為

(16)

(17)

(18)

這樣M=ρSL0就等于音叉臂本身的質(zhì)量.音叉為鐵質(zhì)，ρ=7.8 g/cm3.實(shí)測(cè)h=0.55 cm，w=0.88 cm.因?yàn)閙為負(fù)載的總質(zhì)量，M也應(yīng)該是2個(gè)音叉臂的總質(zhì)量，即M=2ρhwL0=103 g.表5給出5個(gè)位置的k和L的估算值以及它們與擬合參量的比較.其中

表5 擬合參量的理論估計(jì)

(19)

(20)

可以看出，估算值與擬合參量相差不大且變化趨勢(shì)相同：k′比k小10%，L′比L大20%. 由于音叉的厚度并沒(méi)有遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度，歐拉-伯努利梁理論本身存在近似. 此外，音叉臂上的負(fù)載安裝孔改變了音叉的質(zhì)量和彈性分布，也會(huì)對(duì)簡(jiǎn)正模式產(chǎn)生影響. 綜合上述因素，可以認(rèn)為這種程度的符合有力地說(shuō)明了本文理論模型的合理性.