在比較中生成概念，在變化中理解概念
——以三上“倍”的概念教學為例

仇燕萍

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，是一種數學思維形式。正確理解并靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和基本技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。但數學概念一般都比較抽象，這與小學生更容易理解依托具體形象思維展開的知識點之間存在著一定的矛盾。如何有效解決這個矛盾，幫助學生準確理解數學概念呢？本文借助蘇教版三上“倍”的概念教學課例進行研究和分析。這是一節典型的概念學習課，要想理解和掌握“倍”的概念，最關鍵的就是要找到它的本質，這就需要教師引導學生既掌握“倍”的內涵又理解“倍”的外延，如此，在教學過程中為學生提供這樣的學習路徑和方法就顯得尤為重要。

一、遷移經驗，初步感悟“倍”的來龍去脈

“倍”是小學數學中的一個基本概念，也是一個起始性的概念。它是從哪里來的呢？它是從“幾個幾”中逐步抽象和衍生出來的，其生長點在于乘法的意義。它又要到哪里去呢？它是幫助學生理解除法的意義，學習分數、百分數、比等一系列數學問題的基礎?？梢?，它在整個小學階段有著非常重要的地位。鑒于此，教學“倍”時，教師就可以通過引導學生復習乘法的意義、回憶求幾個幾的方法來引入新課。

二、比較概念，探尋“倍”的本質

數學是研究數量關系與空間形式的學科，而研究數量關系是從兩個量的比較開始的。“倍”這一概念就是通過兩個量的比較而產生的，它的本質就是一種比率。在小學階段，兩個量的比較不僅有倍比這種情況，還有差比。差比研究的是一個量比另一個量多（少）多少，主要通過加、減法來實現；而倍比研究的是一個量中包含幾個另一個量，主要通過乘、除法來實現。從表面上看，兩者只是計算方法不同，但它們之間有著本質的區別。讓學生充分認識差比和倍比的不同點，在解決實際問題時能準確地做出判斷和選擇，至關重要。

教學時，可以先將三種顏色（例題所畫的紅、黃、藍）的花進行差比，讓學生通過觀察發現，無論哪兩個量放在一起差比，結果都是求出兩個數據之間相差的那一部分，也就是多了多少或少了多少。然后讓學生嘗試將兩個量進行倍比，在學生比較的過程中，教師一定要強調哪個量是標準量，哪個量是比較量，也就是找準把誰看作一份。在以后的學習中，學生會慢慢發現，“倍”的認識并不是今天直觀上看到的大數除以小數，而是標準量不同，比較出來的結果就不同。

三、反復變化，自主建構“倍”的核心內涵

前面已經提到，“倍”是通過比較產生的。因此，如何比較、誰跟誰比就是“倍”的核心內涵；讓學生通過一次次比較構建出“倍”的概念模型，逐步實現從形象到抽象、從生活化的懵懂到數學上的準確理解，就成了教學的重點。筆者在教學中設計了四次變化，層層推進教學過程。

第一次變化，先是6朵紅花和2朵藍花進行比較，然后是8朵紅花和2朵藍花進行比較，通過一系列追問引發學生思考：為什么一個是3倍，一個是4倍？學生很容易發現都是和2比較，紅花的數量變了，所以兩種花之間的倍數關系也變了。之后，繼續讓學生思考：多出來的這1倍是幾朵紅花？為什么是2朵？促使學生把觀察思考的重點在標準量和比較量之間反復轉移，反復理解。這一環節，讓學生通過辨析和比較，體會標準量不變、比較量變化是如何引起倍數關系變化的，使他們在潛移默化中準確建立倍的概念模型。

第二次變化，是8朵紅花和4朵藍花進行比較，引發學生思考：都是8朵紅花在和藍花進行比較，為什么一個是4倍，一個是2倍？啟發學生再次將觀察的重點放在標準量上。學生通過觀察比較發現，藍花的數量變了，所以兩種花之間的倍數關系也變了。這一環節，讓學生通過比較和辨析深刻理解“倍”的概念模型，體會到標準量變化、比較量不變同樣會引起倍數關系的變化，對概念的理解又加深了一步。

第三次變化，是提供一定數量的兩種圖形，讓學生始終擺出兩種圖形的3倍關系，促進他們通過思考、交流、操作、觀察進一步擴展“倍”的概念外延。這一環節，將標準量和比較量的決定權都交給學生，讓他們自主探究不斷變化中的數量之間的倍數關系。

第四次變化，是讓學生認識到兩數之間的倍比除了整倍數關系，還有可能是有余數的情況。當然，“有余數的除法”這一知識點還沒學習，所以對學生的計算方法和表述都不作要求，僅讓學生借助線段圖準確表述出兩個量之間的關系是幾倍多幾，或者幾倍少幾。這一環節，通過比較整倍數關系和不能整除時該如何描述兩數間的關系，使“倍”概念的學習在更高層次上得到延伸和拓展。

上述教學環節的設計由簡單到復雜，環環緊扣，層層深入，讓學生通過比較和思考，逐步建構出“倍”的表象，抽象出“倍”的概念，理解“倍”的內涵，最終把握“倍”的實質。這無論是對小學階段的數學概念學習，還是對初中的函數學習來說，都是一種非常有效的方法。