具無界中立系數的三階Emden-Fowler微分方程的弱振動性*

曾云輝，汪安寧，汪志紅，羅李平

1. 衡陽師范學院數學與統計學院，湖南衡陽 421002

2. 衡陽師范學院南岳學院數學與計算科學系，湖南衡陽 421008

考慮三階Emden-Fowler微分方程

總假設滿足下列條件

(A1)λ是兩個正奇數的商，I=[t0，+ ∞)，R+=(0，+ ∞)；

方程（1）的一個解是指函數y(t) ∈C1[Ty，+ ∞)，Ty≥t0，使得a(t)x″(t) ∈C1[Ty，+ ∞)且在[Ty，+ ∞)上滿足方程（1）。本文僅考慮方程（1）中滿足Sup{||y(t) ：t≥T}＞0 對一切T≥Ty成立的解。方程（1）的解稱為振動，如果它在[Ty，+ ∞)上既無最終正解，也無最終負解，否則，稱它為非振動。方程（1）的解稱為弱振動，如果它的每一解y(t)振動，或者當t→+∞時，y(t) →0.

最近，三階微分方程的振動與非振動理論的研究受到中外學者們的廣泛關注，并取得了很好的結果［1-14］。但是，我們注意到這些結果大部分都與-1 ＜p0≤p(t) ≤0，0 ≤p(t) ≤p0＜1 或0 ≤p(t) ≤p0＜+∞的情況有關且要求時滯條件τ°δ=δ°τ或者τ°δ=δ°τ和τ°σ=σ°τ成立，這些條件限制性很強，不容易滿足，在p(t) ＞1包括當t→+∞時，p(t) →+∞的情況下相關的振動結果還不是很多。例如，參看文獻［15-18］。我們也注意到文獻［18］考慮了方程（1）的如下特例

在η°g≠g°η的條件下通過將三階非線性泛函微分方程轉化為一階微分方程組，然后用比較方法給出了方程（3）在正則條件下解的振動準則。但據我們所知，文獻［15-18］均未考慮非正則的情況，因此，研究方程（1）在η°g≠g°η和非正則條件下的振動性問題是非常有意義的。

本文目的是在η°g≠g°η情況下，通過引入參數函數并利用新得到的Riccati 變換對方程（1）展開研究，分別在正則條件

成立下，建立方程（1）解振動新的充分條件，所得結果是文獻［18］的一個補充，同時也改進了文獻［18］相關結果。

下文中出現的不等式如果沒有特殊的說明，均假設對一切充分大的t成立。為了書寫方便，引入記號

其中η-1是η的反函數，α(t)，β(t)是本文后面所引入的參數函數。

1 主要引理

引理1 若條件(A1)～(A3)成立，y(t)是方程（1）的正解，則x(t)只可能有以下3種情形：當t1充分大時，對t≥t1成立

(I)x(t) ＞0，x'(t) ＞0，x″(t) ＞0，x?(t) ≤0，(a(t)x″(t))'≤0；

(II)x(t) ＞0，x'(t) ＜0，x″(t) ＞0，x?(t) ≤0，(a(t)x″(t))'≤0；

(III)x(t) ＞0，x'(t) ＞0，x″(t) ＜0，(a(t)x″(t))'≤0.

特別，當條件（4）成立時，則x(t)只可能出現情形(I)和情形(II)。

證明 引理1的證明類似文獻［19］引理1的證明。故略去。

引理2 若條件(A1)～(A3)及φ*(t) ＞0成立，y(t)是方程(1)的正解，且x(t)具有引理1中的情形(II)。若

證明 設方程（1）有非振動解y(t)，不失一般性，我們設y(t) ＞0，y(η(t)) ＞0，y(g(t)) ＞0，（15）式和η-1(g(t)) ＞t1，t≥t1≥t0成立。當y(t) ＜0 的情況類似的分析成立。由引理2 的證明可得（11）式。又因為x(t)滿足引理1中的情形(I)，由引理5可得

聯合方程（1）和（18）式可得（16）式。引理6證畢。

引理7 設條件(A1)～(A3)和ψ(t) ＞0 滿足，y(t)是方程（1）的最終正解，且x(t)相應滿足引理1 中的情形(III)，若存在函數β(t) ∈C1(I，R+)滿足

則x(t)滿足不等式

證明 本引理的證明類似于引理6的證明，略。

2 主要結果

定理1 設條件(A1)～(A3)和條件（4）滿足，若

成立，則方程（1）的每一解弱振動。

證明 設y(t)是方程（1）的非振動解。不失一般性，設y(t)最終為正，由引理1 和（4）式成立，則x(t)只可能有(I)和(II)兩種情形。

若x(t)滿足情形(I)，由引理6，有

下面進一步考慮如果定理1 的條件（4）和（21）中有一個條件不滿足將如何彌補？為此，首先考慮條件（21）不滿足的情況，我們有如下定理。

定理2 設條件(A1)～(A3)和（10）式滿足，對于充分大的t有φ*(t) ＞0和φ*(t) ＞0，(4)式成立且存在函數α(t) ∈C1(I，R+)滿足(15)式。如果存在函數γ(t) ∈C1(I，R+)，常數δ∈(0，1)和L0＞0滿足

其中γ'+(t) = max{0，γ'(t)}，ξ= min{1，λ}，φ*(t)由（8）式定義，則方程(1)的每一解弱振動。

證明 設方程（1）有最終正解y(t)， 即存在充分大的t1， 使得當t≥t1≥t0時， 有y(t) ＞0，y(η(t)) ＞0，y(g(t)) ＞0和η-1(g(t)) ＞t1成立。當y(t) ＜0的情況類似的分析成立。由引理2的證明可得（11）式。又由于z(t)滿足引理1中的情形(I)，于是由引理5得

則v(t) ＞0，t≥t1. 利用(16)式和(23)～(25)式可得

注意到x(t) ＞0和x'(t) ＞0，故存在常數L1＞0，使得當λ≥1時有此與(22)式矛盾。

則方程（1）的每一解y(t)弱振動。

證明 設方程（1）有非振動解y(t)，由條件（4）成立，x(t)只可能有情形(I)和情形(II)。首先，設x(t)滿足情形(I)，引入Riccati變換v(t)同（25）式，則如同定理2的證明一樣，（29）式成立。令0

因此

因此，又由（42）式得

由（47）式得

在(51)式中利用了分部積分，(50)式和ρ'(t)= -a-1(t). 應用引理5 的不等式，取B=η，C=Kρ(s)，則由（51）式得

顯然，（53）式和（37）式矛盾。證畢

注2 文獻［15－18］中的結果都是在正則條件下獲得的振動準則，而定理4 獲得了非正則條件下的振動準則，因此，定理4是已有文獻結果的推廣和改進。

注3 本文是文獻［18］的一個補充，同時也改進了文獻［18］的相關結果。

3 例子

例1 考慮具有無界中立系數的三階Emden-Fowler型微分方程

故條件（22）成立。因此，由定理2知方程(54)的每一解x(t)弱振動。文獻［1-13，15-19］及其引文中的振動結果均不能適用于方程(54)。

例2 考慮三階Emden-Fowler型微分方程

因此，條件(A1)～(A3)，(5)式滿足，(10)式也滿足。

取γ(t) = 1，即有條件(22)成立。下面驗證條件(37)，因η=λ= 3，則有

故（37）式成立。由定理4知，方程(55)的每一解振動或者收斂到零。