基于奇異值分解的盲源提取優化算法

劉裕侃，黃高明

(海軍工程大學 電子工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

盲信號處理是當前信號處理領域研究重點，文獻[1 - 5]提出多種針對盲源分離的成熟算法。盲源提取指從觀測到的混沌信號中恢復出一個或多個源信號，是盲源分離技術的擴展，國內外學者對盲源提取這一課題做了大量的工作。文獻[6]提出及于峭度的穩健特定信號盲提取算法；文獻[7 - 8]提出基于2階統計量的盲提取算法和基于高階統計量的自回歸參數估計盲信號提取算法；文獻[9]提出一種改進的基于線性預測的盲源提取算法，通過利用待提取信號與發射信號強相關的先驗知識，采用最小二乘法估計并固定對應線性預測器參數，然后通過構造最小均方預測誤差準則，迭代求取解混向量以提取用于匹配檢測的期望回波。智能算法由于其較好的性能被越來越多的學者運用到盲源提取中，文獻[10]提出了一種針對線性混疊系統的基于鯨魚優化（WOA）和主成分分析（PCA）的有序盲提取算法，利用鯨魚優化算法計算抽取向量，同時利用主成分分析對混合信號進行降維，去除已提取信號成分，實現源信號的有序提取。但是該算法基本模型存在一定的缺陷，算法本身忽略了噪聲對算法的影響，與實際有所區別。本文在文獻[10]基礎上，完善了噪聲背景下線性混疊信號模型，在此算法基礎上提出了2種基于奇異值分解的盲源提取優化算法，方法1（WP-S）在利用文獻[10]算法實現源信號初步分離后，對各分離信號進行矩陣化處理，利用奇異值分解去除信號矩陣中權值明顯偏小的特征值，實現對信號矩陣的進一步“清洗”，去除噪聲成分，達到降噪的目的。仿真過程中發現噪聲成分對信號抽取過程影響較大，即使后期對抽取信號做了去噪處理，在波形上有一定的改善，但是在本質上沒有巨大改變，不能有效提高抽取效果。方法2（S-WP）先對觀測信號進行奇異值分解去除噪聲分量，再利用鯨魚算法和主分量分析實現對盲信號的逐一提取。S-WP算法在信號抽取前進行去噪處理，消除抽取過程中噪聲成分對抽取效果的影響，仿真實驗發現該方法相較于原算法與WP-S算法在噪聲環境中具有更好的盲源抽取效果。

1 問題的描述

有噪信道的線性混疊通信系統模型如圖（1）所示。n個源信號經線性瞬時混頻后在接收端收到m個觀測信號。

圖1 盲源抽取示意圖Fig. 1 Schematic diagram of blind source extraction

信號混合模型可以表示如下：

其中，X=[x1,x2,···,xn]T，為觀測信號矩陣；S=[s1,s2,···,sn]T，為源信號矩陣；N=[n1,n2,···,nm]T為高斯噪聲矩陣；A為m×n維的隨機混合矩陣。假設噪聲與通信信號各統計量獨立且方差為σ2。

經過盲分離器后的輸出：

式中，W表示分離矩陣，能分離出感興趣的通信調制信號y，y即為所有得到的源信號s的恢復信號。

當m≥n時，傳統方法需要進行n次抽取，按照一定準則逐一抽取出源信號對應的恢復信號，文獻[10]利用鯨魚優化算法對源信號的提取和主成分分析對分離準則的目標函數進行尋優，對觀測信號進行降維，只需要n-1次抽取就能實現信號的完全分離，簡化了計算復雜度。但其應用的模型過于理想化，不存在噪聲的系統是不符合實際情況的，因此，本文在文獻[10]的基礎上，優化信號混合模型，以有噪模型檢驗算法性能，提出2種基于奇異值分解的盲源提取優化算法，對所提取的源信號進行去噪處理，提高盲源提取的精度。

2 主要算法

2.1 WOA與PCA

WOA和PCA算法在文獻[10]中已經做了詳細的介紹。WOA模擬鯨魚捕食建立模型，具備一定的局部尋優能力和全局尋優能力。以信號峰度絕對值作為尋優的目標函數，實現通信信號以峰度絕對值從大到小的依次提取。PCA在盡可能減少信息損失的情況下對數據進行降維，同時把數據中對方差貢獻最大的特征保留下來。該方法對數據集的協方差矩陣進行處理，特征值分解后，去除小特征值及其所對應的特征向量，進行投影空間重構，實現矩陣的降維。具體操作步驟包括計算樣本均值、求解協方差矩陣、計算協方差矩陣的特征值和特征向量、去除小特征值后進行空間投影重構。

2.2 基于奇異值分解的信號提純算法

通過鯨魚優化算法和主成分分析算法可以將原始信號從噪聲環境下的線性混疊信號中逐個抽取出來，但是噪聲環境下所抽取的信號質量不如無噪聲環境下抽取的信號質量，因此，為了減少噪聲對分離純度的影響，本文提出了2種基于奇異值分解的盲源抽取優化算法，分別是對抽取信號和觀測信號進行奇異值分解去噪，其他步驟與文獻[10]一致。根據文獻[11]，利用奇異值分解的方法對每路信號si單獨進行去噪提純的步驟如下：

1）將一維信號si轉化為矩陣

設將一維信號si的表達式為si=[s(1)s(2)···s(n)]，則構造奇異值分解矩陣A的形式為：

其中l,m的取值范圍為（0，n/2）的整數。

2）矩陣A的奇異值分解

式中，U=(U1,U2)，為l×l酉矩陣；V=(V1,V2)，為m×m酉矩陣，即

若A的秩為r(r

正定的Hermite矩陣AAH的特征值為：λ1≥λ2≥···，奇異值,。

3）矩陣S′的更新

各λ的規范正交特征向量為：α1,α2,···,αl，記U1=(α1,α2,···,αr)，U2=(αr+1,αr+2,···,αl)其中V1=AU1S?1為m×r階矩陣，具有規范正交列β1,β2,···,βr，將其擴充為m維空間的一組標準正交基：β1,β2,···,βm，其中V1=(β1,β2,···,βr)，V2=(βr+1,βr+2,···,βl)。設AHA的非零r個特征值中前s（s

4）計算矩陣A′

由矩陣S′更新后得到矩陣A′：

5）信號還原

根據矩陣A的 構成方式，通過對A′中各元素按順序重新組合排序，就可以得到還原后的信號，設A′的任一行為Ri，則還原后的信號為：

式中，L1,L2,···,Lm為組合系數。

3 盲信號抽取步驟

本文提出2種基于奇異值分解的盲源提取優化算法，分別為WP-S算法和S-WP算法。2種算法實現步驟如下：

1）WP-S算法盲提取步驟

步驟1當前信號預處理（中心化、白化）；

步驟2利用WOA根據峰度絕對值最大準則從當前信號抽取源信號；

步驟3對當前信號做退化處理，得到不含以提取信號成分的退化信號，并更新當前信號；

步驟4利用PCA對當前信號做降維處理，并更新當前信號；

步驟5跳至步驟1，直至降維后信號維度為1；

步驟6利用奇異值分解去除各提取信號的噪聲成分。

2）S-WP算法盲提取步驟

步驟1對觀測信號進行信號預處理（中心化、白化）；

步驟2利用奇異值分解去除各路觀測信號的噪聲成分；

步驟3利用WOA根據峰度絕對值最大準則從當前信號抽取源信號；

步驟4對當前信號做退化處理，得到不含以提取信號成分的退化信號，并更新當前信號；

步驟5利用PCA對當前信號做降維處理，并更新當前信號；

步驟6跳至步驟3，直至降維后信號維度為1。

4 仿真結果分析

利用Matlab平臺仿真驗證2種算法在無噪聲環境及有噪聲環境中的性能，仿真中采用的信號如下：

采樣頻率為5 000 Hz，采樣點數為5 000，混疊矩陣為：

在鯨魚優化算法環節中，設置鯨魚種群數為30，尋優次數為100。

仿真結果如圖2～圖6所示，其中圖2～圖5仿真過程中信噪比設定為10 dB。

圖2為源信號，圖3為在信噪比為10 dB的通信環境中得到的線性混疊信號，圖4為利用WP-S算法得到的盲源抽取信號。可以直觀看出，該方法在此信噪比下雖然能夠消除抽取信號中的噪聲成分，但不能完全有效的抽取出三路源信號，只有源信號1能夠實現有效抽取。

圖2 源信號Fig. 2 Source signal

圖3 有噪線性混疊信號Fig. 3 Noisy linear alias signal

圖4 WP-S算法抽取信號Fig. 4 WP-S algorithm extracted signal

為更具體描述算法抽取效果，引入抽取信號與源信號的相關系數矩陣ξ，衡量算法的抽取效果，經計算，WP-S算法進行去噪步驟前后對應的相關系數矩陣ξ1和ξ2為：

從系數矩陣內值的分布可以得到，WP-S算法雖然能去除噪聲成分，但是并不能有效提高與源信號的相關性。這是因為觀測信號中存在的噪聲成分會降低算法抽取效果，后期的去噪處理無法改善抽取本身造成的分離性能不理想問題。

圖5為S-WP算法得到的盲源抽取信號，明顯能夠看出，該算法能夠有效地還原三路源信號。未使用去噪算法的相關系數矩陣ξ1與S-WP算法相關系數矩陣ξ2為：

相關系數矩陣ξ2每一行每一列有且僅有一個數值接近1，說明算法實現了在混疊信號中對源信號的高度還原。

對本文所提WP-S算法、S-WP算法以及文獻[10]所提算法在信噪比為0～30 dB范圍內各進行1 000次重復實驗，取各信噪比下試驗所得源信號與抽取信號相關系數的平均值作為算法抽取效果的評價標準，得到仿真曲線（見圖6）。

由圖6可知，原算法與WP-S算法在信噪比較低的環境下抽取效果不理想，且信噪比越低，抽取效果越不理想，WP-S算法雖然去除了抽取信號中的噪聲成分，對抽取信號波形具有一定的改善作用，但是無法提升信號抽取的效果，抽取效果與原算法基本沒有差異。S-WP算法在整個信噪比范圍內都有較好的抽取效果，具有較強的穩定性，在信噪比較低的環境中仍然能有效地實現信號的抽取，該算法性能顯著優于原算法與WP-S算法。

圖5 S-WP算法抽取信號Fig. 5 S-WP algorithm extracted signal

圖6 算法性能分析圖Fig. 6 Algorithm performance analysis chart

必須說明的是，S-WP算法抽取效果穩定在0.9附近而不是接近于1，造成這個現象的原因是鯨魚優化算法是一種基于隨機數的啟發式搜索算法，由于自動生成的隨機數的不同會造成最終抽取結果有好有壞，上述性能分析實驗結果為1 000次重復實驗數據平均值，包含所有理想與不理想的實驗結果，不理想實驗結果導致抽取效果穩定在0.9附近。在實驗過程中，經過辨別，實際抽取效果能夠實現接近于1。

5 結 語

為解決噪聲環境中通信信號線性混疊問題，本文提出2種基于奇異值分解的盲源提取算法。方法1（WP-S）利用WOA和PCA算法初步實現信號的逐一抽取，再利用奇異值分解對抽取信號進行去噪處理；方法2（S-WP）先利用奇異值分解對各路觀測信號進行去噪處理，利用WOA和PCA算法對去噪后信號進行注逐一抽取。仿真實驗證明，相較于原算法，所提2種算法均能有效去除噪聲，但WP-S不能有效提高噪聲環境算法抽取效果，S-WP能有效提高算法在噪聲環境下的效果，且在低信噪比環境下依然能保持良好的抽取效果。存在的問題是一方面算法本身受到固定常數項以及選擇隨機數的影響較大，有需要進一步改進的方面；另一方面選擇的模型為正定模型，對于欠定、超定的混疊信號還有待進一步研究。