以一道浙江選考題目為例淺談能量角度解決受力分析問題

潘紅光

（河南省清華附中鄭州學校，河南 鄭州 450018）

物體平衡的種類分為：穩定平衡、不穩定平衡、隨遇平衡.對受到重力和支持力作用而平衡的物體，判斷其平衡種類時，常可用重心升降法.即若使物體稍微偏離平衡位置，如其重心升高，則為穩定平衡；若物體稍微偏離平衡位置后其重心降低，則為不穩定性平衡；若物體稍微偏離平衡位置后其重心高度不變，則為隨遇平衡.［1］處于穩定平衡的物體的重力勢能為極小值，處于不穩定平衡的物體的重力勢能為極大值，處于隨遇平衡的物體的重力勢能為不變.總的來說，對受到重力和支持力作用而平衡的物體，其重力勢能的導數為0.本文以2018年4月浙江省普通高校招生選考科目考試中的第13題為例題，介紹能量角度解決部分受力分析問題.

例1.如圖1所示，一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處，A、B兩點水平距離為16m，豎直距離為2m，A、B間繩長為20m.質量為10kg的猴子抓住套在繩上的滑環從B處滑到A處.以B點所在水平面為參考平面，猴子在滑行過程中重力勢能最小值約為

圖1

解析：猴子在滑行過程中重力勢能最小值的位置，為猴子能夠保持靜止，即受力平衡的位置.令該點為C點，兩根繩子與豎直方向的夾角均是α，AC=L1，BC=L2，總的繩長為L，則有L1+L2=20m，L1sinα+L2sinα=16m，L2cosα-L1cosα=2m，Ep=-mgL2cosα，聯立可得Ep=-7.5×102J，但是由于猴子重心的高度略低于C點，則重力勢能最小值約為-7.5×102J.

接下來我們從能量的角度解決下面兩個受力分析問題.

圖2

習題1.截面為長方形的中空“方鋼”固定在水平地面上，截面一邊與水平面夾角為30°，如圖2所示，方鋼內表面光滑，輕質細桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B，已知小球、輕桿和橫截面共面，當輕質細桿與地面平行時兩個小球恰好靜止，則A、B兩個小球質量之比為解析：如圖3所示，令桿長為L，輕桿與長方形一邊的夾角為θ，以水平地面為零勢能面，則以A、B兩個小球為系統的總重力勢能為Ep=mAgLcosθsin30°+mBgLsinθcos30°，則重力勢能的導數Ep′=-mAgLsinθsin30°+mBgLcosθcos30°.

圖3

當輕質細桿與地面平行時兩個小球恰好靜止，即當θ=30°時，E′p=-mAgLsin30°sin30°+mgLcos30°cos30°=0，即，故（B）選項正確.

習題2.如圖4所示，兩個可視為質點的小球a和b，用質量可忽略的剛性細桿并放置在光滑的半2倍，當兩球處于靜止狀態時，細桿與水平面的夾角θ=15°，則小球a和b的質量之比為球面內.已知細桿長度是球半徑的■倍，則半徑aO和bO與細桿的夾角均為45°，取過O點的水平面為零勢能面，令小球a和b的質量分別為

圖4

解析：由于細桿長度是球半徑的ma和mb.則以小球a和b為系統的總重力勢能為Ep=-magRsin（45°+θ）-mbgRsin（45°-θ），則重力勢能的導數Ep′=-magRcos（45°+θ）+mbgRcos（45°-θ），當兩球處于靜止狀態時，細桿與水平面的夾角θ=15°，則Ep′=-magRcos（45°+15°）+mbgRcos（45°-15°）=0，則故（B）選項正確.