影響折射率梯度各因素的研究

時威 李萍 楊成曉 張震 胡旭東 謝瑜 劉慧

摘要：為了探究各種因素對折射率梯度的影響，以2020年全國大學生物理學術競賽（CUPT）“甜蜜的海市蜃樓”這一題目為基礎，研究溫度、觀察角度和介質對折射率梯度的影響。結合費馬原理以及光學拉格朗日方程得到大氣內的光線傳導的軌跡規律;改變溶液的濃度、溫度等進行多種實驗，用Origin軟件對實驗數據進行分析，探究了影響海市蜃樓現象的各種因素。研究結果表明：處于擴散層內的光線出現彎曲現象，并在該擴散層發生全發射形成倒立像以及發生折射形成正立像。

關鍵詞：海市蜃樓;折射率梯度;光線傳播

在安靜的湖面、沙漠地帶以及海面等地方，在特定情況下，眼前可能會出現高聳著的亭臺樓閣、城市古堡以及其他現象，此類虛幻形式的奇異景觀，如同處于仙界，此即為典型的海市蜃樓景觀[1]。這是在一定條件下發生的自然現象，比較少見，一般很難觀察到。其實這一現象為典型的大氣光學現象，光線基于各個密度的空氣層等影響之后出現折射，結合地形環境等多方面要素呈現出上現蜃景、下現蜃景和復雜蜃景等。上現蜃景主要表示光線在不同密度的空氣層中出現折射以及全發射等情況，使得構成的虛像處在實物上層[2];與此相反的則是下現蜃景[3]。

近年來，人們對海市蜃樓現象在實驗室進行了模擬，并從理論上探究了產生海市蜃樓的原因。例如，于鳳軍對海市蜃樓發生時能夠返回地面的光線的初始角度進行探討，從理論上初步解釋了海市蜃樓現象[4];房若宇對海市蜃樓現象進行了理論模擬;黃思俞等人研究了海市蜃樓形成的理論分析與實驗模擬，有效制備出折射率和高度保持均勻梯度發展的鹽水溶液，分析指出實物景致的清晰可靠的上現蜃現象[5];尹學愛對海市蜃樓演示裝置進行了改進，可以快速、直觀地得到需要的結果，同時實驗成功率也較高[6]。

雖然人們在理論和實驗上得到了一定的結果，但是關于折射率梯度還有許多問題值得研究。2020年全國大學生物理學術競賽（CUPT）中一道“甜蜜的海市蜃樓”題目：法塔莫干納是一種特殊形式的海市蜃樓的名字，而使用激光照射具有折射率梯度的流體時，也會產生類似的效果，請研究這一現象。本文以這道海市蜃樓題目為基礎，并考慮有關因素，來深入研究影響折射率梯度的各種因素。其中，本文中的實驗是利用了濃度連續變化的蔗糖溶液來模擬連續變化的空氣，并且在實驗中實現了上現蜃景。見圖1。

1 ? ?理論模型

我們用蔗糖配置具有折射率梯度的溶液。在玻璃容器中倒入清水，并在其中玻璃容器內放入較大量的冰糖，靜置數小時以上，待大部分冰糖溶解即完成配液。糖水溶液的密度隨著濃度升高而逐步降低，對光的折射率則會逐步降低，繼而形成具有一定折射率梯度的溶液層，如果光線等經過某層溶液時，則隨即出現偏轉。根據文獻[2]，假定一束自然光a產生的光線按照i角度入射，自折射率為n的位置進入溶液層，結合折射定律分析出：

n·sini=n1·sin·i1 ? ? ? ? ? ? ?（1）

n1·sin·i1=n2·sinr ? ? ? ? ? ? （2）

不難發現，如若i、n是定值情況下，因為n1>n2得到r>i，故而自下端液體至上端液體的入射角持續增加，如果增加到臨界角的情況下，隨即出現全反射。如果人眼于a位置背著光Ab'觀測，即可發現基于全反射形成的倒立的影像。

利用人工配置的折射率連續變化的介質，模擬光于非均勻介質內傳播過程中，能夠獲得光線彎曲情況和模擬大自然中轉瞬即逝的海市蜃樓現象。

1.1 根據費馬原理推導大氣中光線傳播的軌跡方程

根據文獻[5]，如圖2所示，當光線自空間內的具體點P經過路徑C到達Q點，則所通過的空間折射率分布為n（x，y，z）情況下，經過路程元ds的光程為：

（3）

結合費馬原理，光線沿著光程是極值的路徑傳播，所以有

（4）

假設大氣折射率僅為高度z的函數，根據幾何關系運算整理得光線在大氣中傳輸的軌跡微分方程為：

（5）

其中K為常數。假定折射率基于高度變化表現為指數形式：n=n0e-αz，其中n0為底層的空氣折射參量，α為正系數，則

（6）

分離變量并整理得光線在大氣中傳輸的軌跡方程：

（7）

這之中α，n0，K，c分別選定合理的參量，該方程即為往上凸起的拋物線。

1.2 利用光學拉格朗日方程推導大氣中光線傳播的軌跡方程

結合相關文獻[5]，假定空氣折射率和高度之間的關系n=n0e-αz，綜合光學拉格朗日方程，獲得光線方程：

（8）

在近軸情況下ds≈dx，光線方程變為：

（9）

因為對稱性，只要求探討光線于XOZ平面中的傳導，解（9）式可得：

（10）

此式為一元二次方程，因為α為正的，故<0，所以光線的軌跡為一系列往上凸的拋物線。

2 ? ?實驗分析

2.1 “海市蜃樓”影響因素的探究

先在玻璃容器里注入清水，用激光筆射入，觀察光路，可以發現激光通過清水的光路是一條直線。接著我們在裝有清水的玻璃容器里放入冰糖，靜置一段時間，冰糖溶液形成具有折射率梯度的液體。用激光筆射入，觀察光路，可發現糖溶液中由于存在折射層，光路是彎曲的，見圖3。

保持溶液溫度不變，改變溶液（糖溶液）的濃度，觀察光路偏離角度（與水平方向夾角），見表1。保持溶液濃度不變，改變溶液（糖溶液）的溫度，觀察光路偏離角度（與水平方向夾角），見表2。用表中的數據作圖，可得到圖4和圖5。

由圖4可知，濃度越大，偏轉角度越大，折射現象越明顯;由圖5可知，溫度越大，偏轉角度越大，折射現象越明顯。

2.2 “海市蜃樓”現象的觀察

圖6 ?光路的軌跡

用激光從一側斜下方照射具有折射率梯度的溶液，發現光路朝上凸形成一條拋物線。建立如圖6所示的坐標系XOZ，O、A兩點為拋物線與X軸的兩交點，B為拋物線的頂點，C為頂點的橫坐標，即OA中點。實驗中測量出：OA=12 cm，BC=1 cm。將O、A、B 3點坐標分別代入（10）式中得：

解出：

所以有：

（11）

此式即為拋物線的軌跡方程。

然后，將帶箭頭的紅紙條貼在玻璃容器一側，在另一側觀察，見圖7。首先，保持溶液的濃度為60%，改變溶液的溫度，觀察其產生的蜃景。發現溫度越高，產生的蜃景越清晰（見圖8）。其次，保持溶液的溫度為20°，改變溶液的濃度，觀察其產生的蜃景，發現濃度越大，產生的蜃景越清晰（見圖9）。然后，我們從不同的位置來觀察，可以發現若人在較遠（高）處，逆著彎曲的反射光線看去，可看到正立的圖像，如果人員處于較近位置，逆著光線來看，則能夠發現倒立的虛像。

3 ? ?結論

本文用理論模型和實驗分析研究了各種因素對折射率梯度的影響。結果表明：“海市蜃樓”成因與溫度、觀察角度、介質有關，這一現象主要基于光的折射導致的。觀察的視角差異導致出現成像差異，觀察的現象為倒立狀態或是正立形式，也只是和觀察所處的點位不同有關。如果所處位置較高，逆著光路光差，則能夠發現基于折射形成的正立虛像;如果處在較低的位置，逆著光路進行觀察，則可以發現經全反射形成的倒立形式的虛像。

參考文獻

[1] 王長波，王章野，周麒，等.海市蜃樓現象的真實感繪制[J].計算機學報，2006，29（12）：2079-2085.

[2] 房若宇.海市蜃樓現象的模擬與研究[J].大學物理實驗，2016，29（4）：46-48.

[3] 王忠純.線性變折射率模型解釋海市蜃樓[J].大學物理，2001，20（9）：24-27.

[4] 于鳳軍.海市蜃樓發生時能夠返回地面之光線的初始角探討[J].大學物理，2017，36（7）：12-13.

[5] 黃思俞，許艷秋，王宗箎，等.海市蜃樓形成的理論分析與實驗模擬再現[J].物理實驗，2019，39（6）：23-26.

[6] 尹學愛.海市蜃樓演示裝置的改進[J].物理實驗，2014，34（5）：24-25.