裂紋葉片非線性振動響應(yīng)理論分析與實驗驗證*

沈國際，官鳳嬌，邊子方，胡海峰，楊擁民

(1. 國防科技大學(xué) 智能科學(xué)學(xué)院， 湖南 長沙 410073； 2. 國防科技大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室， 湖南 長沙 410073)

疲勞裂紋嚴(yán)重威脅發(fā)動機的使用安全，引發(fā)了包括2018年美國西南航空發(fā)動機爆炸在內(nèi)的多起飛行事故，因此葉片早期裂紋檢測和損傷評估對于航空安全和航空發(fā)動機發(fā)展具有重要意義。相比于應(yīng)變片監(jiān)測和人工表面檢測，振動信號分析方法有望實現(xiàn)葉片裂紋的在線監(jiān)測，因此得到了廣泛重視[1-4]。根據(jù)所用裂紋模型，葉片振動信號分析方法可以分為三類：基于開裂紋模型的方法，基于雙線性裂紋模型的方法，基于呼吸裂紋模型的方法。

開裂紋模型最早得到發(fā)展，借助開裂紋模型，可以解析確定裂紋葉片固有頻率與裂紋尺寸的定量關(guān)系。Gudmundson[5]較早研究了開裂紋葉片的動力學(xué)模型，推導(dǎo)了正常葉片和裂紋葉片的固有頻率表達(dá)式。Shen和Pierre[6]分析了對稱開裂紋梁的運動規(guī)律，重點研究了裂紋尖端附近的應(yīng)力集中情況，分析了葉片振動的模態(tài)和固有頻率。Shen和Pierre[7]還研究了Bernoulli-Euler梁的邊界條件，引入了一個裂紋度量函數(shù)來描述裂紋應(yīng)力集中現(xiàn)象。Owolabi等[8]測量了不同裂紋位置和裂紋深度時含裂紋梁的固有頻率和相應(yīng)振幅。Law和Lu[9]利用Dirac函數(shù)對包含開裂紋的梁進(jìn)行了建模，并研究了包含單個裂紋梁的時域響應(yīng)，這表明振動信號分析可用于識別裂紋和評估損傷。

有研究發(fā)現(xiàn)，開裂紋模型得到的固有頻率與實測固有頻率存在較大誤差，從而逐漸發(fā)展出雙線性裂紋模型。這種模型認(rèn)為在壓力載荷作用下，裂紋并不總是張開的，而是在張開和閉合狀態(tài)間進(jìn)行周期性轉(zhuǎn)換，相應(yīng)地，葉片剛度在兩個特征剛度之間進(jìn)行周期性切換[10]。Chatterjee[11]用多項式方法研究了具有雙線性剛度的單自由度系統(tǒng)，得到了含裂紋梁在諧波激勵下的響應(yīng)輸出。Andreaus等[12]用無摩擦雙線性模型模擬了裂紋動態(tài)變化行為，將裂紋引起的響應(yīng)變化歸納為次諧波和超諧波等現(xiàn)象。

近年來，為了更為精細(xì)地表征裂紋動態(tài)行為，越來越多的研究集中在呼吸裂紋模型上。在雙線性裂紋模型中裂紋在張開和閉合兩種狀態(tài)階躍性變化的基礎(chǔ)上，呼吸裂紋模型認(rèn)為裂紋張開、閉合是連續(xù)變化的過程，裂紋張開程度隨著載荷的振蕩而變化。基于仿真模擬和實驗分析，對含呼吸裂紋的葉片振動響應(yīng)開展了大量研究。Cheng等[13]等用余弦函數(shù)描述裂紋剛度的變化，表明呼吸裂紋模型比開裂紋模型更適合用于早期裂紋檢測。Long等[14]通過有限元分析，推導(dǎo)了含呼吸裂紋的非線性動力學(xué)模型方程，并利用多尺度法研究了裂紋梁在諧波激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。Ma等[15]應(yīng)用平面單元和梁單元相結(jié)合的方法，對裂紋梁的振動進(jìn)行了研究，表明裂紋角度對振動振幅也有顯著影響，在某些特定角度裂紋作用下梁的振動幅值更大。Broda等[16]研究了呼吸裂紋梁的縱向振動，特別是裂紋引起的非線性幅值局部變化。Pugno等[17]提出了一種逐步收斂的迭代方法來計算諧波分量的系數(shù)。Bovsunovskii和Surace[18]研究了考慮阻尼系數(shù)變化的呼吸裂紋效應(yīng)。這種方法在描述裂紋行為方面更為精細(xì)，但是使得含裂紋梁的動力學(xué)模型只能用非線性方程來表征，因而難以得到顯式解。

綜合上述研究成果，盡管裂紋葉片振動信號的特征提取已經(jīng)取得了一定的進(jìn)展，但由于呼吸裂紋非線性振動運動方程無法得到響應(yīng)解的解析表達(dá)式，對復(fù)雜葉片振動的理論分析仍然是懸而未決的工作。因此，有必要開展葉片裂紋振動的精細(xì)化描述，發(fā)展新的非線性分析方法，探究裂紋葉片振動的動力學(xué)過程演變規(guī)律，發(fā)展更多振動特征分析方法，通過多特征融合提高裂紋識別的準(zhǔn)確性。

本文從呼吸裂紋模型出發(fā)，建立裂紋葉片的懸臂梁模型來表征葉片振動，分析裂紋深度和位置對葉片動力學(xué)參數(shù)的影響規(guī)律。通過推導(dǎo)，證明了諧波分量的功率由相鄰諧波功率、諧波階次和裂紋引起的剛度變化等參數(shù)決定，并得到了諧波分量相對功率與裂紋參數(shù)的定量化描述。在此基礎(chǔ)上提出了基于諧波分量相對功率的特征分析方法，并得到了數(shù)值仿真和實測葉片數(shù)據(jù)的驗證。

1 葉片振動建模

裂紋葉片可簡化為如圖1所示的矩形懸臂梁。其中，a為裂紋深度，b為梁厚度，w為葉片寬度，L為梁長度，lc為裂紋距葉尖的距離。

圖1 葉片的懸臂梁模型Fig.1 Blade cantilever beam model

矩形懸臂梁的廣義柔度f0計算公式如下[17]：

(1)

其中，E為葉片材料對應(yīng)的楊氏模量，I為矩形梁的轉(zhuǎn)動慣量。

當(dāng)葉片出現(xiàn)裂紋時，葉片的柔度將相應(yīng)地變化。對于含開裂紋的梁，其柔度為：

fopen=fΔc+f0

(2)

開裂紋引起的柔度變化已經(jīng)由Dimarogonas等[19]推導(dǎo)得到：

(3)

其中，ν是葉片材料的泊松比，系數(shù)φ定義如下[19]：

(4)

對于早期裂紋，考慮到裂紋深度遠(yuǎn)小于葉片厚度，a?b，因此系數(shù)φ可近似估算為：

φ≈0.63a2

(5)

在周期性載荷作用下，裂紋梁的剛度是周期性變化的。當(dāng)載荷以頻率ω1變化時，裂紋也會周期性地張開和閉合，形成所謂的“呼吸裂紋”。此時葉片的時變剛度可近似為[13]：

k(t)=k0+kΔc[1+cos(ω1t)]

=k1+kΔccos(ω1t)

(6)

其中，剛度變化幅值[13]為：

(7)

平均剛度[13]為：

k1=k0+kΔc

(8)

對于早期裂紋，綜合式(3)、式(4)、式(7)，可得

(9)

kΔc?k1

(10)

因此，裂紋梁自由端部振動(即裂紋葉片葉尖振動)u的動力學(xué)模型可表示為：

(11)

式中，m為等效質(zhì)量，c為阻尼系數(shù)，F(xiàn)為激振力幅值。

假設(shè)u(t) 是方程(11)的解，易證u(t) 是頻率ω1的周期函數(shù)，因此解u(t)可用傅里葉級數(shù)表示如下：

(12)

其中，諧波角頻率ωn=nω1,Gn和Kn是傅里葉系數(shù)。

u(t)的一階和二階導(dǎo)數(shù)如下：

(13)

(14)

相應(yīng)地，式(11)可推導(dǎo)為 ：

通過平衡n次諧波的系數(shù)，可得：

(16)

(17)

其中，n≥2。

進(jìn)一步由式(16)和式(17)，可得：

(18)

(19)

為了簡化推導(dǎo)，將n次諧波分量的功率定義為：

(20)

據(jù)此，將式(18)和式(19)分別平方，然后相加，則n次諧波分量的功率為：

(21)

因此，對于任意n≥2，有：

(22)

每個諧波分量的功率相對于相鄰低一階分量的功率可定義為諧波分量相對功率：

(23)

2 數(shù)值模擬

為驗證上述結(jié)論，對含有縱貫裂紋的矩形直板葉片進(jìn)行數(shù)值模擬。

2.1 參數(shù)設(shè)置

仿真用直板葉片尺寸選擇，即長L=0.4 m，寬w=0.1 m，厚度b=0.002 m，裂紋到根部的距離設(shè)置為lc=0.9L。阻尼比ξ=0.01，定義為ξ=c/(2mω0)，其中ω0為葉片的一階固有頻率。葉片材料選用不銹鋼，楊氏模量為E=2.09×1011N/m2，泊松比v=0.269。采用四階或五階RungeKutta方法對動力學(xué)方程(11)進(jìn)行數(shù)值求解。考慮到激振力幅值對諧波分量相對功率無顯著影響，取激振力幅值F=1 N。

2.2 定性分析

根據(jù)上述參數(shù)，不銹鋼葉片的固有頻率為ω0=67.86 rad/s。考慮到葉片工作頻率需要遠(yuǎn)離固有頻率，以免引起葉片共振，對10～40 rad/s頻段內(nèi)多個激勵頻率進(jìn)行了分析。以激勵頻率ω1=40 rad/s為例，其動態(tài)響應(yīng)的功率譜如圖2所示。

(a) a=0.5b

(b) a=0.4b

(c) a=0.2b

(d) a=0.05b圖2 不同尺度裂紋的葉片功率譜Fig.2 Spectrum of blade vibration for different crack size

從圖2中可以看出，振動頻譜由少數(shù)諧波成分主導(dǎo)，而且這些諧波分量的功率隨諧波階次的增加而衰減，低階分量的功率遠(yuǎn)大于相鄰高階分量的功率。在圖2(a)中，容易地分辨出前三次諧波分量。圖2(b)～(d)中，一次諧波分量幾乎沒有變化，但是高次諧波分量的峰值隨著裂紋相對深度的減小逐漸減少。

2.3 定量分析

對比圖2所示的各次諧波功率譜值，可以看出，對于深度較大的裂紋，相同階次諧波分量的功率幅值更大。雖然一次諧波分量的功率在所分析的情況下幾乎相同，但二次諧波分量的功率從圖2(a)中裂紋深度為a=0.5b時的3.8×10-3W，減少到圖2(d)中裂紋深度為a=0.05b時的 4.2×10-7W。

圖2清楚表明，在大多數(shù)情況下，隨著諧波次數(shù)的增加，諧波功率快速衰減，二次諧波相對功率比更高次諧波相對更為明顯，容易得到分辨。因此，采用二次諧波相對功率作為特征參數(shù)，有利于減少隨機噪聲影響，提高診斷準(zhǔn)確率和魯棒性。

在其他激勵頻率(葉片載荷變化頻率)作用下，仿真分析可以得到類似結(jié)論。

3 裂紋檢測應(yīng)用

3.1 裂紋識別方法

對于正常葉片，葉片運動接近理想設(shè)計狀態(tài)，非線性效應(yīng)可以忽略不計，即式(11)中的kΔc=0，動力學(xué)方程近似線性。因此，響應(yīng)輸出的主要成分是與激勵載荷同頻率的一次諧波分量。由于高次諧波分量的功率近似為零，高次諧波的相對功率也相應(yīng)地近似為零。因此，正常葉片的衰減比近似為零。

葉片裂紋出現(xiàn)擴展時，動力學(xué)特性將發(fā)生變化，非線性更為顯著，根據(jù)前述理論分析結(jié)果，葉片振動分量諧波相對功率將為非零值，且有望隨著裂紋相對深度的增加而增加。這意味著二次諧波與一次諧波的功率比，即二次諧波相對功率，可以作為葉片裂紋的判斷依據(jù)，當(dāng)相對功率顯著大于零時，可以判定葉片存在裂紋，否則視為正常葉片。判斷是否顯著的閾值設(shè)定有兩種途徑：一方面，根據(jù)式(23)和葉片工作頻率，以及葉片強度允許的最大裂紋深度，計算得到相對功率的上限，乘以適當(dāng)?shù)陌踩６龋梢缘玫蕉攘肯鄬β适欠耧@著的閾值；另一方面，工程上在安裝正常葉片后，立即測量正常葉片的振動響應(yīng)，計算得到相對功率的正常值，將正常值乘以適當(dāng)?shù)陌踩６茸鳛殚撝担部捎糜谂袛嘞鄬β适欠耧@著。

這種診斷方法的優(yōu)點是不再需要測量固有共振頻率，避免使得葉片工作在危險的共振狀態(tài)，故障判別依據(jù)只需要測量葉片二次諧波與一次諧波的幅值，可以適應(yīng)葉片轉(zhuǎn)速波動的實際情況，實現(xiàn)不同工況下的長時間連續(xù)監(jiān)測。

3.2 實驗臺設(shè)置

為驗證這種識別方法的有效性，設(shè)計了葉片振動實驗，比較裂紋葉片和正常葉片的振動情況。

被測葉片類型為直板葉片，底部設(shè)置一個長方形基座方便夾持，如圖3所示。

圖3 裂紋葉片F(xiàn)ig.3 Crack blade

葉片長度L=0.112 m，寬度w=0.043 m，厚度b=0.002 m。在靠近葉片根部位置用線切割加工一個缺口，產(chǎn)生深度約為a≈0.000 2 m的縱貫裂紋。將參數(shù)輸入ANSYS計算軟件，計算得到固有頻率為ω0=1 189 rad/s。掃頻振動實驗證明計算得到的固有頻率與實際相符。葉片安裝在50 kg振動實驗臺(型號DC-3200-36)上。激勵頻率設(shè)定為30～150 Hz，步長為10 Hz。

采用光學(xué)掃描法測量葉片的振動響應(yīng)。與傳統(tǒng)加速度計相比，光學(xué)掃描傳感器對葉片的動態(tài)運動沒有影響。因此，該方案具有較高的分辨率和精度。如圖4所示，使用三個掃描測量系統(tǒng)(Polytec PSV-500)測量葉片不同點的振動。

圖4 振動信號測試系統(tǒng)Fig.4 Vibration measurement system

這三個測量點圖中被激光照亮為紅色，如圖5所示。第一個傳感器測量葉片端部振動，判斷葉片狀態(tài)的主要數(shù)據(jù)源。第二個傳感器測量葉片中部的振動，用于監(jiān)控葉片振動總體幅值，防止振動過大，保證試驗安全。第三個傳感器測量葉片基座的振動，觀察激振力的變化情況。

圖5 測點示意圖Fig.5 Picture of measuring spot

3.3 數(shù)據(jù)處理

從葉片基座測得的振動頻譜來看，正常葉片和裂紋葉片的基座振動頻譜沒有明顯區(qū)別。例如，在70 Hz激勵頻率下，正常葉片和裂紋葉片的基座振動頻譜如圖6所示。頻譜的主要分量均為頻率等于70 Hz激勵頻率的一次諧波。

(a) 正常葉片(a) Normal blade

(b) 裂紋葉片(b) Cracked blade圖6 葉片基座的振動頻譜Fig.6 Vibrational spectrum of blade root

圖7顯示了相同激勵下葉片中部的振動信號功率譜。從圖7中可以看出，葉片中部的頻率峰值比較雜亂，特別是裂紋葉片的振動譜中也難以找到明顯的二次諧波140 Hz 成分。因此，葉片中部包含的診斷特征不明顯。

(a) 正常葉片(a) Normal blade

(b) 裂紋葉片(b) Cracked blade圖7 葉片中部的振動頻譜Fig.7 Vibrational spectrum of blade middle part

此外，裂紋葉片和正常葉片的葉尖振動響應(yīng)有明顯變化。圖8顯示了在70 Hz頻率激勵作用下，正常葉片和裂紋葉片的葉尖振動頻譜。

比較圖6(a)和圖8(a)，正常葉片的葉尖振動和葉片基座振動的頻譜結(jié)構(gòu)非常相似，這表明正常葉片對于振動激勵的反應(yīng)更為接近線性。比較圖6(b)和圖8(b)，裂紋葉片的基座振動和葉尖振動頻譜有著明顯區(qū)別，從基座振動頻譜可以看出，激勵近似為單頻激勵，但是葉尖振動響應(yīng)明顯呈現(xiàn)出多頻分量的組合，主要分量的頻譜間隔等于激勵頻率70 Hz，而且140 Hz等頻率處的諧波分量非常明顯。從中可以看出，裂紋葉片葉尖振動對于激勵明顯表現(xiàn)為非線性響應(yīng)。

(a) 正常葉片(a) Normal blade

(b) 裂紋葉片(b) Cracked blade圖8 葉片葉尖的振動頻譜Fig.8 Vibrational spectrum of blade tip

圖9 正常葉片和裂紋葉片的二次諧波分量相對功率Fig.9 Relative power of the 2nd harmonics for normal and crack blades

根據(jù)所提出的葉片裂紋檢測方法，計算了正常葉片和裂紋葉片的二次諧波分量相對功率，如圖9所示。從圖9中可以看出，基座振動信號諧波分量無論是正常葉片還是裂紋葉片，同一頻率激振力作用下的二次諧波相對功率幾乎相同。在本次實驗參數(shù)設(shè)置的情況下，對于不同頻率的激勵作用，正常葉片的二次諧波分量相對功率隨著激勵頻率的增高略有下降，但是變化并不明顯。同時，在同等頻率激勵作用下，裂紋葉片二次諧波相對功率有明顯波動，特別是在激勵頻率為140 Hz時，裂紋葉片的二次諧波分量達(dá)到峰值。而且，從圖9中可以看出，裂紋葉片的二次諧波分量相對功率均顯著高于正常葉片的相應(yīng)值，這表明所提出的基于二次諧波分量相對功率的裂紋檢測方法可以有效分離出正常葉片和裂紋葉片。

4 結(jié)論

本文對葉片振動的非線性響應(yīng)進(jìn)行了理論和實驗的定量分析。根據(jù)經(jīng)典梁理論，建立了葉片葉尖振動的動力學(xué)模型，分析了葉片裂紋位置、深度等因素對動力學(xué)參數(shù)的影響規(guī)律。盡管呼吸裂紋導(dǎo)致葉片振動方程的響應(yīng)為非線性，但仍可以推導(dǎo)出振動響應(yīng)的諧波分量功率耦合關(guān)系，這表明諧波分量功率與鄰近諧波分量的功率、諧波分量階次以及裂紋尺寸位置相關(guān)。據(jù)此提出了一種基于諧波相對功率的裂紋檢測方法，并得到仿真模擬和實驗驗證。需要說明的是，葉片裂紋檢測是個工程難題，實際應(yīng)用中應(yīng)該融合包括本文方法在內(nèi)的多種檢測方法，以提高檢測的準(zhǔn)確率和魯棒性。