具有Robin自由邊界的壞死核雙曲型腫瘤生長模型的定性分析*

胡蝶，衛雪梅，馮兆永，劉成霞

1. 廣東工業大學數學與統計學院，廣東廣州 510520

2. 中山大學數學學院，廣東廣州 510275

3. 南方醫科大學口腔醫院，廣東廣州 510280

本文研究了具有壞死核腫瘤生長模型的Robin 自由邊界問題。在文獻［1-2］中，Byrne 和Chaplain 提出的關于腫瘤生長的自由邊界問題已被廣泛研究。腫瘤生長的偏微分模型主要分三類：一是只含反應擴散方程的Byrne-Chaplain 型腫瘤模型，二是含有反應擴散方程和守恒律方程的King-Ward 型腫瘤模型，三是含有反應擴散方程、守恒律方程和Stokes方程的流體型腫瘤模型（由Franks等提出）。崔尚斌［3］介紹了腫瘤生長自由邊界問題的研究內容和進展狀況。在文獻［4-13］中討論了腫瘤生長細胞在Dirichlet邊界條件下解的適定性和解的性質，其中文獻［12-13］討論了帶有壞死核的腫瘤生長細胞在Dirichlet 邊界條件下解的適定性。

2015年，文獻［14］討論了帶有Robin邊界條件的Byrne-Chaplain 型腫瘤生長模型的自由邊界問題，得到了解的適定性和解的漸近性態。關于Robin 自由邊界問題的定性分析在文獻［15-20］已獲得了相應的結果，其中文獻［18-20］中研究了帶有壞死核的腫瘤生長細胞在Robin邊界條件下的定性分析。

事實上，腫瘤生長主要包括兩個階段。假設CD（正常數）表示壞死閾值：當C＞CD時，營養足夠使腫瘤存活；當0 ≤C≤CD時，營養不足以使腫瘤細胞存活，所有細胞將死亡［2］。本文在文獻［6］的基礎上考慮營養物濃度C帶壞死核的線性橢圓方程的Robin自由邊界問題。具體模型如下

其中|x|≤R(t)(x∈R3)表示腫瘤在時刻t所占的空間區域（即腫瘤呈球狀且R(t)為時刻t的腫瘤半徑）。ρ(t)為時刻t的腫瘤壞死核半徑，H( ?)為Heaviside 函數，P，Q和D分別代表增殖細胞、休眠細胞和死亡細胞的密度，N（正常數）代表這三類細胞混合體的密度，v代表腫瘤細胞的運動速度，KˉB(C)，KˉP(C)，KˉQ(C)分別表示增殖細胞的繁殖速率，休眠細胞變為增殖細胞的轉換速率和增殖細胞變為休眠細胞的轉換速率，KˉA(C)和KˉD(C)分別表示增殖細胞和休眠細胞的死亡速率，KR是與C無關的正常數，表示死亡細胞的消解速率，其中KˉB(C)，KˉQ(C)隨著C的增大而增大，KˉA(C)，KˉP(C)，KˉD(C)隨著C的增大而減小。另外，由于增殖率大于凋亡率，所以KˉB(C)＞KˉA(C).θ為腫瘤表面的壓力即表面張力，κ表示腫瘤表面的平均曲率，C0，P0，Q0，D0，R0為初始值。

其中Ki(c)=Kˉi(Cˉc)，(i=A，B，D，P，Q).

本文的主要結果如下：

定理1 當0 ≤r≤R(t)，0 ≤t＜∞時，方程組（2）～（11）有唯一解，并且具有以下性質

1 解的存在唯一性

由式（19）得

若R＞R*，方程（23）的解為

2 轉換方程組

為了能夠更簡便地求解以上方程組，我們將其轉換為一個與之等價的固定區域進行求解。作變量替換

證明σ(z，R)關于z和R的單調性可由求導直接得出。利用L'Hospital 法則易知式（40）成立，再由式（21）知式（41）顯然成立。由式（19）和式（27）可知，0 ≤z＜1時，

3 等價方程組局部解的存在唯一性

我們先作出如下假設：

顯然XT是一個完備的度量空間。

定義映射F：XT→XT的具體形式如下

因此，當T足夠小時R?(t)滿足式（43），即R?(t)滿足條件（i）。

由文獻［11］中的引理4.2和引理4.3得，當T足夠小時有∞

因此，p?(t)，q?(t)滿足條件（ii）。由（i）和（ii）的結論可知：對于足夠小的T，F是XT自身到自身的映射。

則對于0 ≤z≤1，0 ≤t≤T，只要T足夠小，方程組（28）～（36）存在唯一解。

4 定理1的證明

證明 根據定理5，要證明方程組的解在0 ≤t＜T成立（其中T＞0且是任意的），只需證明

即式（12）成立。式（49）可由式（12）直接推出。而由文獻［11］的引理4.2可知式（50）成立。證畢

5 定理2的證明

KR= 0意味著腫瘤中的死亡細胞完全沒有消解，則通過式（38）有

因為R(t)關于t單調遞增，同時營養物濃度σ(z，R(t))隨著R(t)的增加而減少，故增殖率KB(σ)降低。從而當t→+∞時，無法得知R(t)趨于+∞還是保持有界。本節主要證明在假設（13）～（14）的基礎上，R(t)趨于+∞. 假設（13）與實驗事實相符，即死亡細胞傾向于集中在腫瘤的內部區域，而繁衍細胞傾向于集中在腫瘤的外部區域。而假設（14）基于事實：休眠細胞的死亡速率大于繁衍細胞的死亡速率。

首先我們需要給出以下初步引理：

引理4 令KR= 0并假設（13）～（14）成立，則

因為?t≥0，有v(0，t)=v(1，t)= 0，故由比較原理可得v≤0. 證畢

令pˉ=pˉ(z，t)是下列初值問題