用分式方程解決價格問題

趙小冬

價格問題中有三個基本量：總價、單價、數量，其基本關系式是“總價 = 單價 × 數量”. 下面舉例說明如何用分式方程來解決價格問題.

例1（2021·四川·南充）超市購進某種蘋果，如果進價增加2元/千克要用300元;如果進價減少2元/千克，同樣數量的蘋果只用200元. 求蘋果的進價.

解析：設蘋果的進價為x元/千克，根據等量關系“進價增加2元/千克要用300元，進價減少2元/千克購買同樣數量的蘋果只用200元”列分式方程[300x+2=200x-2]，解得x = 10. 經檢驗，x = 10是原分式方程的解，且符合題意. 則蘋果的進價為10元/千克.

變式1：將“同樣數量”改為倍數關系.

例2（2021·四川·眉山）為進一步落實“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某中學以體育為突破口，準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球，用于學校球類比賽活動. 每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同. 已知籃球的單價比足球單價的2倍少30元，用1200元購買足球的數量是用900元購買籃球數量的2倍. 求足球和籃球的單價.

解析：設足球單價為x元，則籃球單價為（2x - 30）元，根據“用1200元購買足球的數量是用900元購買籃球數量的2倍”列方程[1200x] = 2 × [9002x-30]，解得x = 60. 經檢驗，x = 60是原分式方程的解，且符合題意，∴2x - 30 = 90. 則足球單價為60元，籃球單價為90元.

變式2：將“同樣數量”“倍數關系”改為“和差關系”.

例3（2021·江西）甲、乙兩人去市場采購相同價格的同一種商品，甲用2400元購買的商品數量比乙用3000元購買的商品數量少10件. 求這種商品的單價.

解析：設這種商品的單價為x元/件. 根據等量關系“甲用2400元購買的商品數量比乙用3000元購買的商品數量少10件”，列分式方程[3000x-2400x=10]，解得x = 60. 經檢驗，x = 60是原分式方程的解，且符合題意. 則這種商品的單價為60元/件.

（2021·浙江·嘉興）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽. 901班啦啦隊買了兩種價格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費30元，熒光棒共花費40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價是熒光棒的1.5倍. 求熒光棒的單價.（答案見第31頁）