變截面三跨連續箱梁橋活載作用下的約束扭轉分析

尉浩浩，張元海

(蘭州交通大學 土木工程學院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

約束扭轉作為箱梁理論的重要組成部分，國內外學者對其做了大量研究[1-7]。箱梁在偏載作用下發生約束扭轉時，不僅會因彎曲而產生彎曲應力，還會因扭轉而產生翹曲應力[8-10]。為分析箱梁在偏載作用下的約束扭轉效應，文獻[11]通過實際橋梁的有限元模型，研究了影響波形鋼腹板組合箱梁抗扭性能的因素，并指出扭轉正應力最大值的出現位置。文獻[12]通過有限元法和解析法的對比分析，研究了箱梁在活載作用下發生約束扭轉時翹曲應力的大小和變化規律。以上文獻對約束扭轉引起的翹曲應力進行了探討和分析，但未對偏載引起的應力放大效果做出具體分析和總結。為給橋梁設計提供直接有效的理論依據，文獻[13]以波形鋼腹板三跨連續箱梁橋為實例，通過理論計算、有限元數值分析和模型試驗，分析了偏載系數的影響因素及變化規律。文獻[14]采用實體有限元模型，用偏載系數和剪滯系數討論了偏載效應和剪滯效應。文獻[15]在推導彎曲、約束扭轉和畸變單元剛度矩陣的基礎上編寫了用于箱梁分析的計算程序，通過程序計算與試驗分析得到了較為精確的偏載系數。目前，在橋梁設計中，考慮偏載對應力的放大效應時仍采用經驗系數，一般認為因約束扭轉引起的翹曲正應力與彎曲正應力的比值在15%左右，而這種近似的處理方法仍值得商榷，因此對具體的變截面連續箱梁橋的約束扭轉效應仍需做進一步的研究。

本研究引入應力放大系數表征偏載對正應力的放大效應，并自編程序YSNZ分析了變截面三跨連續箱梁橋在偏心車道荷載作用下的約束扭轉效應。

1 約束扭轉控制微分方程及初參數解

根據烏曼斯基第二理論，對薄壁箱梁約束扭轉變形問題，關于扭轉角θ(z)的控制微分方程[16]為：

(1)

式(1)對應的齊次微分方程的初參數解為：

(2)

(3)

(4)

T(z)=T0，

(5)

式中，β′(z)為廣義翹曲位移；T(z)為扭矩；B(z)為翹曲雙力矩；G為剪切模量；Id為抗扭慣性矩;θ0，β0，T0和B0為4個初參數，分別表示z=0時的扭轉角、廣義翹曲位移、扭矩和翹曲雙力矩。

式(2)～式(5)只適用于跨間無外荷載作用的情況，當箱梁跨間作用外荷載時需增加相應荷載項，當跨間滿布均布扭矩荷載mt時有：

(6)

(7)

(8)

T(z)=T0-mtz，

(9)

確定4個初參數所需的邊界條件如下：

自由端：T=0，B=0；簡支端：θ=0，B=0；固定端：θ=0，β′=0。

2 單元剛度矩陣及等效結點荷載列陣

以箱梁約束扭轉時的扭轉角和廣義翹曲位移為結點位移，根據約束扭轉控制微分方程的初參數解推導箱梁單元剛度矩陣和等效節點荷載列陣。箱梁單元如圖1所示，圖中S為箱梁截面的扭轉中心，C為截面形心，在扭心坐標系下分析約束扭轉效應，在形心坐標系下分析豎向撓曲，本研究此處對約束扭轉效應的分析以扭轉中心為坐標原點。引入局部坐標系下的節點位移列陣δ=[θiβ′iθjβ′j]T和單元節點力列陣F=[TiBiTjBj]T。

圖1 箱梁單元Fig.1 Box girder element

根據有限元理論，單元平衡方程為：

F=Kδ，

(10)

(11)

式中，K為單元剛度矩陣；kij(i=1，2，3，4；j=1，2，3，4)的物理意義表示結構在第j列對應的梁端位移分量為1(其余梁端位移分量均為0)時，所引起的i行對應的梁端力分量的數值。

記z=0為i端，z=l為j端。令θi=1，β′i=θj=β′j=0，即只有在i端發生單位扭轉角，其余節點位移為0，根據式(2)～式(5)有：

(12)

(13)

(14)

Tl=T0，

(15)

將式(12)、式(13)聯立解得：

T0=-kDGIdshkl，

(16)

B0=-μDGId(1-chkl)，

(17)

Bl=-B0=μDGId(1-chkl)，

(18)

Tl=T0=-kDGIdshkl。

(19)

根據kij的物理意義可知，式(16)～式(19)所求出的T0，B0，Tl，Bl依次代表單元剛度矩陣中第1列4個元素，而微分方程中待求量的方向與單元剛度矩陣方向不完全一致，單元剛度矩陣中第1列和第2列的系數均需變換正負號。故有：

k11=kDGIdshkl；k21=μDGId(1-chkl)， (20)

k31=-kDGIdshkl；k41=μDGId(1-chkl)。

(21)

同理，按上述步驟先后令β′i=1，θj=1，β′j=1，根據其邊界條件可求得單元剛度矩陣全部系數，將系數組集后得到對稱的4×4階單元剛度矩陣。下面列出矩陣下三角的其余元素為：

k33=-k31=k11；k21=-k32=-k43=k41

(22)

(23)

當梁單元間作用均布扭矩荷載時，由對稱性有：

(24)

令式(6)、式(8)中c=0，z=l，根據邊界條件有θ0=β′0=θl=β′l=0，聯立兩式解得：

(25)

(26)

3 應力放大系數

在對箱梁空間效應的分析中，為簡化問題常將箱梁上作用的偏心荷載分解為相互獨立的對稱荷載和反對稱荷載(扭矩荷載)。對稱荷載作用下，箱梁發生豎向撓曲，按梁的彎曲理論求解，反對稱荷載作用下，箱梁發生扭轉，按箱梁扭轉理論求解，然后將兩者計算結果疊加。

在形心坐標系Cxyz下分析箱梁的豎向撓曲，由箱梁彎曲理論得彎曲正應力σm的表達式為：

(27)

式中，M為計算截面的彎矩；y為應力計算點到截面中性軸的距離；Ix為截面對x軸的慣性矩。

在扭心坐標系Sxyz下分析箱梁的約束扭轉，由箱梁約束扭轉理論得約束扭轉翹曲正應力σω的表達式為：

(28)

根據力的獨立作用原理，將對稱荷載引起的彎曲正應力和扭矩荷載引起的翹曲正應力按照疊加原理疊加，可得兩者的應力和。為表示約束扭轉效應對應力的放大效果，此處引入彎曲應力、翹曲應力之和與彎曲應力的比值作為應力放大系數η，其計算表達式為：

(29)

4 程序驗證

本研究參考有限元程序FRAME2[17]，利用Fortran語言編寫用于分析變截面連續箱梁橋約束扭轉效應的程序YSNZ，用所編程序對文獻[16]第78頁算例所給的兩跨連續箱梁橋的內力進行計算，將雙力矩和扭矩的計算結果匯總整理為圖2和圖3。

圖2 雙力矩曲線Fig.2 Curve of bi-moment

圖3 扭矩曲線Fig.3 Curve of torque

將圖2、圖3與文獻[16]所給雙力矩圖、扭矩圖對比可知本研究值與文獻[16]第84頁圖3-23所給值完全一致，驗證了程序的正確性。

5 工程實例分析

以京杭古運河大橋為算例，該橋是一座跨徑布置為(45+80+45) m的變截面三跨連續箱梁橋。橋寬35 m，沿中央分隔帶對稱布置，橋中間設置寬度為1.0 m的中央分隔帶，橋兩側設置寬度為0.5 m的外護欄，內側設置寬度為1.0 m的內護欄。行車道為寬15.5 m的單向車道，根據規范[18]設置為4條車道。箱梁根部梁高4.6 m，跨中梁高2.0 m，頂板寬為17.0 m，底板寬為9.0 m，翼緣板懸臂長為4.0 m，其中主梁高度從距墩中心1.75 m處到跨中合龍段呈二次拋物線分布。工況1為在中跨布置偏心距為e的集中荷載P1和均布荷載q，P1作用在中跨跨中位置，此布載方式會使中跨跨中正彎矩達到最大。工況2為在中跨跨中布置偏心距為e的集中荷載P1，在一邊跨和中跨布置偏心距為e的均布荷載q，此布載方式會使中支點處負彎矩達到最大。工況3為在左邊跨跨中布置偏心距為e的集中荷載P2，在兩邊跨布置偏心距為e的均布荷載q，此布載方式會使邊跨跨中正彎矩達到最大。計算簡圖及荷載布置見圖4，截面尺寸見圖5。彈性模量E=34 GPa，剪切模量G=14.45 GPa，車道荷載為公路I級。

圖4 立面及布載示意圖(單位：m)Fig.4 Schematic diagram of elevation and layout of loads (unit: m)

圖5 中支點和中跨跨中處橫截面圖(單位：cm)Fig.5 Cross-section of middle support and middle of central span(unit: cm)

箱梁在偏載作用下發生空間效應時，截面上的正應力主要由彎曲正應力和翹曲正應力組成，根據文獻[15]和經驗系數可知，彎曲正應力在總的正應力中占比較大，故本研究的算例橋按照使該橋彎曲效應最顯著的布載方式布載，即按照4車道布載，同時這也是與實際情況最相符的布載方式，計算得偏心距e=1.95 m。根據規范[18]的相關規定，橋面布置多車道荷載時需考慮橫向車道布載系數(4車道為0.67)，折減后集中荷載P1=964.8 kN，P2=938 kN，均布荷載q=28.14 kN/m。

用程序分析前，需先將箱梁橋劃分為若干個箱梁單元，每個單元兩端各對應一個節點，每個節點對應一個截面，取單元兩端節點對應的兩個截面幾何特征值的平均數為該單元幾何特征值，然后將節點、單元、約束及荷載等信息按一定規則編輯成輸入文件。

輸入文件中單元的幾何信息由單元幾何特征值體現，將單元組集成結構時認為將各等截面單元對應截面的扭心置于結構的軸線上，并以扭心位置為該截面對應的節點位置。由程序計算可得每個單元的內力及位移，然后將第n個單元i端值與第n-1個單元j端值相反數的平均值作為第n個單元i端值，將第n個單元j端值與第n+1個單元i端值相反數的平均值作為第n個單元j端值。計算結果的精確度由劃分的單元數決定，對于同一模型，劃分的單元越小，結果越精確。本研究在分析時將全橋劃分為132個單元，由此可得節點與其對應的截面各133個，相同尺寸的截面為一種截面類型，共有32種截面類型。

利用FRAME2程序可計算各截面的剪力和彎矩。圖6為3種工況下的彎矩分布圖。

圖6 彎矩曲線Fig.6 Curves of bending moment

利用YSNZ程序可計算各截面扭轉角、廣義翹曲位移、總扭矩和翹曲雙力矩。圖7為3種工況下的廣義翹曲位移圖。從圖7可以看出，廣義翹曲位移主要分布在偏心活載作用的橋跨內；在工況1或工況2下，廣義翹曲位移均在縱向坐標為75 m處達到峰值。

圖7 廣義翹曲位移曲線Fig.7 Curves of generalized warping displacement

圖8 縱向坐標75 m處的截面翹曲位移圖(單位：mm)Fig.8 Section warping displacement at longitudinal coordinate of 75 m (unit: mm)

圖9為3種工況下的雙力矩分布圖。從圖9可以看出，翹曲雙力矩具有從峰值點向兩側快速衰減的規律，在3種工況下翹曲雙力矩均在中支點截面和集中荷載作用截面出現極值，這說明支座約束和集中荷載會對雙力矩產生較大的影響。

圖9 雙力矩曲線Fig.9 Curves of bi-moment

利用式(23)和式(24)可分別計算截面上各點彎曲正應力和翹曲正應力。因篇幅所限，本研究僅給出工況1下的彎曲正應力圖以及工況1和工況2下的翹曲正應力圖。圖10為工況1下截面上計算點的彎曲正應力分布圖。

圖10 彎曲正應力曲線(工況1)Fig.10 Curves of bending normal stress (case 1)

圖11為2種工況下截面上計算點的翹曲正應力分布圖。從圖11可以看出，翹曲正應力除了具有上述翹曲雙力矩的所有分布規律外，在不同工下，翹曲正應力的極值均出現在集中荷載作用截面，最大正值出現在底板與腹板的交點處，最大負值出現在頂板與腹板的交點處。

圖11 翹曲正應力曲線Fig.11 Curves of warping normal stress

利用ANSYS有限元軟件，對工況1下的京杭古運河大橋采用空間塊體單元建立模型并進行分析，將ANSYS有限元軟件與本研究程序的應力計算結果進行對比。圖12為根據計算結果繪制的縱向坐標為75 m 處的截面正應力圖。從圖12可以看出，本研究程序計算結果與ANSYS有限元軟件計算結果相差不大，截面上同一點處兩者的差值不超過該點程序計算結果的5.7%；此外從圖12中可以看出，程序計算的應力在箱梁截面上為直線分布，而ANSYS有限元軟件計算出的應力為曲線分布。

圖12 縱向坐標75 m處的截面正應力圖(單位:kPa)Fig.12 Normal stresses of section at longitudinal coordinate of 75 m (unit: kPa)

一般在分析偏載作用對箱梁應力的放大效應時，先選取若干控制截面，然后以控制截面作為參考進行活載內力增大系數的取值。表1列出了4個控制截面(邊跨跨中、中支點、中跨1/4和中跨跨中)分別在3種工況下的應力放大系數(橫截面上的最大值)。從表1可以看出，應力放大系數分布在 1.0～1.407之間，與文獻[13,16]的相關計算結果接近，這也再次驗證了本研究計算方法的可靠性。

表1 應力放大系數Tab.1 Stress amplification factor

為清楚地看出應力放大系數的分布規律，圖13示出了3種工況下截面上計算點的應力放大系數分布圖。從圖13可以看出，變截面三跨連續箱梁橋在偏載作用下發生約束扭轉時，應力放大系數的極值點出現在翹曲正應力的極值點所在截面，最大值出現在彎曲正應力極值點所在截面。

圖13 應力放大系數分布曲線(主跨80 m)Fig.13 Distribution curves of stress amplification factors (80 m mainspan)

從圖13(a)可以看出，在工況1下，應力放大系數主要分布在1.0～1.126之間，在中跨跨中截面的頂板與腹板交點為1.126。但也可看出，在縱向坐標為63～67 m和103～107 m的區域內，應力放大系數大于1.126，在這些區域內的截面上，彎曲正應力的絕對值均小于中跨跨中截面底板與腹板交點處彎曲正應力值的8.7%。從圖13(b)可以看出，在工況2下，應力放大系數主要分布在1.0～1.135之間，在中支點截面的翼緣板端部為1.135，在縱向坐標為2～8,67～69和103～108 m的區域內，應力放大系數大于1.135，在這些區域內的截面上，彎曲正應力的絕對值均小于中跨跨中截面底板與腹板交點處彎曲正應力值的9.2%。從圖13(c)可以看出，在工況3下，應力放大系數主要分布在1.0～1.110之間，在邊跨跨中截面的頂板與腹板的交點為1.110，在縱向坐標為34～49 m和114～131 m的區域內，應力放大系數大于1.110，在這些區域內的截面上，彎曲正應力值的絕對值均小于左邊跨跨中截面底板與腹板交點處彎曲正應力值的11.5%。

對于彎曲正應力值較小的截面上的計算點，在考慮了對應的應力放大系數后其應力值仍不大，對橋梁的結構安全性無影響。對本研究算例橋，舍去彎曲正應力值小于該工況下彎曲正應力最大值的11.5%的區域即可使應力放大系數的取值合理。相反，若是在應力放大系數取值時考慮彎曲正應力值較小的點，就會造成應力放大系數取值偏大的問題。

分析表1和圖13可以看出，由表1所得到的應力放大系數最大值遠大于由圖13所到的結果，這是由于在表1的分析中未對彎曲應力值較小的區域進行分析并做合理取舍，而這也解釋了一些文獻中活載內力增大系數取值偏大的原因。顯然，根據圖13所得到的結論更為合理，對于京杭古運河大橋，應力放大系數分布在1.0～1.135之間。

本研究再對跨徑布置為(75+120+75) m的預應力混凝土連續箱梁橋進行分析，因篇幅所限，此處不再詳細給出工程概況及截面尺寸。工況1為中跨滿布均布偏心荷載q，中跨跨中布置偏心集中荷載P。工況2為第1個邊跨和中跨滿布均布荷載q，中跨跨中布置集中荷載P。其中q=42.997 5 kN/m，P=842.4 kN。

分析該三跨連續箱梁橋的約束扭轉效應，其翹曲雙力矩、廣義翹曲位移、截面翹曲變形、翹曲正應力和應力放大系數的分布規律與主跨為80 m的變截面三跨連續箱梁橋相同。圖14為該橋在2種工況下的應力放大系數分布圖。從圖14可以看出，應力放大系數在工況1下分布在1.0～1.096，在工況2下分布在1.0～1.124。

圖14 應力放大系數分布曲線(主跨120 m)Fig.14 Distribution curves of stress amplification factors(120 m mainspan)

6 結論

(1) 翹曲雙力矩和翹曲應力都具有從峰值點向兩側快速衰減的規律，都會在支座約束和集中荷載作用位置出現極值。翹曲正應力的峰值出現在集中荷載作用截面。

(2) 變截面三跨連續箱梁橋在偏載作用下發生約束扭轉時，應力放大系數的極值點出現在翹曲應力的極值點所在截面，峰值點出現在彎曲應力極值點所在的截面。

(3) 在利用內力增大系數法分析約束扭轉效應對彎曲正應力的放大效應時，為避免內力增大系數取值偏大，不宜考慮彎曲正應力值較小的區域，建議選取彎曲正應力極值點所在截面為控制截面。

(4) 對于本研究計算的2座變截面三跨連續箱梁橋，不同工況下的應力放大系數均小于1.135。

(5) 變截面三跨連續箱梁橋在偏心荷載作用下發生約束扭轉時，翹曲變形主要分布在偏心活載作用的橋跨內。