未知系統周期激勵源分離方法的有效性分析

應祖光，倪一清，王友武

（1.浙江大學 航空航天學院力學系，杭州 310027；2. 香港理工大學 土木及環境工程學系 國家軌道交通工程技術研究香港分中心，香港 九龍）

復雜結構系統的故障診斷是一個重要的實際問題。復雜系統難以準確建模，因系統不確定或模型未知。系統故障導致結構變異，由此產生的激勵（例如動力系統的偏心作用）需要診斷而且是未知的，同時環境動力激勵也不確定或未知。已知信息僅為測量獲得的系統響應。因此，形成一個基于測量響應的未知系統模型、未知激勵的激勵源分離或識別問題，系統與激勵的雙重未知性決定了其不同于傳統問題，而具有一定的挑戰性。解決此問題通常有兩種途徑，一種是綜合利用先驗概率和當前觀測信息按照概率統計特性進行估計，另一種是僅用當前觀測信息直接作估計，它更為簡便，但相應方法需要可靠的理論基礎。文獻[1]給出一個基于測量響應2階事件統計的信號源分離基本方法，文獻[2]分析說明該方法可用于分離循環平穩信號源。文獻[3]和[4]將該分離方法應用于多自由度系統，利用自由振動響應識別系統模態參數，文獻[5]運用該方法結合小波變換法分離系統模態，但是分離方法要求測量響應個數不能少于自由度數。文獻[6]討論分離方法中聯合對角化所用相關函數的時延選擇，文獻[7]說明該分離方法可較好地消除環境因素對于模態識別的影響，從而可將識別的系統模態用于健康監測。文獻[8]將該分離方法應用于動力支承結構缺陷診斷，文獻[9]和[10]給出該分離方法在齒輪傳動機構、電動機系統的故障診斷等中的初步應用研究。然而，這些研究中尚存在一些基本問題，例如事件統計與時域統計概念混用、缺乏充分的分離有效性理論分析、實際模態數超過測點數、模態激勵非獨立源導致不滿足方法條件等，它們給分離方法的有效應用與發展造成很大障礙。另外的分離方法例如獨立分量法等也存在一定問題。因此，需要進一步對該源分離方法進行研究使其得到深入發展。

本文主要對基于測量響應的未知系統模型、未知激勵的激勵源分離有效性作理論分析，并基于時域統計說明分離方法的原理與條件。該分離方法先用測量所得響應構造時域相關函數，通過奇異值分解確定主要激勵源相關特征值與特征變換，再通過聯合對角化確定響應的激勵源混合系數，從而得到分離的時域激勵，同時給出周期激勵源分離的有效性分析。然后，將該方法應用于多自由度振動系統，說明如何基于穩態響應分離出不同頻率的激勵。最后給出數值模擬及實驗結果證實該基于響應的未知系統、未知激勵的激勵源分離效果與準確性。

1 源分離問題與分離方法有效性分析

以動力系統為例，穩態響應可表示為周期激勵的線性組合，同時包含一定測量噪聲，其關系的數學表達為：

式中：Y是k維響應向量，F是n維激勵向量，H稱為混合陣，表達各激勵到響應的傳遞率關系，W是k維測量噪聲向量，I是單位陣。式(1)所描述的激勵源分離問題為：由測量響應Y確定未知的激勵源F和混合陣H。該源分離問題的特點是系統與激勵均未知。假定：(1)激勵F中各周期源相互獨立，即具有不同的頻率；(2)噪聲W中各元素為獨立的白噪聲，其均值均為零，且時域不相關；(3)測量響應數k大于或等于激勵源數n。式(1)中，因激勵源F幅值與混合陣H列向量為相乘關系，故源幅值不能直接確定，可設為單位值。

定義響應Y(t)與Y(t+τ)（τ為延時）的時域相關函數為：

式中：Ts是響應時長。類似地，可定義激勵F的時域相關函數CF(τ)與噪聲W的時域相關函數CW(τ)。通常Ts越大，相關函數值越穩定，周期函數沒有事件統計特征但有時域相關值，隨機噪聲的時域相關函數當Ts很大時接近于事件統計值。

式(1)所描述激勵源分離問題的分離方法包括如下兩個主要部分。首先，根據響應相關函數的奇異值分解確定主要激勵源的特征值，并對響應作特征變換。將式(1)代入式(2)得相關函數關系（τ=0時）：

基于假定，CF(0)與CW(0)分別接近于對角陣，其值相應于CY(0)的特征值，故由CY(0)的奇異值分解可確定其特征方向，大于一定值的特征值個數即為有效激勵源數n。因YYT的維數大于或等于FFT，則CY(0)可能存在接近零的特征值，相應的特征空間可壓縮。假定測量噪聲強度相對較小，則其相應的特征值也較小，可從中消除。設CY(0)經奇異值分解并壓縮后的特征值對角陣為Λ、正交陣為U，引入變換：

它將響應Y變換到激勵F的特征方向，且有：

式中：Λ0與U0分別是CY(0)奇異值分解的壓縮前特征值對角陣、正交陣，IF是單位陣。則變換后向量Z的相關函數具有單位特征值，激勵源被均衡化，但仍然不能確定時域激勵F和混合陣H。

其次，通過向量Z時延相關函數的聯合對角化確定混合陣，從而得到分離的時域激勵源。由式(4)和式(1)得時延相關函數：

基于假定，噪聲時域不相關故CW(τ)接近于零陣，而CF(τ)為對角陣，故可由CZ(τ)對角化的正交陣確定TH，得到混合陣H。然而，一個CZ(τ)對角化的正交陣是不確定的，需要多個CZ(τ)的聯合對角化。選擇m個延時τ=τ1,τ2,…,τm，對相關函數陣CZ(τ)進行聯合對角化，即通過正交變換V使變換后VCZ(τi)VT的非對角元絕對值之和極小，確定正交陣V。則比較它與式(6)得：

于是，利用式(4)得到混合陣：

由式(1)得到激勵源的估計：

總之，基于測量響應Y，構造時域相關函數，通過奇異值分解與聯合對角化得到正交陣U和V，由式(8)和式(9)即可確定分離的未知激勵源F和混合陣H。為保證分離效果，測量響應的采樣頻率需適當，太低可能遺漏高頻激勵，太高將增加測量噪聲影響，采樣時長需包含足夠周期激勵信息。

上述分離方法的重要基礎是激勵F的相關函數為對角陣，故其有效性主要取決于相關函數陣CF(τ)的特性。設周期激勵源為：

式中：aj是幅值，θj是初相位，ωj是頻率（其值對不同j不相等）。則CF(τ)的對角元為：

非對角元為：

可見，相關函數陣CF(τ)隨采樣時長Ts增加而趨向于對角陣，從而保證分離有效。式(11)表明CF(τ)的對角元隨時延呈周期性變化，故在前半周取延時τ值用于聯合對角化即可。

2 振動系統的激勵源分離與數值模擬、實驗驗證

設多自由度振動系統，方程為：

式中：X是位移向量，M、C、K分別是質量矩陣、阻尼矩陣與剛度矩陣，F是獨立的激勵向量，P是其位置參數陣。周期激勵F第j個元素如式(10)所示，頻率為ωj。則位移X的穩態響應為：

式中：P.j是P的第j列向量式(14)加上測量噪聲即為式(1)，故可基于穩態響應按照上述方法分離未知激勵源F，并確定混合陣H，獲得各激勵到響應的傳遞率關系。

數值模擬以3 自由度系統為例，設系統方程式(13)中無量綱質量M為單位陣，無量綱剛度陣：

瑞利阻尼C=0.02M+0.01K，兩個無量綱激勵參數a1=1，a2=0.5，ω1=0.9 rad?s-1，ω2=0.5 rad?s-1，θ1=0.349 rad，θ2=0，激勵分別作用于第一自由度與第二自由度，測量噪聲標準差為0.001。

通過模擬計算得到3個自由度的無量綱穩態響應如圖1至圖3所示，它們為非簡單的周期響應。僅以該響應作為未知系統及激勵的已知量，按照上述方法分離[即式(9)]可得到2 個無量綱激勵源分別如圖4、圖5所示，它們為波形簡單的周期源，通過傅里葉變換得其頻率分別等于ω1、ω2，與系統周期激勵頻率完全一致，故圖4 和圖5 所示的分離結果為原激勵，但注意到式(1)所描述激勵源分離問題的特點，激勵源與混合系數為相乘關系，其幅值可以包含在混合系數中，故不能確定。

圖1 第一自由度響應x1

圖2 第二自由度響應x2

圖3 第三自由度響應x3

圖4 分離的第一激勵源f1

圖5 分離的第二激勵源f2

類似地，混合系數的絕對值也不能確定，但可歸一化后比較確定其精度。通過分離得到式(8)的無量綱混合陣按第一行歸一化后為：

由式(14)和式(15)計算得到原系統的實際混合陣為：

比較可知混合系數的最大相對誤差為5.8%，故分離得到的混合陣具有很好的精度?？傊?，上述方法能僅基于響應有效地分離出未知周期激勵源，并較準確地確定混合系數，得到激勵到響應的傳遞率關系。

此外，按響應相關函數與噪聲相關函數之比的對數定義信噪比SNR，可得到通過分離確定的混合系數與信噪比的關系，圖6 展示了混合陣H中第二行第一列元素h21隨SNR 增加的變化，當SNR＞20時，其值基本保持恒定，說明該分離方法的魯棒性。

圖6 分離的混合系數h21隨SNR變化

實驗驗證模型為圖7所示的5層框架結構，基礎固定，各層為集中質量，層間具有一定剛度與阻尼。第一層、第五層分別受到激振器的水平激勵，各層的水平位移由激光傳感器測量。根據上述分離方法，無需知道結構的具體情況。實驗時，兩個周期激勵的頻率分別為ω1=10 Hz，ω2=2 Hz，響應的采樣頻率為600 Hz。首先，測得第二層、第三層、第四層的位移響應分別如圖8 至圖10 所示，為非簡單的周期響應。然后，僅以該響應作為已知量，按照上述方法分離得到2個無量綱激勵源分別如圖11、圖12所示，再對其作傅里葉變換并轉化為功率，得到功率譜分別如圖13、圖14 所示，可見它們為頻率ω1、ω2的周期源，故為原結構的兩個激勵，其幅值包含在混合系數中。因此，該實驗完全證實了在有效性條件下上述激勵源分離方法的準確性。

圖7 5層框架結構

圖8 第二層位移響應x2

圖9 第三層位移響應x3

圖10 第四層位移響應x4

圖11 分離的第一激勵源f1

圖12 分離的第二激勵源f2

圖13 分離的第一激勵源功率譜(PSD)

圖14 分離的第二激勵源功率譜(PSD)

3 結語

本文介紹了一種僅用測量響應的未知系統模型、未知激勵的直接時域激勵源分離方法，基于時域統計概念說明了該方法的原理與條件，并給出周期激勵源分離的有效性理論分析。該分離方法包括兩個主要部分：先用測量響應構造時域相關函數，由響應無時延相關函數的奇異值分解確定主要激勵源的特征值，并對響應作特征變換；再利用將響應經特征變換后所得的向量構造時延相關函數，通過不同時延相關函數的聯合對角化確定混合系數陣，從而得到分離的時域激勵源。然后，將該方法應用于多自由度振動系統，闡述了如何基于穩態響應分離出不同頻率的激勵。最后通過數值模擬及實驗證實了該基于響應的未知系統、未知激勵的激勵源分離方法的有效性、分離的時域激勵與混合系數的準確性及對于測量噪聲的魯棒性等。