具有性和吸毒交互傳播的時滯HIV/AIDS傳播模型

王來全，夏米西努爾·阿布都熱合曼

HIV/AIDS是一種慢性而致命的傳染性疾病，主要的傳播途徑是通過性接觸傳播，血液傳播及母嬰直接傳播，性傳播是最主要的傳播途徑，高危易感人群為不潔性交者，注射吸毒者等人群.為了揭示HIV/AIDS的傳播規律，預測流行趨勢，作為傳染病和數學理論交叉的傳染病數學模型快速發展起來，許多學者對建立傳染病模型及模型平衡點的穩定性作了研究，并得出很好的結論.DOYLE等研究了人群性行為對HIV/AIDS傳播的影響［1-4］；MUKANDAVIRE等討論了對易感者實施單一的教育活動對預防HIV/AIDS傳播的影響［5］，預 測 了HIV/AIDS的 流 行 趨 勢；DEL VALLE等研究了對一些同性戀患者易感人群實施疫苗治療［6］，對預防HIV/AIDS的蔓延具有良好效果；ZINDOGA等發現易感人群的吸毒和性行為都可以加速HIV/AIDS的傳播［7］.但是很少有人研究具有性和吸毒交互傳播的時滯HIV/AIDS傳染病模型.本文討論了吸毒易感人群和不潔性交易感人群在不同感染率下，建立了一類性和吸毒交互傳播的時滯HIV/AIDS模型，分析了無病平衡的穩定性，進一步驗證適時控制吸毒易感人群和不潔性交易感人群可以有效地預防HIV/AIDS的傳播.

1 模型的建立

本文把人群分為注射吸毒人群N1(t)及不潔性交人群N2(t)，假設人群Ni(t)=Si(t)+Ii(t)+Ai(t)（i=1，2），其中Si(t)表示易感者，Ii(t)表示接觸感染者，Ai(t)表示HIV/AIDS確診患者（i=1，2），Mi（i=1，2）為易感人群的輸入參數，使得S1(t)向S2(t)的 轉 化 量 為θ1S1(t)，S2(t)向S1(t)的轉化量為θ2S2(t)，且0<θ1<1，0<θ2<1，假設μ為各類人群的死亡率，m為溢出率（對吸毒易感人群和不潔性交易感人群實施干預措施），τ為潛伏期，且k=e-(μ+m)，c表示性伴個數，又假設易感人群的感染率為標準發生率，即S1(t)和S2(t)的感染率分別為和，且β1≠β2.根 據生物學意義，以上參數均為正數.建立如下數學模型：

系 統（1）的 初 值 條 件 為S1(θ)=?11，I1(θ)=?12，A1(θ)=?13，S2(θ)=?21，I2(θ)=?22，A2(θ)=?23，θ∈[-τ,0]，其中?=(?11,?12,?13,?21,?22,?23)T∈C，?≥0.C([-τ,0]，R6)表示把連續函數從[-τ,0]映射到R6={(S1,I1,A1,S2,I2,A2)∈R6|Si≥0，Ii≥0，Ai≥0，i=1，}2的Banach空間.

2 解的正性及解集

定理1對任意t≥0，在初值條件下，系統（1）的所有解為正解，且所有解進入集合Ω.

注：證明過程與文獻［8］定理1類似.

3 平衡點和基本再生數

易得系統（1）的無病平衡點E0(S10,0,0,S20,0,0).其中：

定義系統（1）的基本再生數

當R01>1和R02<1時，系統（1）存在一個邊界平衡點E1(S11,I11,A11,S21,0,0).如果R01<1和R02>1時，系統（1）存在一個邊界平衡點

其中：

4 無病平衡點的穩定性

定理2如果R0<1，那么系統（1）的無病平衡點E0在Ω局部漸進穩定，當R0>1時，無病平衡點E0在Ω不穩定.

證明 系統（1）在E0處的線性近似方程為：

其中：

故相應的特征方程為|λE-B1-B2e-λz|=0，該特征方程的特征根 為：λ=-(μ+m)，-(μ+m)，-(μ+m+θ1)，-(μ+m+θ2).

特征方程的另一個特征根為方程（2）的解：

如果τ>0及Reλ≥0，則

由此可知，如果R0<1，則對所有的Reλ≥0，方程（2）沒有正實部的特征根，E0穩定，顯然，如果R0>1，則方程（2）至少存在一個正實部的特征根，從而E0不穩定.

下面討論系統（1）無病平衡點的全局穩定性.在本部分為了將系統（1）的第二式和第五式統一起來，作如下的假設：如果i=1，則c1=1，如果i=2，則c2=c.

定理3如果R0<1，那么系統（1）的無病平衡點E0在Ω全局漸進穩定.

證明 由系統（1）第二式和第五式，得到積分方程：

其中：Ni(u)=Si(u)+Ii(u)+Ai(u).

設x=t-u，在Ii(t)兩邊同時取limsup，根據limsup∫f≤∫limsupf，得出

由R0<1得，要使得limsupIi(t)≤limsupIi(t)成立，當且僅當limsupIi(t)=0，從而證得無病平衡點E0在Ω全局漸進穩定.

5 結語

本文考慮了一類時滯的性和吸毒交互的HIV/AIDS傳播模型，當R0<1時，無病平衡點全局漸近穩定.在傳染病學中基本再生數R0是用來區分疾病流行與否的閾值，從系統（1）的基本再生數R0的相關參數關系可以得到，有效控制吸毒易感人群和不潔性交易感人群可以預防HIV/AIDS蔓延.