大空間運動3-RRRU并聯機器人運動學標定與誤差分析

趙 磊 閆照方 欒倩倩 趙新華1, 李 彬1,

(1.天津理工大學天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室， 天津 300384；2.機電工程國家級實驗教學示范中心(天津理工大學)， 天津 300384；3.天津理工大學機械工程學院， 天津 300384； 4.天津市金橋焊材集團股份有限公司， 天津 300384)

0 引言

串聯機器人具有工作空間大、結構簡單和成本低等特點，最早被應用于工業生產[1]。但由于僅擁有一條控制鏈，存在明顯的誤差積累效應，且連桿機構各構件的慣性負荷與原動構件轉速的平方成正比，高速下多個關節的彈性變形以及內部慣性力的耦合作用越加明顯，使得其高速與高精度之間的矛盾更為明顯，故該類機器人工作速度相對較低[2]。目前，農業果園采摘的產業自動化加速了機器人在該領域的推廣和應用，其工作精度一般在毫米級。

相比串聯機器人，并聯機器人具有高速、高負載和高剛度等優勢，近年來被廣泛應用到工業生產中。但由于存在多條支鏈和大量的關節，導致該類機器人誤差標定難度很大。目前，對于多支鏈并聯機器人誤差標定方法的研究相對較少，主要原因是該類機器人的支鏈和關節數量較多，運動學模型很復雜，且難以獲取含有大量被動關節的轉角信息。現階段成熟的單步標定方法無法實現該類并聯機器人的誤差標定工作[3]。此外，由于安裝過程中存在不同程度的關節間隙和晃動，其不確定性難以將大量被動副的轉角誤差進行精確量化并引入誤差模型，致使該類大空間并聯機器人的工作精度不高[4-6]。

對于擁有多關節的并聯機器人，實現高精度誤差補償，需要高精密傳感器來獲取大量被動關節的轉角信息，安裝復雜且標定成本極高[7-8]。因此，尋求一種自動化程度高、易操作和較高精度的誤差標定方法成為工程上亟待解決的問題[9]。

工作空間是衡量機器人性能的重要指標之一。早期連桿式平面四桿、五桿和六桿并聯機器人具有良好的運動速度，但工作空間狹小僅能實現平面二維空間的運動。經典的Stewart并聯機構以其特有的高剛度和高載荷等特點被應用到工業中，但適用于工作空間較小的場合。3-RRRU并聯機器人是一種具有多支鏈、三維平動機構，各支鏈結構相同且由多個連桿和運動副組成，支鏈長度較大使其終端可達靜平臺以外的空間，相比經典的平面并聯機器人和Stewart平臺，具有明顯的大空間特性。

本文針對3-RRRU并聯機器人的運動學標定和誤差補償等問題進行研究，對比分析兩種不同軌跡標定方式下機器人補償前后的控制精度，并通過實驗驗證標定方法的有效性和可行性。

1 機器人運動學坐標系建立

圖1為本文所研究的3-RRRU并聯機器人，由靜平臺、動平臺和3條支鏈構成。

圖2為圖1的結構示意圖，靜平臺固定在支架最上方，3條支鏈對應的驅動關節(驅動副)均固定于靜平臺上，動平臺則位于下方。3條支鏈結構相同，靠近靜平臺的關節為驅動副，其余為被動副。

Aij代表第i(i=1,2,3)條支鏈的第j(j=1,2,…,5)個關節，以第1支鏈為例，驅動關節A11軸線平行于被動關節A12，同時平行于靜平臺所在平面，垂直于轉動關節A13軸線，虎克鉸A14(A15)與動平臺連接，動、靜平臺均為等邊三角形，其外接圓半徑分別為r和R。

第1支鏈運動學坐標系如圖3所示，機器人的基坐標系ORXRYRZR建立在靜平臺的幾何中心，ORZR垂直于靜平臺，θij為第i條支鏈上的第j個關節的轉動角，動平臺坐標系Ox′y′z′位于動平臺幾何中心，Lij代表第i條支鏈中第j個連桿長度，虎克鉸由兩個軸線相互垂直的轉動關節A14和A15組成,L14為虎克鉸中A14與A15之間的連桿長度，L15為關節A15與動平臺之間的連桿長度。

2 并聯機器人運動學解耦與誤差建模

2.1 運動學建模

為了實現3-RRRU并聯機器人的自動化控制，應用DH法建立機器人的運動學模型，第i條支鏈第j個關節到第j+1關節間的齊次變換矩陣Tij,i(j+1)可表示為

(1)

式中θij、αij——繞zij和xij軸旋轉角

Lij、dij——沿zij和xij軸平移的距離

其中cθij表示cosθij，sθij表示sinθij，cαij表示cosαij，sαij表示sinαij。

故并聯機器人第1支鏈閉環運動學方程表示為

T=T1RT11T12T13T14T15

(2)

其中

式中Px、Py、Pz——機器人動平臺幾何中M坐標

第1支鏈閉環運動學方程中對應的DH矩陣參數如表1所示。

表1 第1支鏈DH矩陣參數Tab.1 DH matrix parameters of the first branch chain

對式(2)作如下變換

(3)

將DH矩陣參數代入式(3)可得

(4)

由式(4)矩陣方程左右相等，并聯機器人關節角θ13的轉動范圍為[-π/2,π/2]，則有cosθ13≥0，求解計算方程組可得

(5)

將式(5)代入式(4)并求解方程組，可求得

(6)

其中K16=4L11Pz

同理，完成其他兩條支鏈轉角的求解，實現運動學解耦計算，詳細計算過程詳見文獻[10]，不做過多贅述。

工業串聯機器人的關節數量較少，且關節均為驅動副，實際轉角可由內部傳感器直接讀取，因此，單步標定的誤差補償精度高[11]。3-RRRU并聯機器人存在大量的被動關節，單步標定并不適合，尋求一種自動化程度高、快速有效的誤差標定方法成為并聯機器人機構學領域的研究焦點[12]。因此，合理建立運動學模型并完成解耦是實現誤差標定的前提和基礎[10，13-14]。由于關節間隙和晃動等因素具有不確定性和隨機性，難以精確量化。為了測試所提出方法的有效性和可行性，故忽略上述誤差因素。

為建立機器人的誤差模型，本文從支鏈構型出發，應用空間矢量法構建閉環方程。以第1支鏈為例，如圖4所示該支鏈的閉環方程可表示為

lA11A12+lA12A13+lA13A15=lORP+lPA15-lORA11

(7)

其中

由式(7)可得第1支鏈的閉環方程，同理，也可獲得其余兩條支鏈方程，進而得到機器人的運動學模型為

(8)

具體推導過程詳見文獻[10]。

2.2 機器人誤差建模

具有大范圍平動3-RRRU并聯機器人的結構參數見表2。基于偏微分原理，將對應結構參量的誤差項表示為Δθi1、ΔLi1以及ΔLi2以及ΔLi3(i=1,2,3)以及ΔR和Δr，共14項誤差。

表2 結構參數Tab.2 Structure parameters mm

各誤差項定義為

θi1——第i條支鏈驅動角理論值

Δθi1——對應驅動角誤差

(9)

式中 ΔLi1、ΔLi2、ΔLi3——每條支鏈上驅動桿件以及兩個被動桿件存在的加工誤差

由于連桿加工在同一機床完成，故其余兩支鏈上的連桿加工誤差相同，則有ΔL11=ΔL21=ΔL31,ΔL12=ΔL22=ΔL32和ΔL13=ΔL23=ΔL33。

(10)

式中Re、re——靜、動平臺外接圓半徑實際值

ΔR、Δr——靜、動平臺外接圓半徑誤差

(11)

式(11)為目標函數，通過獲取機器人終端實際空間數據，應用數值算法開展尋優計算，目標函數補償后在允許誤差范圍內停止尋優。

3 誤差標定

3-RRRU并聯機器人常用于工業生產線中產品的分揀和搬運工作，如圖5所示。

對于工業生產線上，分揀和搬運機器人的工作精度要求不高，將貨物放置在指定位置，適合于精度要求不高的場合。基于實際應用工況，生產線要求搬運機器人的工作誤差為3 mm±1 mm，故設定3-RRRU并聯機器人的允許誤差為2 mm。

3.1 遺傳算子優化

選取不依賴初值的遺傳算法開展尋優計算[15-16]。適應度函數根據目標函數來檢測群體中的每個個體，判斷其是否能夠達到最優解程度[17-18]。由于遺傳算法整體搜索不依賴于梯度信息，常用于非線性系統的優化計算和機器人動態最優路徑的規劃[19-23]。

(1)交叉概率

以步距為0.1進行搜索，并通過Matlab遺傳算法工具箱輸出窗口可獲取交叉概率Pc與適應度Fv測試結果和分布曲線，如表3和圖6所示，故本文交叉概率選取0.8。

表3 交叉概率與適應度值Tab.3 Crossover probability and fitness value

(2)遷移概率

基于上述原理，遷移概率Pm與適應度Fv的測試結果和分布關系如表4和圖7所示，當遷移概率Pm為0.7時獲得適應度Fv為0.511 2。因此，遷移概率取0.7。

表4 遷移概率與適應度值Tab.4 Migration probability and fitness value

本文采用歸一化實數制編碼，初始種群尺度為30，遺傳算子中交叉概率Pc=0.8，遷移概率Pm=0.7，適應度比例和選擇算子分別選取線性轉換和隨機均勻分布方式。

3.2 直線軌跡標定

跟蹤靶標固定在機器人動平臺(圖8)，勻速階段速度為80 mm/s，加速度為40 mm/s2，采用梯形控制策略，理論起點為(-800 mm,0 mm,600 mm)，終點為(-300 mm,0 mm,600 mm)，每條直線等間距方式采集26個點，借助激光跟蹤儀獲取對應空間位置信息，共進行7組直線軌跡跟蹤實驗。第1組直線軌跡位于機器人工作空間中心區域的xoz平面上，第2組和第3組軌跡最靠近第1組軌跡，第6組和第7組靠近邊界區域，應用Matlab遺傳工具箱，采用上述遺傳算子值和目標函數，對14項運動學誤差進行尋優計算，結果如表5所示。

表5 直線軌跡標定結果Tab.5 Calibration result of straight-line track

應用表5結果進行直線軌跡誤差補償，第1組實驗軌跡采樣點補償前后分布和誤差曲線如圖9所示。圖9表明，由于并聯機器人存在大量關節和連桿機構，導致運動過程中其最大誤差高達8.356 mm，補償前最小誤差為4.232 mm，此時機器人連續軌跡跟蹤性能較低；此外，補償前位置誤差曲線存在多個明顯的尖峰誤差，側面反映了機器人軌跡跟蹤時并不平穩。

通過以上7組實驗數據證明：補償后機器人的位置誤差有效控制在0.14～1.34 mm，達到了預期控制要求。從圖10a發現，第2、3組即位于機器人工作空間的中心區域，其補償前、后的精度優于其他4組；由圖10b看出，第6組和第7組軌跡誤差明顯高于其余5組，其最大誤差高達9.36 mm，出現在第6組直線軌跡即靠近邊界區域，說明該類結構的并聯機器人在工作空間的中心區域具有較高的精度。

3.3 曲線軌跡標定

3-RRRU機器人是一種平動并聯機構，通常搬運軌跡主要以直線軌跡為主。然而，在某些工作環境下需機器人完成部分的曲線軌跡運動，本文同時開展了曲線軌跡標定實驗。預設曲線軌跡為螺旋線如圖11a所示，共設置40個采樣點，基于同樣標定原理，完成曲線軌跡標定實驗；此外，應用直線軌跡標定結果對該曲線路徑進行誤差補償，則兩種不同軌跡標定方式下在x、y、z方向的誤差補償曲線如圖11b～11d所示，標定結果如表6所示。

表6 曲線軌跡誤差標定結果Tab.6 Error calibration result of curve track

實驗結果表明：直線標定方式對曲線軌跡誤差補償的效果較差，補償后在x方向的位置誤差分布在-5.03～4.78 mm；在z方向誤差最小，其最大絕對值誤差小于3 mm；而曲線標定方式的補償效果明顯優于直線標定補償，在3個方向的位置誤差均分布在-1.63～1.52 mm，滿足控制要求。可見，直線標定并不適用于機器人曲線路徑的誤差補償。

對比表5和表6可知，直線標定不涉及曲線加減速和插值計算，動平臺因間隙產生的微小晃動不明顯，故表5中驅動角誤差相對較小，動平臺半徑加工誤差僅為0.886 5 mm；然而，曲線軌跡運動中存在大量的小距離插補計算，更真實反映出驅動角存在的實際誤差。因此，驅動角誤差標定結果相差很大。此外，兩種標定方式下所得到的連桿加工誤差幾乎一致，說明對線性誤差標定效果良好。另動平臺誤差標定結果相差較大的主要原因是各支鏈均通過一個虎克鉸與動平臺連接，虎克鉸中兩個轉動副存在間隙耦合效應，當進行曲線加減速運動時，由于慣性導致動平臺產生的間隙晃動嚴重，故該誤差項包含了虎克鉸的間隙因素，故動平臺半徑加工誤差為1.675 2 mm。

為驗證曲線標定結果的有效性和通用性，對第2～7組直線軌跡進行誤差補償，6組直線軌跡的整體誤差控制在0.08～1.12 mm，優于直線標定補償后的0.14～1.34 mm，如圖12所示。

由圖12可知，擁有對稱支鏈結構的并聯機器人在中心區域附近即第1～3組直線軌跡的精度較好，邊界區域明顯較差。

4 結論

(1)擁有對稱支鏈結構的3-RRRU并聯機器人在工作空間的中心區域具有較好的工作精度，邊界區域精度低。

(2)該標定方法僅需1臺激光跟蹤儀即可實現對擁有大量關節并聯機器人的誤差自動化標定工作，為結構更為復雜的并聯機器人誤差標定工作提供了重要的理論基礎，解決了目前單步標定方法存在的效率低、操作繁瑣和標定成本高的難題。

(3)直線軌跡標定方式僅適用于直線路徑的誤差補償，存在一定局限性；而曲線標定可實現直線和曲線軌跡的誤差補償，通用性強，對直線軌跡補償后的誤差控制在0.08～1.12 mm，優于直線標定補償后的0.14～1.34 mm。

(4)由于忽略了關節間隙和晃動等因素，雖然補償精度相對較低，但可廣泛用于工業生產線的分揀和搬運工作，充分利用并聯機器人的高速和高負載特性，大幅提高生產效率。