導(dǎo)管聲子晶體結(jié)構(gòu)帶隙特性研究

肖英龍，支李峰，茅凱杰，許祥曦，王 瀅，夏兆旺,

(1. 中國船舶集團(tuán)有限公司第七一一研究所，上海 201108；2. 船舶與海洋工程動(dòng)力系統(tǒng)國家工程實(shí)驗(yàn)室，上海 201108；3. 江蘇科技大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；4. 江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 南京 211170)

0 引 言

聲子晶體通常是指由2種或2種以上材料周期性組合而成的材料或結(jié)構(gòu)，其最顯著的特征是具有帶隙（禁帶）特性[1-3]。由于聲子晶體是一種新的功能性材料，因此聲子晶體的概念從提出開始就備受國內(nèi)外廣大學(xué)者的關(guān)注[4-5]。由于彈性波和周期結(jié)構(gòu)的相互作用，使得只有一部分頻率范圍內(nèi)的彈性波可以順利通過周期結(jié)構(gòu)，這個(gè)頻率帶稱為通帶[6-8]，其他范圍內(nèi)的頻率將無法通過周期結(jié)構(gòu)繼續(xù)傳播，起到了隔振降噪的效果[9]，此頻率范圍稱為彈性波帶隙[10-11]。基于聲子晶體的特殊性質(zhì)，聲子晶體在振動(dòng)控制、航空航天、軍工武器等領(lǐng)域，以及導(dǎo)管減振和隔聲減振降噪等方面具有廣闊的應(yīng)用前景[12]。

近年來眾多學(xué)者對(duì)周期管路結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入研究，目前關(guān)于聲子晶體的研究方法有平面波展開法[13]、傳遞矩陣法[14]、集中質(zhì)量法[13]、有限元法[15]等。聲子晶體帶隙產(chǎn)生的機(jī)理有布拉格散射型和局域共振型2種。布拉格散射型機(jī)理認(rèn)為帶隙產(chǎn)生的主要原因是由于各個(gè)原胞之間相互作用，局域共振的機(jī)理是在特定頻率彈性波的激勵(lì)下，散射體發(fā)生局域同時(shí)和彈性波之間發(fā)生共同作用導(dǎo)致彈性波不能繼續(xù)傳播。

本文將聲子晶體的周期結(jié)構(gòu)思想引入到海洋平臺(tái)導(dǎo)管設(shè)計(jì)中，然后對(duì)周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)施加縱向激勵(lì)，通過平面波展開法研究周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)和幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)振動(dòng)的第一帶隙的起始頻率、終止頻率、帶隙寬度和中心頻率的影響。其中，材料參數(shù)包括材料的密度和彈性模量；幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)包括晶格常數(shù)、厚度和組分比。

1 周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)和彈性波波動(dòng)方程

在Ansys有限元軟件中，建立聚氨酯-鋼周期導(dǎo)管一維聲子晶體導(dǎo)管如圖1所示。晶體導(dǎo)管的截面內(nèi)徑為1 m，外徑為1.3 m，晶格常數(shù)為12 m，周期導(dǎo)管共5個(gè)周期，總長60 m。圖中A為聚氨酯材料，B為金屬鋼材料，如圖1所示排列。A桿的長度為l1，B桿的長度為l2，晶格常數(shù)a的長度為l1+l2，A和B材料參數(shù)如表1所示。

圖1 周期導(dǎo)管一維聲子晶體結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of one-dimensional phononic crystal structure of periodic catheter

表1 材料參數(shù)Tab. 1 Material parameters

根據(jù)彈性動(dòng)力學(xué)理論，在材料連續(xù)性、均勻和各向同性、完全線彈性以及小變形和無初始應(yīng)力假設(shè)條件下，對(duì)彈性介質(zhì)中任意一個(gè)小的體積微元（質(zhì)點(diǎn)），質(zhì)點(diǎn)力、位移以及應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系為：

運(yùn)動(dòng)微分方程

幾何方程

物理方程

式中：i，j=x，y，z為笛卡爾坐標(biāo)；fj為單位體積上的外力；σijj為應(yīng)力張量；ρ為彈性介質(zhì)的質(zhì)量密度；εij為應(yīng)變張量；ui j為變形梯度；j為位移對(duì)于時(shí)間的2階導(dǎo)數(shù)；，E為楊氏彈性模量，G為剪切彈性模量；ui j表示求偏導(dǎo)，；σiji表示使用愛因斯坦求和規(guī)則，即對(duì)重復(fù)下標(biāo)求和。

在考慮無外力激勵(lì)條件下，可以得到彈性波波動(dòng)方程：

式中：u為位移矢量；λ和μ分別為拉梅第一常數(shù)和拉梅第二常數(shù)；ρ為介質(zhì)的質(zhì)量密度，與縱波波速Cl、橫波波速Ct之間的關(guān)系為：

縱波波速

橫波波速

用位移表示的彈性波方程式（4）可以表示為：

聲子晶體導(dǎo)管的縱向振動(dòng)方程為：

式中：u為x處的位移。

第n個(gè)原胞材料A的振幅為：

第n個(gè)原胞材料B的振幅為：

式中：P+n1和P?n1分別為沿x軸正方向和負(fù)方向傳播，和表示沿x方向的波速。

第n?1個(gè)原胞和第n個(gè)原胞兩者之間的關(guān)系為：

周期導(dǎo)管在x方向上的周期性特性，由Bloch定理得：

由式（11）和式（12）得標(biāo)準(zhǔn)矩陣特征值為：

其中：I為4×4單位矩陣，T=K1?1H1H2?1K2為傳遞矩陣。

通過求解矩陣T，可以得到波失K和W之間的色散關(guān)系。

2 一維周期導(dǎo)管能帶結(jié)構(gòu)

將建立的周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)和材料參數(shù)代入式（13），通過軟件Matlab進(jìn)行求解，得到的能帶結(jié)構(gòu)曲線如圖2所示。從能帶結(jié)構(gòu)曲線圖中可以看出：在0～400 Hz的頻率范圍內(nèi)，周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)有3個(gè)頻率范圍完全存在著不可傳播的波（灰色），該形狀稱為完全帶隙。3條帶隙的頻率范圍分別是28.0～121.0 Hz，128.5～241.7 Hz，246.8～358.7 Hz。彈性波在這些區(qū)域內(nèi)將被抑制而無法傳播，因此，本文建立的周期管結(jié)構(gòu)將在上述3個(gè)帶隙具有好的減振性能。

圖2 一維聲子晶體導(dǎo)管結(jié)構(gòu)帶隙圖Fig. 2 Band gap diagram of one-dimensional phononic crystal tube structure

如果需要周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)在其他頻段具有帶隙特性，可以通過重新設(shè)計(jì)周期導(dǎo)管的晶格常數(shù)和材料參數(shù)實(shí)現(xiàn)。

3 周期導(dǎo)管帶隙特性分析

研究周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響以及晶格常數(shù)、組分比、壁厚、彈性模量和密度等參數(shù)對(duì)周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)能帶圖的影響規(guī)律，分析材料參數(shù)和幾何參數(shù)對(duì)周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)第一帶隙特性的影響規(guī)律。帶隙的起止頻率和帶隙寬度由共振峰的峰值所對(duì)應(yīng)的頻率決定，共振峰峰值的固有頻率公式如下：

式中：f為系統(tǒng)的固有頻率；k為系統(tǒng)剛量；m為系統(tǒng)的質(zhì)量。

3.1 幾何參數(shù)對(duì)帶隙范圍的影響

3.1.1 晶格常數(shù)對(duì)帶隙范圍的影響

基于周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)模型，保持其他參數(shù)不變，研究單胞的晶格常數(shù)對(duì)帶隙特性的影響規(guī)律。晶格常數(shù)分別取6 m，8 m，10 m，12 m，14 m和16 m 時(shí)，計(jì)算周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的能帶，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)晶格常數(shù)從6 m增加到16 m時(shí)，帶隙的起始頻率和截止頻率逐漸降低，其中截止頻率下降的梯度更大，帶寬也隨著晶格常數(shù)的增大而減小。所以，增加晶格常數(shù)可以有效降低周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙的中心頻率。

圖3 晶格常數(shù)對(duì)帶隙的影響Fig. 3 Effect of lattice constant on band gap

3.1.2 組分比對(duì)帶隙范圍的影響

首先，建立周期導(dǎo)管的一維聚氨酯-鋼周期導(dǎo)管模型，如圖1所示。組分比是指聚氨酯材料和鋼材料在周期導(dǎo)管一維聚氨酯-鋼聲子晶體中的長度比。組分比分別取0.20，0.33，0.50，0.71，1.00，1.40，2.00，3.00和5.00時(shí)，周期導(dǎo)管聚氨酯-鋼聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙特性如圖4所示。

圖4 組分比對(duì)帶隙的影響Fig. 4 Effect of composition ratio on band gap

由圖4可以看出：當(dāng)組分比小于1時(shí)，周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的帶隙起始頻率慢慢減小；當(dāng)大于1時(shí)，周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的起始頻率慢慢遞增且遞增的梯度較為平穩(wěn)。隨著組分比的增大，周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的帶隙的截止頻率、中心頻率以及帶隙寬度均下降。

3.1.3 壁厚對(duì)帶隙范圍的影響

在周期導(dǎo)管聚氨酯-鋼聲子晶體模型中，保持其他材料參數(shù)不變，研究導(dǎo)管壁厚對(duì)其帶隙特性的影響規(guī)律。導(dǎo)管壁厚分別取10 mm，15 mm，20 mm，25 mm，30 mm，35 mm和40 mm時(shí)，周期導(dǎo)管的帶隙如圖5所示。可以看出，周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的壁厚對(duì)其帶隙的起始頻率、截止頻率和中心頻率影響很小，因此對(duì)其帶隙寬度影響也很小。

圖5 壁厚對(duì)帶隙的影響Fig. 5 Effect of wall thickness on band gap

3.2 材料參數(shù)對(duì)帶隙范圍的影響

3.2.1 聚氨酯密度對(duì)帶隙范圍的影響

保持材料參數(shù)和材料幾何尺寸不變，聚氨酯材料A的密度分別取1 140 kg/m3，1 200 kg/m3，1 300 kg/m3，1 400 kg/m3，1 500 kg/m3和1 600 kg/m3，研究聚氨酯材料的密度對(duì)帶隙特性的影響規(guī)律，結(jié)果如圖6所示。可以看出，隨著聚氨酯材料密度的增加，周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的帶隙起始頻率基本保持不變，而帶隙的截止頻率、中心頻率、帶隙寬度均緩慢下降。因此，增加聚氨酯密度不能改變帶隙的起始頻率，而且會(huì)導(dǎo)致周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)帶隙的寬度變小。

圖6 聚氨酯密度對(duì)帶隙的影響Fig. 6 Effect of polyurethane density on band gap

3.2.2 金屬鋼密度對(duì)帶隙范圍的影響

金屬鋼密度分別取7 750 kg/m3，7 850 kg/m3，7 950 kg/m3，8 050 kg/m3和8 150 kg/m3時(shí)，聚氨酯-鋼周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的帶隙特性曲線如圖7所示。可以看出，金屬密度的變化，對(duì)周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)帶隙的起始頻率、截止頻率、帶隙寬度和中心頻率影響很小，因此，改變金屬鋼的密度對(duì)帶隙的影響不大。

圖7 金屬鋼密度對(duì)帶隙的影響Fig. 7 The influence of metal steel density on the band gap

3.2.3 聚氨酯彈性模量對(duì)帶隙范圍的影響

聚氨酯彈性模量對(duì)周期導(dǎo)管帶隙特性的影響規(guī)律如圖8所示。可以看出，隨著聚氨酯彈性模量的增加，周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的帶隙起始頻率、截止頻率、帶隙寬度和中心頻率都呈增大的趨勢(shì)，且?guī)兜慕刂诡l率增幅較更大，導(dǎo)致其帶隙寬帶變寬。

圖8 聚氨酯彈性模量對(duì)帶隙的影響Fig. 8 Effect of polyurethane elastic modulus on band gap

3.2.4 金屬鋼彈性模量對(duì)帶隙范圍的影響

在周期導(dǎo)管聚氨酯-鋼聲子晶體中模型中，其他參數(shù)保持不變，研究聚氨酯材料的彈性模量對(duì)其帶隙特性的影響規(guī)律。聚氨酯彈性模量分別取100 GPa，150 GPa，200 GPa，250 GPa和300 GPa時(shí)，周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的帶隙特性如圖9所示。可以看出，金屬鋼的彈性模量對(duì)周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的帶隙起始頻率、截止頻率、帶隙寬度和中心頻率影響都很小。

圖9 金屬鋼彈性模量對(duì)帶隙的影響Fig. 9 Effect of elastic modulus of metal steel on band gap

4 結(jié) 語

本文通過研究材料參數(shù)和幾何參數(shù)對(duì)周期導(dǎo)管聚氨酯-鋼結(jié)構(gòu)的帶隙特性影響規(guī)律，得出主要結(jié)論如下：

1）晶格常數(shù)的增大可以有效降低帶隙的起始頻率和截止頻率，帶隙的寬度和帶隙的中心頻率隨著晶格常數(shù)的增加而逐漸減小。

2）周期導(dǎo)管的帶隙起始頻率隨著材料的組分比增大先減小后增大，而帶隙的截止頻率、帶隙寬度和中心頻率隨著組分比的增大先急劇下降后來慢慢趨于穩(wěn)定。

3）壁厚、金屬鋼的密度和彈性模量的變化對(duì)帶隙特性的起始頻率、截止頻率、帶隙寬度和中心頻率的影響很小。

4）增加聚氨酯材料的密度可以有效降低帶隙的截止頻率，但對(duì)其起始頻率影響很小。因此，增加聚氨酯材料的密度可以降低周期導(dǎo)管結(jié)構(gòu)的帶隙寬度和中心頻率。

5）增加聚氨酯材料的彈性模量，周期導(dǎo)管的帶隙起始頻率和截止頻率都會(huì)增加，其中截止頻率相比起始頻率增加的梯度較大，導(dǎo)致其帶隙寬度和中心頻率都增大。