一種改進的貝葉斯小波閾值圖像去噪算法

余傳本，劉增力

（昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500）

0 引言

圖像去噪是圖像處理的經典問題。在圖像獲取或傳輸的過程中，由于各種因素的干擾，圖像通常會不可避免地被噪聲污染。因此在對圖像執行后續處理之前，必須先對圖像進行去噪處理。常用的降噪方法有維納濾波、中值濾波等[1-2]，但是這些方法在對圖像進行降噪的同時，也會丟失圖像的部分細節。而小波去噪方法在一定程度上克服了上述缺點，可以在去除噪聲的同時保持圖像的細節 部分[3]。

長期以來，國內外的相關學者對小波去噪進行了眾多研究，包括使用小波系數相關去噪、小波閾值去噪、模極大值去噪等。從最小均方誤差的角度來看，小波閾值去噪方法在獲得較好視覺效果的前提下，基本上可以達到最佳的去噪效果[4]。常用的閾值確定方法[5-7]有VisuShrink、SureShrink、BayesShrink以及Feature Adaptive等。

本文在貝葉斯收縮去噪方法的基礎上提出了一種改進的方法，即自適應貝葉斯閾值方法。在原始方法中，每個小波子帶只有一個閾值。改進的方法基于區域劃分為每個小波系數計算模糊小波系數，并獲得每個系數的閾值。實驗結果表明，與原始方法相比，該方法在信噪比和均方差等客觀指標和主觀視覺效果方面均有顯著改善，并且可以更好地保持圖像邊緣細節。

1 小波閾值圖像去噪原理

1.1 圖像的小波分解

通過小波變換將圖像分解為各種子帶的方法有很多，如小波包分解、八帶分解、均勻分解以及非均勻分解等。其中，八帶分解是最常用的一種分解方法，原理如下：使用低通濾波器h和高通濾波器g對圖像的行和列進行濾波（卷積），然后對其中的兩個進行降采樣。這樣，小波變換的結果會將圖像分解為低頻子帶（水平和垂直方向均經過低通濾波）LL和三個高頻子帶，即用HL表示水平高通、垂直低通子帶，用LH表示水平低通、垂直高通子帶，用HH表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率是原始分辨率的1/2，并且頻率范圍也不同。第二次小波變換時只對LL子帶進行，進一步將LL子帶分解為LL1，LH1，HL1和HH1，并且分辨率是原始子帶的1/4，頻率范圍進一步減半，依此類推。因此，如圖1所示，執行一次小波變換可獲得4個子帶，進行M次分解可獲得3個M+1子帶。

圖1 圖像的三級小波分解圖

1.2 小波軟、硬閾值去噪

由于信號在時間域往往具有一定的連續性，因此經小波變換后，信號的有效部分所產生的小波系數的模值相對較大；而噪聲信號（如高斯白噪聲）在時間域不具有連續性，所以經小波變換后，噪聲信號的小波系數仍然具有較強的隨機性，通常認為其服從高斯分布。由此得出一個結論：帶噪信號經小波變換后，信號的有效部分對應的小波系數較大，而噪聲部分對應的系數較小。

設噪聲信號經小波變換后，小波系數對應的方差為σ，由高斯分布的特性可知，99%以上的噪聲系數都位于[-3σ,3σ]區間內。因此，只要將[-3σ,3σ]區間內的系數置零，就能最大程度地抑制噪聲。之后將經過閾值處理后的小波系數重構，就可以得到去噪后的信號。

估計小波系數的常用方法如下，?。?/p>

式中：σ是噪聲標準方差，N為信號長度。

硬閾值估計方法定義為：

式中：Wj,k為真實的小波系數，為估計的小波系數。

與之對應的軟閾值估計定義為：

式中：sign為符號函數。

2 改進的自適應貝葉斯小波閾值算法

2.1 現有方法存在的問題

現有的小波閾值算法存在如下問題：

（1）現有方法不能同時確定閾值和閾值函數；

（2）因硬閾值法在閾值處不連續，故通過該方法得到的圖像會產生附加振蕩從而產生偽吉布斯 效應[8]；

（3）由軟閾值函數估計得到的小波系數雖然整體連續性較好，但其估計的小波系數與原始小波系數之間存在恒定偏差，因此通過該方法得到的重構圖像雖然平滑性能比較好，但會導致圖像邊緣模糊，損失圖像的細節部分[9]。

因此，本文提出一種新的改進自適應貝葉斯小波閾值算法，對于圖像的去噪非常有價值。

2.2 改進自適應貝葉斯小波閾值算法

小波閾值去噪的一個關鍵因素就是對閾值的估計。本文采取基于廣義高斯分布（Generalized Gaussian Distribution，GGD）模型的閾值估計方法。該公式的建立基于經驗觀察，即通過零均值的廣義高斯分布可以適當地概括自然圖像子帶中的小 波系數。

假設信號為[fij,i,j=1,2,…,N]，N是2的冪，它被一加性隨機噪聲污染，記為：

式中：εij是獨立同分布的均值為零的正態分布，并且獨立于fij。

去噪的目標是得到fij的估計值，使均方誤差（Mean Square Error，MSE）最小。

零均值的廣義高斯分布GGD描述為：

式中：-∞＜x＜∞,σX＞0,β＞0，

基于Bayes估計理論的去噪原理就是通過尋找一個閾值T，使得貝葉斯風險函數Y(T)最小，T的計算公式為：

用T*表示自適應最佳閾值，即：

對于GGD參數的估計，即σX和β，而對于σX和β參數的估計又產生了數據驅動的TB(σX)估計，以適應不同的子帶特性。首先需要對噪聲方差σ2進行估計，對此，可由Donoho提出的魯棒中值進行估計，如下式：

因β參數沒有顯式解代入表達式TB(σX)，只有信號標準偏差σX才有。因此，直接對σX或σX

2進行估計。由式（5）可知，觀測模型為Y=X+V，且X、V之間是彼此獨立的，由此可得：

σY

2是Y的方差，對于σY2的值可以由下式得到：

因子帶的大小為n×n，于是得到TB(σX)的估 計為：

可得到最終的最佳自適應閾值為：

式中：σ為加入的高斯噪聲方差，σX為不帶噪聲信號的標準方差，μ為最佳計算閾值。

閾值周圍的小波系數值的濾除和保留程度由模糊度量中的一維距離比例函數來劃分區域并確定，具體劃分如下：本算法的模糊區域指的是閾值周圍的高頻小波系數，由于無法判斷這些小波系數中含有噪聲與否的情況，因此根據模糊區域的設定，根據含有噪聲的程度大小，由三個區域即A1、A2、A3來劃分小波系數的數值，如圖2所示。

圖2 基于模糊距離函數和貝葉斯最佳閾值的高頻小波系數數值區域劃分

對于A1區域，由相關理論與經驗公式可知，小于0.9μ的小波高頻系數是噪聲一類，故全部進行置零清除。A1區域的函數表達式為

式中：Ai,j表示含噪聲圖像的小波系數，表示經過去噪之后的圖像的小波系數。

對于模糊區域即A2部分，用中介模糊算法處理小波系數含噪聲成分，根據一維模糊距離比例函數計算，確定小波系數，得到A2的表達式為：

對于A3區域部分，為解決原軟閾值函數中“恒定偏差”的不足，本文算法基于“軟閾值的萎縮量盡量縮小”的思想，同時又根據“小波系數越大噪聲程度越低”的結論，得到A3區域的表達式為：

3 實驗仿真與分析

3.1 算法整體流程

整體的自適應貝葉斯閾值算法流程如圖3 所示。

圖3 自適應貝葉斯小波閾值算法流程圖

3.2 結果分析

圖像質量的評價標準可以分為主觀評價與客觀評價。主觀評價可由人眼的視覺效果來評價，常用的客觀評價指標有信噪比和均方差，分 別定義如下：

為了驗證新閾值的性能，選擇兩張圖片進行仿真實驗。將圖像Lena和House加入高斯白噪聲，小波變換選用“sym wavelet”，分解層數為3層。分別從主觀視覺與客觀定量兩個方面評價實驗結果。視覺效果如圖4～圖6所示，定量評估了SNR和MSE參數。實驗結果表明，將圖4（f）和圖5（f）與圖4（d）、圖4（e）和圖5（d）、圖5（e）進行比較，經本文所提的閾值去噪算法處理后的圖像更清晰，邊緣和紋理信息保存得更好。表1和表2的數據表明，無論是在圖4中還是在圖5中，通過自適應貝葉斯閾值方法計算的SNR最高，而MSE最低。

圖4 不同閾值算法對Lena圖像的去噪結果對比

圖5 不同閾值算法對House圖像的去噪結果對比

圖6 其他圖像本文去噪算法去噪結果直觀圖

表1 各閾值去噪算法應用于Lena和House圖像的SNR（單位：dB）比較

表2 各閾值去噪算法應用于Lena和House圖像的MSE比較

4 結語

本文在GGD模型中提出了一種改進的貝葉斯小波閾值圖像去噪算法，利用閾值周圍的小波系數是否含有噪聲的模糊性，對該模糊區域通過自適應算法確定小波系數的保留程度。仿真結果表明，與傳統的軟、硬閾值函數相比，該算法可以有效去除圖像噪聲、提高信噪比、降低均方誤差，且在保持圖像邊緣細節方面效果更好，因而人眼視覺效果更好，算法更加實用和有效。