基于概率密度演化的基礎隔震結構隨機響應分析

葉東繁,劉彥輝,秦 熙,譚 平,周福霖

(1.廣州大學工程抗震研究中心,廣東 廣州 510405;2.廣州大學減震控制與結構安全國家重點實驗室培育基地,廣東 廣州 510405)

0 引言

伴隨著社會科技的進步,減隔震技術也得到了大力的發展。目前基礎隔震技術因其具有力學模型簡單、機理清晰、減震效果明顯等優點已經在工程結構中被廣泛應用。在當前抗震設計規范中,結構在進行地震時程分析時,往往是進行確定性動力分析,但是在實際工程中,地震激勵具有明顯的隨機性,因此有必要對基礎隔震結構進行隨機振動分析并給出全面的概率信息,也為隨機結構動力可靠性的精細化分析提供更多依據。

經過幾十年的發展,線性系統的隨機振動分析取得了成熟的理論成果。以朱位秋為首的幾位學者發展了哈密頓理論體系框架,結合隨機平均法,獲得了多自由度體系FPK方程的穩態解,但也僅限于較低的維數[1]。芮珍梅等[2]通過引入等價漂移系數,將聯合概率密度函數滿足的高維FPK方程轉化為一維FPK型方程,建議了構造等價漂移系數的條件均值函數方法,采用路徑積分方法求解降維FPK型方程。林家浩[3]建立和發展的虛擬激勵法通過將平穩隨機振動分析轉化為簡諧振動分析,將非平穩隨機振動分析轉化為確定性時間歷程分析使其計算步驟大大簡化,但仍然可以保持理論上的精確性。李創第等[4]采用復模態法進行解耦,通過以多振型表示的結構地震響應的計算表達式,計算分析了基礎結構在隨機地震作用下的響應。作者課題組[5-6]采用虛擬激勵法對框架-剪力墻層間隔震結構分別進行了小震和大震下的隨機響應分析。但這些方法通常只能得到結構響應的二階統計矩,很難全面地反映結構在隨機激勵下的力學性能。

近年來興起的概率密度演化方法為一般結構的隨機振動及可靠度分析[7-8]提供了一條新的道路。該方法基于物理和力學規律導致的系統物理狀態演化現象,對概率守恒原理進行了分析,發現了概率密度演化與物理系統狀態演化的內在聯系,從而導出新的概率密度演化方程,可以直接得到結構隨機響應的概率密度函數及其演化分布,具有廣泛的適用性,適用于隨機結構的線性與非線性分析。孫臻等[9]通過改變基礎隔震結構的設計參數,在考慮激勵隨機性的基礎上,研究了基礎隔震結構非線性隨機地震響應的概率密度演化規律,發現通過改變結構的阻尼比、周期比和屈重比的取值可以控制結構上部和下部的位移。

本文基于概率密度演化理論對抗震結構和基礎隔震結構進行隨機地震作用下的響應分析并進行對比,研究基礎隔震結構在隨機地震作用下的減震效果。通過引入工程地震動物理隨機函數模型,采用數論選點法對多維外荷載隨機變量選取離散代表點,并求得相應賦得概率,利用離散代表點合成地震動加速度時程樣本作為隨機激勵,輸入結構。在求得結構響應及其相關導數后,應用TVD差分格式求解廣義概率密度演化方程即可得響應的時變概率密度及其演化。結果表明:在隨機地震作用下,基礎隔震結構相較抗震結構具有良好的減震性能,隔震層的設置能夠減小結構位移響應的標準差,減少了結構響應的離散型;概率密度演化方法不僅能夠給出結構響應的二階統計矩,還能全面地反映結構響應的時變概率信息,位移響應的概率密度函數分布不服從正態分布或其他常用分布,且隨著時間演化。

1 概率密度演化理論及數值求解

1.1 概率守恒原理

概率守恒原理是概率密度演化方法的理論基礎。從一般意義上說,概率守恒原理可以表示為:如果隨機因素在隨機系統中是保守的,即沒有新的隨機因素加入,也沒有已有的隨機因素消失,那么該保守系統在狀態演化過程中概率守恒。一般從狀態空間描述和隨機事件描述這兩個方面來研究這一原理。

隨機事件描述即為:給定分布空間中的任意隨機事件{Y0∈Ω0}在保守系統的狀態演化過程中演化為{Y(t)∈Ωt},其概率不變,即Pr{Y0∈Ω0}=Pr{Yt∈Ωt}。隨機事件可以是基本隨機事件的復合。狀態空間描述為:給定一個在分布空間Y內任意時刻t的瞬時速度場v(y,t),該速度場的任意區域Dfixed在經過任意時間區間[t1,t2]內,穿越該區域邊界進入和離開的概率之和等于該區域內概率的增量。只有在整體的保守狀態空間中,其任意區域的概率流動滿足守恒原理。狀態變量之間是相互耦合地,若僅僅只考慮某個子空間時,很難完全考慮到子空間中的全部概率產生源,不能保證子空間的概率是守恒的。隨機事件的描述恰能解決這一難題。隨機事件可以是任何子事件的復合,故可以對隨機事件進行分解。

1.2 廣義概率密度演化方程

一般多自由度結構體系的運動方程可表示成:

(1)

通常在工程實際中,結構動力學問題都是適定的,即所求的結構響應解答都是唯一存在的,且跟結構參數和激勵的隨機性有著很大的關系。當所求結構響應為位移時,其物理解答可表示為:

X(t)=G(Θ,t)

(2)

類似的,其速度也可以表示成:

(3)

且存在H(Θ,t)=?G(Θ,t)/?t。

假設θ為隨機參數向量空間中確定代表點,從概率事件描述的角度進行推導可得到廣義概率密度演化方程,

(4)

在給定結構的邊界條件和初始條件下求解廣義概率密度演化方程,并根據下式求X(t)的概率密度函數:

(5)

一般情況下,方程(4)的邊界條件可采用:

pXΘ(x,θ,t)|zj→±∞→0,j=1,2,…,m

(6)

初始條件為:

pXΘ(x,θ,t)|t=t0=δ(x-x0)pΘ(θ)

(7)

1.3 數值求解

廣義概率密度演化方程的求解需要聯合式(1)和式(3),并結合其邊界條件和初始條件。本文在只考慮地震動隨機性的基礎上,基于“震源-傳播途徑-局部場地”的物理機制,根據工程地震動物理隨機函數模型[10],將地震動物理隨機函數模型中的圓頻率ω進行離散,假定每一個離散的頻率窄區間對應一個窄帶諧波疊加分量,將各個頻率分量對應的窄帶諧波疊加分量相累加即可得到地震動時程樣本。即:

(8)

其中:

(9)

(10)

(11)

(12)

式中;aR(t)為地震動加速度時程樣本;t為時間;ω為圓頻率。在該物理隨機函數模型中,R為震中距;k為傳播衰減系數,通常取經驗值為1×10-5s/km。a、b、c、d均為地震波傳播波數-頻率關系函數中的經驗系數,分別取為a=1.02,b=403 rad/s,c=1.89 s/rad,d=0.13 rad/m。取A0、T、ωg、ξg為4個相互獨立的隨機變量。A0為震源幅值參數,表示震源幅值強度;T為Brune震源參數,表示震源屬性;ωg為場地等效卓越圓頻率;ξg為場地等效阻尼比。假定4個物理隨機變量均服從對數正態分布,其概率分布函數參數列于表1。

表1 物理隨機變量的均值與變異系數Table 1 Mean value and coefficient of variation of physical random variables

選定隨機變量后,本文采用數論選點法[11]進行隨機變量離散代表點的選取。對于s維隨機變量空間,選擇一組生成矢量(n,h1,h2,…,hs),由生成矢量通過式(13)獲得單位超立方體Cs[0,1]s內的散布點列。

qk,j=khj(modn)

xk,j=(2qk,j-1)/2n;k=1,2,…,n;j=1,2,…,s

(13)

其中

xk,j∈[0,1]

(14)

通常,對于大多數類型的概率分布呈現球對稱或近球對稱,特別是對于正態概率分布具有球對稱性質,在其他類型的分布場合,其概率密度函數往往也呈輻射狀衰減,雖然可能不是完全球對稱的。因此,在超立方體內邊緣角落部分的點可以忽略,僅考慮超球體內的代表點。對單位超立方體內的點進行篩選:

(15)

對經s維超球體篩選后的點集進行仿射變換,得到概率分布空間ΩΘ中的均勻點集:

(16)

式中:uj,δj為第j個隨機變量的均值和變異系數;λ為隨機變量的截取界限值。

(17)

代表點θq,j的初始賦得概率為

(18)

pΘ(θq,1,θq,2,…,θq,s)=p(θq,1)·

p(θq,2)·…·p(θq,s)

(19)

將所有點的概率進行歸一化處理,可得:

(20)

根據生成的離散代表點由式(8)合成地震波作為輸入結構的隨機激勵樣本。對于每條地震波,相當于一個確定性動力反應分析過程,采用Newmark-β時程積分方法。計算可得到結構每層位移、速度和加速度。

求得結構的響應及其時間導數后,即可求解廣義概率密度演化方程從而得到響應的概率密度函數。

本文采用TVD差分格式[13]對廣義概率密度演化方程進行求解。其中步長的大小影響分析的精度和穩定性,TVD差分格式中的精度和穩定性要求的步長小于確定性分析,所以文中對確定性分析提供的速度時程進行線性插值以構成TVD差分格式中偏微分方程中的時變系數,獲得滿足符合精度條件的散點個數,從而保證TVD差分格式中的精度和穩定性。

TVD格式是在Lax-Wendroff格式的基礎上施加通量限制器構成的,格式如下:

(21)

其中網格比λ=Δt/Δx,a為所求物理量的導數。φ為通量限制器,且0≤φ≤1,當φ=0時,式(21)退化為單邊差分格式,當φ=1時,則為雙邊差分格式。

選擇較小耗散的Roe-Sweby通量限制器,如下:

φsb(γ+)=max(0,min(2γ+,1),min(γ+,2))

φsb(γ-)=max(0,min(2γ-,1),min(γ-,2))

(22)

進一步考慮差分方向的自適應功能,即:

(23)

u(·)為單位階躍函數。

(24)

其中:

(25)

(26)

為保證TVD格式的穩定性和收斂性,需滿足CFL條件,即|λa|≤1。

求得pXΘ(x,θ,t)后根據式(5)即可得到所求響應的概率密度函數。

2 結構模型

分別建立抗震框架結構模型和基礎隔震結構模型,為了準確對比分析,隔震體系的上部結構與抗震結構相同,其模型如圖1所示。上部結構層高3.6 m,隔震層高1.6 m。立柱截面尺寸為600 mm×600 mm,主梁截面尺寸為500 mm×300 mm,次梁截面為400 mm×300 mm,隔震層梁截面為500 mm×300 mm,板厚120 mm。混凝土強度等級為C30,場地類別為Ⅱ類。根據生成的離散代表點由式(8)合成284條地震波作為輸入結構的隨機激勵樣本。對抗震結構和基礎隔震結構在Ⅶ度(0.15g)多遇地震下進行彈性分析。

圖1 基礎隔震結構模型Fig.1 Model of base isolation structure

根據隔震層上部結構的柱底反力和結構的受力特點選用LRB500和LNR600兩種橡膠隔震支座,布置采用一柱一支座的形式,其布置如圖2所示。

圖2 隔震支座布置示意圖(單位:mm)Fig.2 Schematic diagram of isolation bearing arrangement (Unit:mm)

建立與Etabs模型等效的Matlab仿真模型結構。

Matlab仿真模型采用糖葫蘆串模型,將每一樓層看成一個質點,每層的質量集中在各樓層樓面處,然后用一根豎桿將每一個基本單元串聯起來,即層剪切模型。為簡化問題,一般做出如下假定:

(1)樓板面內剛度無窮大,不考慮其平面外的剛度;

(2)不計豎向桿件的軸向變形。

3 基礎隔震結構隨機響應對比分析

通過MATLAB程序對兩種結構進行隨機動力響應計算并統計分析。首先,需要將結構簡化成集中質量質點系模型,輸入地震波時程樣本進行動力計算。其中簡化的質點系模型的結構阻尼矩陣需要通過計算得出,本文考慮采用Rayleigh阻尼。首先從Etabs中導出結構的質量,和采用柔度法導出結構的剛度。然后通過獲得的質量和剛度,采用Rayleigh阻尼法分別對結構的隔震層和上部結構的阻尼進行計算,然后進行整理,求得抗震結構和隔震結構的阻尼矩陣。

圖3和圖4分別為抗震結構和基礎隔震結構的頂層層間位移的均值和標準差曲線。圖5為基礎隔震結構隔震層位移均值和標準差曲線。對比圖3和圖4可以看出,基礎隔震結構頂層層間位移的均值和標準差曲線峰值均小于抗震結構,對比圖4和圖5,可以發現基礎隔震結構的隔震層發生相對較大的位移。為進一步分析,給出抗震結構和基礎隔震結構每層的層間相對位移均值,如表2所示。

圖3 抗震結構頂層層間位移均值和標準差曲線Fig.3 Curves of mean value and standard deviation of inter-story displacement at the roof of seismic structure

圖4 基礎隔震結構頂層層間位移均值和標準差曲線Fig.4 Curves of mean value and standard deviation of inter-story displacement at the roof of base isolation structure

圖5 基礎隔震結構隔震層位移均值和標準差曲線Fig.5 Curves of mean value and standard deviation of displacement at isolation layer of base isolation structure

表2 抗震與基礎隔震結構層間位移均值對比(單位:mm)Table 2 Comparison between inter-story displacement of seismic and base isolation structures (Unit:mm)

從表中可以看出,兩種結構的最大層間位移均值發生在第二層,越往上樓層的層間位移越小,說明結構的第二層相對薄弱。基礎隔震體系的上部結構每層的層間位移均值小于抗震結構,最大減震率達到了42.46%,而隔震層發生了較大的水平位移,說明設置了橡膠隔震支座后,結構的變形主要集中在隔震層,上部結構的響應減小。

圖6為兩種結構頂層的加速度對比圖,從圖中可以看出,設置了隔震層的結構頂層加速度峰值明顯小于抗震結構,說明減震效果良好。圖7和圖8分別為兩種結構頂層層間位移的概率密度函數(PDF)演化曲面圖與等概率密度線。為了更加清楚地展現概率演化過程,圖中只截取了某個時間段內的概率信息。從圖中可以看出,概率密度演化方法能夠準確地計算得到結構響應的概率密度信息,這是以往其他傳統隨機振動分析方法很難實現的。概率密度演化曲面從整體上直觀地反映了結構隨機響應概率密度的變化趨勢及其大小;等概率密度曲線實質上為概率密度曲面的等高線,它可以直觀地反應位移概率密度分布的范圍及其變化走向,也可以反映出在每一條等概率線上層間位移隨著時間的演化過程。對比圖7和圖8可以看出,基礎隔震結構頂層層間位移的概率密度演化曲面變化相對于抗震結構更加均勻,且在峰值處更加集中。這也是其標準差相比抗震結構較小的緣故,隔震措施能有效減小結構響應的離散型。

圖6 結構頂層加速度均值對比圖Fig.6 Comparison diagram of average acceleration at the roof of two structures

圖7 抗震結構頂層層間位移的概率信息Fig.7 Probability information of inter-story displacement at the roof of the seismic structure

圖8 基礎隔震結構頂層層間位移的概率信息Fig.8 Probability information of inter-story displacement at the roof of the base isolation structure

圖9為兩種結構典型時刻頂層層間位移的概率密度函數曲線,從圖中可以看到,基礎隔震結構的頂層層間位移的分布范圍比抗震結構要小,即頂層發生更小層間位移的概率大于抗震結構,表明基礎隔震體系具有較好的減震效果。層間位移的概率密度曲線并不能用正態分布或其他常用分布函數表示,且隨著時間發生不規則演變,因此傳統隨機振動方法在假定結構反應符合正態分布的基礎上計算出來的二階矩可靠度可能與實際工程結果存在一定的差距。

圖9 典型時刻層間位移概率密度函數曲線Fig.9 The probability density function curve of inter-story displacement at typical moment

4 結論

本文基于概率密度演化方法,對抗震結構和基礎隔震結構進行了隨機地震作用下的線性隨機響應分析,得到以下主要結論:

(1)對比抗震體系和隔震體系的層間位移響應均值可以發現,在隨機地震作用下,隔震結構的隔震層發生了較大的變形,以此耗散地震能量,其上部結構的層間位移均值均小于抗震結構,且變化更加均勻,其減震率達到了42.46%。

(2)隔震層的設置能夠減小結構位移響應的標準差,減少了結構響應的離散型。這表明基于概率密度演化方法計算的隔震體系在隨機激勵下相比抗震體系具有良好的減震性能。

(3)概率密度演化方法能夠給出結構響應的完備概率信息。基礎隔震結構的頂層層間位移的概率密度函數分布范圍相比抗震結構較小,且相對峰值更加集中。位移響應的概率密度函數隨著時間發生演化,其分布不能用正態分布或其他常用分布描述。