2-UPR-PRU并聯機構靜剛度模型建立與性能分析

饒晨陽 徐靈敏 陳巧紅

(1.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2.浙江理工大學信息學院， 杭州 310018)

0 引言

相比于串聯機構，并聯機構具有精度高、載荷能力強、動態性能好等優點，作為骨架已廣泛應用于各種先進制造裝備中[1-3]。考慮末端執行器的輸出特性，三自由度兩轉一移(Two rotations and one translation, 2R1T)并聯機機構適用于復雜曲面加工的場合[2-7]。通過結合兩個串聯式移動導軌或在末端安裝二自由度串聯擺頭，整機可實現五自由度運動，用于大型航空結構件加工打磨等[8-9]。

對用于高速高精度加工場合的2R1T并聯機構，在設計階段進行靜剛度建模必不可少，既是機構靜剛度性能分析的基礎，同時也為實際樣機設計和提高控制精度提供重要參考依據。靜剛度建模主要研究在系統靜力平衡的情況下，機構末端執行器的變形情況和外部載荷間的映射關系[10]。現有的并聯機構剛度建模方法主要有[11-22]：有限元分析法[11-14]、矩陣結構分析法[15-18]和虛擬關節建模法[19-22]。有限元分析法通過借助有限元分析軟件對模型進行網格劃分，計算外部載荷作用下機構在某一位型下的變形情況，具有較高的精度。但由于機構在不同位型時需重新建模和劃分網格，過程較為繁瑣且耗時，不適用于參數優化。矩陣結構分析法則通過矩陣運算直接得到機構剛度矩陣，無需網格劃分。但該方法涉及到高維矩陣運算，不適用于解析靜剛度建模。虛擬關節建模法則通過考慮關節柔性，建立機構末端變形和外部載荷的關系，精度較高。但對于一些結構復雜的并聯機構，該方法需進行大量的逆矩陣運算，計算效率不高。

基于并聯機構剛度矩陣的特性，現已提出一些剛度指標用于性能評估及參數優化[11, 23-25]，如最大/最小特征值[24]、特征值平均數[11]、行列式[25]等。然而由于剛度矩陣中的元素量綱不統一，會導致基于剛度矩陣的指標物理意義不明確和解釋錯誤[23]。

本文將對2-UPR-PRU三自由度2R1T并聯機構[3-4]進行靜剛度建模和性能評估。通過螺旋理論和應變能方法[26-28]得到各分支和整體剛度矩陣。借助ANSYS有限元軟件，對2-UPR-PRU并聯機構的理論變形結果和整體柔度矩陣進行數值仿真驗證。利用虛功剛度指標(Virtual-work stiffness index, VSI)[28]評價2-UPR-PRU并聯機構抵抗外部載荷的能力。通過改變2-UPR-PRU并聯機構的操作高度分析討論機構在姿態空間中的剛度性能分布圖譜。

1 機構描述與位置逆解

1.1 機構描述

圖1為2-UPR-PRU并聯機構的三維模型，其中定平臺和動平臺由2條對稱分布的UPR分支(B1A1/B2A2)和1條PRU分支(B3A3)連接，通過驅動3個P副可實現動平臺的2個轉動和1個移動。各分支中的關節轉軸定義如下：2條UPR分支中U副的第1個轉軸共線，且方向和PRU分支中U副的第1個轉軸和固接在定平臺上的R副轉軸平行；2個UPR分支中U副的第2個轉軸相互平行，且同時平行于和動平臺固接的R副轉軸和PRU分支中U副的第2個轉軸。

如圖1所示，2-UPR-PRU并聯機構定/動坐標系定義為：定坐標系Oxyz的原點O為B1B2的中心點，x軸與B3O重合，y軸指向點B1，z軸根據右手定則垂直向下。動坐標系ouvw的原點o為A1A2的中心點，u軸沿著A3o方向，v軸沿著oA1方向，w軸垂直于動平臺向下。2-UPR-PRU并聯機構的桿件參數定義如下：oA1、oA2為l1，OB1、OB2為l2，oA3為l3，B3A3為l。

1.2 位置逆解

根據2-UPR-PRU并聯機構的旋轉特點[3-4]，動坐標系ouvw相對于定坐標系Oxyz的旋轉矩陣ORo可表示為

(1)

式中Ry,β、Ru,γ——繞y軸和u軸的旋轉矩陣

s、c——正弦函數和余弦函數

由于2-UPR-PRU并聯機構的結構特征，動平臺末端點o的運動限制在y=0平面內，這一特點大大降低了機構反解推導的復雜性。如圖1所示，ci表示BiAi(i=1,2,3)位置矢量。另外，機構中的oAi和OBi位置矢量可分別表示為

(2)

聯立式(1)、(2)，代入到閉環矢量鏈ci=p+ai-bi中，可得到2-UPR-PRU并聯機構的逆解表達式為

(3)

2 靜剛度建模

結合螺旋理論和應變能方法，對2-UPR-PRU并聯機構進行各分支和整機的靜剛度建模分析，用于評估外部載荷對末端位姿輸出的影響。在構建靜剛度模型前，需進行如下假設：①本研究考慮桿件的柔性，包括彎曲、剪切、拉伸/壓縮和扭轉變形。②機構中的定平臺、動平臺和所有運動關節均被認為是剛體。③忽略機構中各部件的重力和摩擦力。

2.1 分支剛度矩陣

選用第1條UPR分支和PRU分支作為研究對象。在構建分支剛度矩陣前，需確定分支的驅動力螺旋和約束力螺旋[29]。參照文獻[3]，在定坐標系下，第1條UPR分支的驅動/約束力螺旋可表示為

(4)

如圖2a所示，驅動/約束力螺旋的幅值分別定義為f11、f12和m11。為方便進行投影，在UPR分支中建立分支坐標系A1x1y1z1，其中y1軸沿著R副的軸線方向，z1軸沿著B1A1方向，x1軸可通過右手定則得到，如圖2b所示。根據力學知識，作用于點B1的約束力f12等效于作用于點A1的約束力f12加上沿著x1軸的約束力矩m12，其可表示為

m12=-q1z1×f12y1=q1f12x1=m12x1

(5)

根據圖2b中驅動/約束力的投影結果，UPR分支中任意橫截面處的內力/內力矩可表示為

(6)

式中n1——約束力矩m11的方向矢量

v1——選定橫截面到點A1的距離

因此，UPR分支應變能可表示為

(7)

式中Eq1——UPR分支彈性模量

Gq1——UPR分支剪切模量

Aq1——分支橫截面面積

Aq1y——分支橫截面沿著y1軸的有效面積

Iq1x——關于x1軸的橫截面慣性矩

Jq1——橫截面極慣性矩

(8)

將式(8)表示為矩陣形式

(9)

其中

(10)

式中C1——3×3的對稱分支柔度矩陣

因此，根據式(10)可得到第1條UPR分支的剛度矩陣K1為

(11)

PRU分支的剛度矩陣構建過程類似于UPR分支。在定坐標系下，該分支的驅動/約束力螺旋可表示為

(12)

PRU分支上的3個驅動/約束力如圖3a所示，其幅值分別定義為f31、f32和m31。同樣地，在PRU分支中建立分支坐標系A3x3y3z3，其中x3軸沿著R副的軸線方向，z3軸沿著B3A3方向，y3軸可通過右手定則得到，如圖3b所示。PRU分支中任意橫截面處的內力/內力矩可表示為

(13)

式中n3——約束力矩m31的方向矢量

v3——選定橫截面到點A3的距離

(14)

其中

(15)

式中El——PRU分支彈性模量

Gl——PRU分支剪切模量

Al——分支橫截面的面積

Alx——分支橫截面沿著x3軸的有效面積

Ily——關于y3軸的橫截面慣性矩

Jl——橫截面極慣性矩

同理，PRU分支的剛度矩陣K3為

(16)

2.2 整體剛度矩陣

動平臺的力/力矩平衡方程可表示為

(17)

其中

式中JW1——分支1中維度為6×3的力矩陣

JW2——分支2中維度為6×3的力矩陣

JW3——分支3中維度為6×3的力矩陣

JW——6×9的力矩陣

f1——分支1中3×1的力幅值矢量

f2——分支2中3×1的力幅值矢量

f3——分支3中3×1的力幅值矢量

f——9×1的力幅值矢量

根據虛功原理，各分支變形矢量和動平臺原點的變形矢量D滿足如下關系

(18)

式中 δx、δy、δz——機構沿著x軸、y軸和z軸的線性變形

δθ、δφ、δψ——機構繞著x軸、y軸和z軸的角度變形

結合式(17)、(18)，δi(i=1,2,3)和D的變形協調方程可表示為

(19)

將式(9)、(14)、(19)代入式(17)可得

(20)

從式(20)可得2-UPR-PRU并聯機構的整體剛度矩陣為

(21)

通過式(19)～(21)得到機構中各分支的力幅值矢量表示為

(22)

2.3 理論剛度模型和有限元模型對比

在分析機構剛度性能前，需驗證2-UPR-PRU并聯機構理論剛度模型的正確性。通過在ANSYS軟件中建立有限元模型進行對比驗證。在有限元模型中，定平臺、動平臺和所有運動關節均設為剛性。2-UPR-PRU并聯機構中的桿件長度和材料參數如表1所示，需要注意的是此處3個運動分支的橫截面均設為相同大小的圓截面，且各分支的彈性模量和剪切模量相同。

表1 2-UPR-PRU并聯機構的長度及材料參數Tab.1 Length and material parameters of 2-UPR-PRU parallel manipulator

由于使用有限元模型計算2-UPR-PRU并聯機構工作空間中所有點的剛度是一個耗時且困難的過程，因此選取位型和外載不同的3個示例進行結果驗證，如表2所示。通過建模分析，可得到ANSYS軟件中3個示例的變形結果，包括線性變形和角度變形，如圖5所示。另外，表3為2-UPR-PRU并聯機構動平臺原點o的理論模型變形結果和有限元仿真變形結果，可以發現兩個模型的結果基本一致，3個示例中所有的變形相對誤差均不超過0.78%。

表2 2-UPR-PRU并聯機構的3個選擇示例Tab.2 Three selected cases of 2-UPR-PRU parallel manipulator

表3 2-UPR-PRU并聯機構理論結果和仿真結果的變形對比Tab.3 Deformation comparison between theoretical and simulation results of 2-UPR-PRU parallel manipulator

除了對比變形結果，也可通過對比兩種模型的整體柔度矩陣來驗證理論模型的正確性。以示例3為例，其整體理論柔度矩陣和仿真柔度矩陣分別為

(23)

(24)

兩個柔度矩陣中各個元素的相對誤差為

(25)

從式(25)可以發現，所有相對誤差均不超過0.60%，是可接受的。上述兩個對比結果均證明了2-UPR-PRU并聯機構理論靜剛度模型的正確性，其可替代ANSYS軟件的分析結果，為后續的靜剛度性能分析提供保障。

3 靜剛度性能分析

利用VSI[28]評估2-UPR-PRU并聯機構靜剛度性能。不同于其他基于剛度矩陣代數特性的剛度指標，VSI可通過能量來描述機構的剛度性能，且其與外部載荷的大小和方向直接相關，避免了剛度矩陣內元素量綱不同所帶來的問題。在外載W作用下，并聯機構的虛功WV可表示為

WV=WTD

(26)

將式(20)代入式(26)中，虛功WV可表示為

WV=WTK-1W

(27)

根據式(27)虛功剛度指標VSI可定義為

κ=1/(WTK-1W)

(28)

盡管剛度矩陣K中的元素具有不同的量綱，但VSI將其混合的單位轉換成了J-1，可用于直接測量機構抵抗變形的能力。顯而易見，κ越大，機構在該位型下的剛度性能越好。

4 結論

(1)基于螺旋理論和應變能方法建立了2-UPR-PRU并聯機構的分支和整體靜剛度模型，建模簡單，表達直接且含意清晰。

(2)以機構動平臺的變形和整體柔度矩陣為驗證對象，和有限元模型的仿真結果進行對比，結果表明理論剛度模型變形和柔度矩陣元素的相對誤差分別不超過0.78%和0.60%，驗證了2-UPR-PRU并聯機構理論靜剛度模型的正確性，可用于替代ANSYS軟件進行機構的剛度分析。

(3)以VSI對2-UPR-PRU并聯機構進行靜剛度性能分析，確定了操作高度以及外載大小和方向對2-UPR-PRU并聯機構剛度性能的影響，為樣機設計提供參考。