排除表面干擾洞察問題本質

文 唐榮喜

函數本身的抽象性和形式化，使得我們在學習函數知識時，有時會出現只知其表面，不能洞察其本質的現象，從而造成知識間的混淆不清。本文就同學們容易出錯的問題進行分類剖析，以幫助大家更好地復習函數。

一、概念理解不清

在展現一次函數、反比例函數、二次函數的概念時，教材給出了三種形式化的定義。因此，在解決某些含參數的函數問題時，我們要注意挖掘定義中有關系數的隱藏條件，否則就會因為考慮不周導致解題出錯。

例1若函數y=（m-3）xm2+2m-14-5是一次函數，則m=。

【錯解】因為已知函數是一次函數，所以m2+2m-14=1，解得m=3或-5。

【剖析】錯解只考慮了最高次項的次數是1，忽視了一次項系數不為0這一隱藏條件，從而導致出錯。

【正解】根據題意，得m2+2m-14=1，解得m=3或-5。但已知函數是一次函數，所以m-3≠0，即m≠3，故m的值只能是-5。

二、函數性質掌握不牢

在解題時，我們常常會因為對函數性質的理解產生混淆或者偏差而導致解題錯誤。三種函數的性質各有不同，我們在復習的過程中要注意區別，可以借助圖像的直觀性理解函數的性質。

例2已知一次函數y=kx+b中，自變量x的取值范圍是-1＜x＜5時，相應函數值的取值范圍是-3＜y＜9，求此函數的表達式。

【錯解】由題意可知，當x=-1時，y的對應值是-3；當x=5時，y的對應值是9。將x=-1，y=-3和x=5，y=9分別代入y=kx+b中，得從而所求函數的表達式是y=2x-1。

【剖析】錯解只考慮了函數圖像上升（k＞0）的情況，而忽視了函數在當k＜0時變量之間不同的對應關系。顯然k≠0。

【正解】當k＞0時，y隨著x的增大而增大。所以，當x=-1時，y的對應值是-3；當x=5時，y的對應值是9。將x=-1，y=-3和x=5，y=9分別代入y=kx+b中，得解得從而所求函數的表達式是y=2x-1。

當k＜0時，y隨著x的增大而減小。所以，當x=-1時，y的對應值是9；當x=5時，y的對應值是-3。將x=-1，y=9和x=5，y=-3分別代入y=kx+b中，得解 得從而所求函數的表達式是y=-2x+7。

所以所求函數的表達式是y=2x-1或y=-2x+7。

例3已知反比例函數的圖像上的三點A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（1，y3），則下列關系成立的是（ ）。

A.y1＜y2＜y3B.y3＜y2＜y1

C.y2＜y1＜y3D.y3＜y1＜y2

【錯解】因為反比例函數的比例系數k=m2+1＞0，故y隨著x的增大而減小，而-3＜-2＜1，所以y3＜y2＜y1。故選B。

【剖析】我們知道，反比例函數的比例系數k＞0時，在每個象限內y隨著x的增大而減小，而本題中點A、B、C并不在同一個象限，故不能完全用增減性解決問題。

【正解】因為反比例函數的比例系數k=m2+1＞0，所以點C在第一象限，點A、B在第三象限，從而確定y3＞0，y1＜0，y2＜0。在第三象限內，y隨著x的增大而減小，而-3＜-2，故y2＜y1，所以y2＜y1＜0＜y3。故選C。

例4已知二次函數當0≤x≤3時，函數值y的取值范圍是 。

【錯解】當x=0時，y=0；當x=3時。所以y的取值范圍是

【剖析】結合函數圖像，我們知道，當0≤x≤3時，函數值y隨著x的增大并沒有持續地增大，所以錯解抓住兩個特殊值求y的取值范圍是錯誤的。

【正解】首先求得函數的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是。所以當0＜x＜1時，y隨著x的增大而減小；當1＜x＜3時，y隨著x的增大而增大。結合函數圖像，可知當0≤x≤3時，y的最小值是，最大值是當x=3時y的對應值所以y的取值范圍是

三、忽視問題的實際意義

在利用函數解決實際問題時，我們要注意問題中各個數量的實際意義，在得到數學問題的解后，還要把它放回到實際問題中進行檢驗。問題的解如果脫離了實際意義，也會導致解題出錯。

例5某汽車出租公司以每輛汽車月租費2880元租出時，100輛汽車可以全部租出。若每輛汽車的月租費每增加50元，則將少租出1輛汽車。已知每輛租出的汽車需支付月維護費200元，則該出租公司的最大月收益是多少？

【錯解】設每月租出x輛汽車，月收益為y元，則y=［2880+50（100-x）-200］x=-50（x-76.8）2+294912，所 以 當x=76.8時，y最大值=294912，即該出租公司的最大月收益是294912元。

【剖析】錯解在于求實際問題中的最值時忽視了問題的實際意義，即x表示的是出租公司每月租出汽車的輛數，必須是自然數。

【正解】設每月租出x輛汽車，月收益為y元，則y=［2880+50（100-x）-200］x=-50（x-76.8）2+294912，因為x必須是自然數，且76.8-76＞77-76.8，所以當x=77時，y最大值=294910，即該出租公司的最大月收益是294910元。