平行線巧解鋸齒形

蔡忠平

平行線是平面圖形與空間圖形的基本構成要素之一，是研究圖形的重要基礎.

例 如圖1，已知AB[?]CD，有一點E在直線AB與CD之間，形成鋸齒形，試探究∠B，∠D與∠BED的數量關系.

方法1：利用定理“平行于同一條直線的兩直線平行”.

解析：如圖2，過點E作EF[?]AB，

∵AB[?]CD，∴EF[?]CD，∴∠B = ∠1，∠D = ∠2，∴∠B + ∠D = ∠BED.

方法2：利用定理“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和” .

解析：如圖3，延長BE交CD于點F，

∵AB[?]CD，∴∠B = ∠BFD.

∵∠BED = ∠BFD + ∠D，∴∠B + ∠D = ∠BED.

（同理，延長DE交AB于點F，同樣可得結論.）

方法3：利用定理“三角形的內角和等于180°”“直角三角形的兩個銳角互余”.

解析：如圖4，過點E 作EF⊥AB于點F， 延長FE交CD于點G，

∵AB[?]CD，∴∠BFE + ∠FGD = 180°.

∵∠BFE = 90°，∴∠FGD = 90°.

∵∠B = 90° - ∠FEB，∠D = 90° - ∠GED，

∴∠B + ∠D = 180° - ∠FEB - ∠GED.

∵∠BED = 180° - ∠FEB - ∠GED，∴∠B + ∠D = ∠BED.

方法4：利用定理“三角形的內角和等于180°”“兩直線平行，同旁內角互補”.

解析：如圖5，連接BD，

∵AB[?]CD，∴∠ABD + ∠CDB = 180°，

∴∠ABE + ∠CDE = 180° - ∠EBD - ∠EDB，

∵∠BED = 180° - ∠EBD - ∠EDB，∴∠ABE + ∠CDE = ∠BED.

變式1：如圖6，已知AB[?]CD，有三點E，F，G在直線AB與CD之間，形成鋸齒形，試探究∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之間的數量關系.

解析：如圖7，過點E作EH[?]AB，過點F作FI[?]AB，過點G作GJ[?]AB，

∵AB[?]CD，∴AB[?]EH[?]FI[?]GJ[?]CD，

∴∠B = ∠BEH，∠EFI = ∠HEF，∠IFG = ∠JGF，∠D = ∠DGJ，

∴∠B + ∠EFI + ∠IFG + ∠D = ∠BEH + ∠HEF + ∠DGJ + ∠JGF，

即∠B + ∠EFG + ∠D = ∠BEF + ∠FGD.

規律：如圖1、圖6所示的鋸齒形中，頂點向右的所有角度數之和等于頂點向左的所有角度數之和.

變式2：如圖8、圖9，已知AB[?]CD，有一點E在直線AB與CD的外部，求∠B，∠D與∠E的數量關系.

解析：如圖8，∵AB[?]CD，∴∠D = ∠α，

∵∠α = ∠B + ∠E，∴∠D = ∠B + ∠E. 同理，如圖9，可得∠B = ∠D + ∠E.

1.如圖10，直線a[?]b，將一個三角板如圖放置在平行線間，已知∠1 = 20°，求∠2的度數.

2.如圖11，直線a，b和直線c，d分別交于A，B，C，D四點，若點P在A，B兩點之間運動，試探究：∠1，∠2與∠3之間滿足什么數量關系時，a[?]b？

（答案見第31頁）