軌道車輛用L型壓電懸臂梁振動頻率響應(yīng)設(shè)計

趙屹昀，印楨民，周 炯，彭樂樂，羅文成，鄭樹彬

（1.上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620；2.上海地鐵維護(hù)保障有限公司車輛分公司，上海 200031；3.常州路航軌道交通科技有限公司，江蘇 常州 213100）

無線傳感器[1]可以為城市軌道車輛運(yùn)行狀態(tài)提供數(shù)據(jù)來源，有效保障列車的運(yùn)營安全。近年來，通過采集環(huán)境能量實現(xiàn)無線傳感器自發(fā)電的方法已成為一種趨勢[2-3]。其中基于壓電效應(yīng)的振動俘能結(jié)構(gòu)因能量密度高、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點而受到廣泛關(guān)注[4-5]。實現(xiàn)壓電俘能結(jié)構(gòu)的參數(shù)設(shè)計以達(dá)到能量轉(zhuǎn)換最大化的關(guān)鍵在于將其固有頻率與工作頻率相匹配，提高壓電俘能結(jié)構(gòu)能量輸出效率。

匹配壓電俘能結(jié)構(gòu)頻率，一方面通可過優(yōu)化俘能器的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計實現(xiàn)，如徐宏鳳等[6]在振動能量收集器的固定端安裝永磁體，通過磁力改變系統(tǒng)剛度，拓寬了裝置的工作頻率，實現(xiàn)能量轉(zhuǎn)換最大化。張敏等[7]設(shè)計了一種陣列式壓電懸臂梁俘能結(jié)構(gòu)，通過安裝多根參數(shù)不同的壓電懸臂梁，實現(xiàn)了裝置在多個工作頻率段產(chǎn)生響應(yīng)。劉少剛等[8]設(shè)計了分段式壓電懸臂梁，通過引入碰撞使懸臂梁由線性振動改變?yōu)榉侄尉€性振動，拓寬了裝置的俘能頻帶寬度。張偉等[9]設(shè)計了L型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)前兩階模態(tài)頻率相近，可在低頻處獲得較寬的響應(yīng)頻段，從而提高能量轉(zhuǎn)換效率。通過引入磁力或碰撞等方法增加了系統(tǒng)安裝難度，使這種方法較難應(yīng)用于軌道車輛處于沖擊較大環(huán)境中的情況。而L型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)簡單，可靠性高，經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計后可適用于軌道車輛振動能量采集。另一方面，為了計算與匹配俘能結(jié)構(gòu)的固有頻率，有些學(xué)者建立了機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型，如Mann等[10]設(shè)計一種基于磁力的雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能單元，建立機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型，通過仿真與計算實現(xiàn)了俘能結(jié)構(gòu)與環(huán)境頻率相匹配；數(shù)學(xué)模型通常基于歐拉伯努利梁方程、哈密頓原理等物理基礎(chǔ)建立，存在影響參數(shù)多、適用條件苛刻等限制。為了解決該問題，有些學(xué)者通過有限元法計算仿真結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率：繆建等[11]利用ANSYS 有限元軟件，通過對壓電懸臂梁進(jìn)行仿真分析，得到懸臂梁的振型、固有頻率等輸出結(jié)果，并分析幾何尺寸對固有頻率的影響，可針對實際工作頻率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。李東明等[12]在ANSYS中對壓電換能器進(jìn)行諧響應(yīng)分析，基于仿真結(jié)果，對壓電換能器的參數(shù)與結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，使之滿足設(shè)計需求。

綜上所述，以上方法通常應(yīng)用于汽車、輪船等領(lǐng)域，而對于與城市軌道車輛工作頻率相匹配的壓電俘能結(jié)構(gòu)少有研究。本文針對城市軌道車輛環(huán)境的特殊性，提出了一種軌道車輛用L 型壓電懸臂梁振動頻率響應(yīng)俘能結(jié)構(gòu)。利用ANSYS 軟件建立有限元模型，分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對模態(tài)頻率的影響，同時采集車輛振動特征，實現(xiàn)對L 型壓電懸臂梁的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。

1 軌道車輛用L型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)及設(shè)計方案

圖1為軌道車輛用L型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)圖，該結(jié)構(gòu)可以分為兩部分，第一部分為由固定端伸出的懸臂梁1及質(zhì)量塊1；第二部分為由質(zhì)量塊1伸出的懸臂梁2以及質(zhì)量塊2。其中，懸臂梁1的首端為固定端，懸臂梁2 的末端為自由端。壓電陶瓷居中對稱膠合于懸臂梁上下兩側(cè)，組成壓電雙晶片梁。質(zhì)量塊1和2的質(zhì)量分別為M1與M2，懸臂梁1和2的長度分別為L1與L2寬度分別為b1與b2厚度分別為h1與h2，壓電陶瓷1和2的長度分別為LP1與LP2。

圖1 L型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)圖

L 型壓電懸臂梁安裝于軌道車輛上，在列車運(yùn)行過程中，質(zhì)量塊1和2受外界慣性力的作用而產(chǎn)生垂向機(jī)械運(yùn)動，從而引起壓電陶瓷發(fā)生形變產(chǎn)生電荷。當(dāng)L型壓電懸臂梁固有頻率處于車輛振動主頻附近時，壓電懸臂梁發(fā)電量最大。

為了獲取更多能量，圖2給出了L型壓電懸臂梁振動頻率響應(yīng)設(shè)計方案。采用ANSYS 仿真軟件及線形擬合，分析得到了結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率關(guān)系，同時采集某線路列車軸箱振動信號，提取車輛軸箱振動特征。將結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率關(guān)系和振動特征相結(jié)合，求解軌道車輛運(yùn)動狀態(tài)下L 型壓電懸臂梁頻率響應(yīng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，實現(xiàn)L 型壓電懸臂梁固有頻率與車輛振動頻率相匹配。通過ANSYS 諧響應(yīng)仿真分析得到L 型壓電懸臂梁頻率響應(yīng)特征曲線，驗證了設(shè)計方法的可行性。

圖2 L型壓電懸臂梁振動頻率響應(yīng)設(shè)計方案

2 軌道車輛軸箱振動特征分析

為了獲取軌道車輛軸箱振動特征，在某線路列車軸箱處安裝加速度傳感器，并對其進(jìn)行振動信號的采集及頻域分析，如圖3 所示。采用的主要參數(shù)如表1所示。

圖3 某線路車輛振動信號采集裝置

表1 軌道車輛振動采集主要參數(shù)

因壓電陶瓷采用d31工作模式，對采集到的垂向加速度信號進(jìn)行傅里葉變換，其結(jié)果如圖4所示。

圖4 表明在小于450 Hz 低頻振動工況下，列車振動主頻主要集中分布在19.87 Hz、40.25 Hz 與204.3 Hz處。為了得到適用于軌道車輛振動的壓電頻率響應(yīng)結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵在于設(shè)計L 型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)使其前3階模態(tài)頻率與列車振動主頻相匹配。

圖4 某線路車輛軸箱振動信號頻率譜密度圖

3 基于ANSYS 的L 型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率關(guān)系

3.1 有限元模型

L型壓電懸臂梁的模態(tài)頻率ω除了與懸臂梁的楊氏模量E有關(guān)外，還與懸臂梁1 和2 的長度L1與L2、寬度b1與b2、厚度h1與h2與質(zhì)量塊質(zhì)量M1與M28個結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。在實際工程應(yīng)用中，為了降低制作成本往往將L型壓電懸臂梁的兩個部分的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計成相同的，從而將原有的8 個結(jié)構(gòu)參數(shù)減小為4個參數(shù)，即懸臂梁1和2的長度L、寬度b、厚度h及質(zhì)量塊質(zhì)量M。為了得到L型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率之間的關(guān)系，利用ANSYS仿真軟件建立L型壓電懸臂梁有限元模型如圖5 所示。采用六面體網(wǎng)絡(luò)劃分單元，并設(shè)定質(zhì)量塊網(wǎng)格密度為0.05，懸臂梁1 和2 與壓電陶瓷1 和2 網(wǎng)格密度為0.000 5。選用銅作為懸臂梁材質(zhì)，PZT-5H 為壓電陶瓷材料，其主要參數(shù)如表2和表3所示。

表2 壓電陶瓷的電學(xué)材料參數(shù)

表3 軌道車輛用L型壓電懸臂梁的材料參數(shù)

圖5 L型壓電懸臂梁有限元模型

3.2 模態(tài)分析

利用L 型壓電懸臂梁有限元模型，在ANSYS Workbench 軟件中進(jìn)行仿真得到L 型壓電懸臂梁前6階振型如圖6所示。

由圖6可以看出，1、2階模態(tài)的主要形變量發(fā)生于垂向方向，并集中于懸臂梁。3、4階模態(tài)在懸臂梁處出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)形變，而5、6 階模態(tài)主要形變量發(fā)生在質(zhì)量塊上，多為無效形變。由此可得，L型壓電懸臂梁的有效形變主要是由前4階模態(tài)振型引起的。進(jìn)一步由軌道車輛振動特征分析結(jié)果可得，選取前3階模態(tài)頻率作為軌道車輛用L型壓電懸臂梁振動頻率響應(yīng)的工作頻率，通過分析其結(jié)構(gòu)參數(shù)，使其前3階模態(tài)頻率與列車振動主頻相匹配。

圖6 軌道車輛用L型壓電懸臂梁前6階振型

3.3 單結(jié)構(gòu)參數(shù)分析

為了研究L型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率的關(guān)系，利用ANSYS 仿真軟件，分別以懸臂梁的長度、寬度、厚度及質(zhì)量塊質(zhì)量為變量，構(gòu)建有限元模型進(jìn)行仿真，得到反映單結(jié)構(gòu)參數(shù)對模態(tài)頻率影響的數(shù)據(jù)，并繪制結(jié)構(gòu)參數(shù)-頻率散點圖，利用最小二乘法線形擬合得到單結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率關(guān)系方程。

為分析質(zhì)量塊質(zhì)量對模態(tài)頻率的影響，取懸臂梁長度為25 mm，寬度為10 mm，厚度為0.25 mm，僅改變質(zhì)量塊質(zhì)量，變化范圍為0～9 g，其他影響參數(shù)保持不變，繪制質(zhì)量相對于模態(tài)頻率的散點圖，如圖7所示。從圖7可得，質(zhì)量塊質(zhì)量的增加使L型壓電懸臂梁前3階模態(tài)頻率整體呈現(xiàn)下降趨勢，其中第3階模態(tài)下降明顯；但當(dāng)質(zhì)量低于2 g 時，L 型壓電懸臂梁第2階模態(tài)頻率線性度稍差，而第1階與第3階模態(tài)頻率在0～9 g 范圍內(nèi)均呈現(xiàn)明顯的負(fù)線性相關(guān)。對數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合，可得質(zhì)量塊質(zhì)量對于L型壓電懸臂梁前3 階模態(tài)頻率的回歸方程見式(1)至式(3)。

圖7 質(zhì)量對L型壓電懸臂梁模態(tài)頻率的影響

為分析懸臂梁厚度對模態(tài)頻率的影響，取懸臂梁長度為25 mm，寬度為10 mm，質(zhì)量塊質(zhì)量為7 g，僅改變懸臂梁厚度，其變化范圍為0.2 mm～0.3 mm，其他影響參數(shù)保持不變，繪制厚度相對于模態(tài)頻率的散點圖如圖8所示。

圖8 厚度對L型壓電懸臂梁模態(tài)頻率的影響

從圖8 可知，隨著厚度增加，L 型壓電懸臂梁的模態(tài)頻率呈現(xiàn)明顯的線性上升趨勢。通過擬合，可得到擬合優(yōu)度R2大于0.99 的回歸方程，說明L 型壓電懸臂梁厚度與L型壓電懸臂梁模態(tài)頻率存在較為理想的線性關(guān)系。對數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合，可得L 型壓電懸臂梁厚度對于前3 階模態(tài)頻率的回歸方程見式(4)至式(6)。

為分析懸臂梁長度對模態(tài)頻率的影響，取質(zhì)量塊質(zhì)量為7 g，寬度為10 mm，厚度為0.25 mm，僅改變懸臂梁長度，其變化范圍為22 mm～40 mm，其他影響參數(shù)保持不變，繪制長度相對于模態(tài)頻率的散點圖如圖9所示。

圖9 長度對L型壓電懸臂梁模態(tài)頻率的影響

通過觀察關(guān)系曲線可知，當(dāng)長度低于25 mm時，L 型壓電懸臂梁長度與第3 階模態(tài)頻率的線性度稍差；當(dāng)長度處于25 mm～40 mm范圍內(nèi)，模態(tài)頻率與懸臂梁長度趨于線性負(fù)相關(guān)，下降趨勢與圖7類似。對數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合，可得懸臂梁長度對于L型壓電懸臂梁前3階模態(tài)頻率的回歸方程見式(7)至式(9)。

為分析懸臂梁寬度對模態(tài)頻率的影響，取質(zhì)量塊質(zhì)量為7 g，懸臂梁長度為25 mm，厚度為0.25 mm，僅改變懸臂梁寬度，其變化范圍為10 mm～15 mm，其他影響參數(shù)保持不變，繪制寬度相對于模態(tài)頻率的散點圖如圖10所示。

圖10 寬度對L型壓電懸臂梁模態(tài)頻率的影響

從該圖可知寬度對L 型壓電懸臂梁的前3 階模態(tài)頻率影響較小，在設(shè)計時僅要求其滿足強(qiáng)度需求即可。對數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合，可得懸臂梁寬度對于L型壓電懸臂梁前3 階模態(tài)頻率的回歸方程見式(10)至式(12)。從該回歸方程也可看出，回歸系數(shù)較小，故在后續(xù)建模與優(yōu)化過程中，剔除寬度對于模態(tài)頻率的影響。

3.4 多結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率關(guān)系

由單結(jié)構(gòu)參數(shù)分析結(jié)果可知，L 型壓電懸臂梁的模態(tài)頻率ω與單個結(jié)構(gòu)參數(shù)線性相關(guān)性明顯，且結(jié)構(gòu)參數(shù)之間顯然不存在共線性。因此擬采用多元線性回歸的方法建立L型壓電懸臂梁模態(tài)頻率多結(jié)構(gòu)參數(shù)模型。設(shè)第i階模態(tài)頻率與結(jié)構(gòu)參數(shù)L、M、h之間的線性回歸模型為：

式中：Ai、Bi、Ci和Di為該模型的標(biāo)準(zhǔn)回歸參數(shù)。

在SPSS軟件中對數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸，統(tǒng)計結(jié)果見表4。

表4 多元線性回歸統(tǒng)計量

由統(tǒng)計結(jié)果可看出，在顯著性水平0.05 的條件下，1階模態(tài)頻率多元線性回歸中，A1、C1和常數(shù)項D1通過了顯著性檢驗，而B1的顯著性水平為0.198，未通過顯著性檢驗，因此可認(rèn)為質(zhì)量M與L 型壓電懸臂梁的1階模態(tài)頻率沒有關(guān)聯(lián)，需要剔除該變量重新進(jìn)行多元線性回歸，如表5 所示。此外，2 階模態(tài)頻率與3階模態(tài)頻率的參數(shù)回歸統(tǒng)計量均在0.05顯著性水平下通過檢驗，可認(rèn)為3個自變量均與2階、3階模態(tài)頻率有較強(qiáng)相關(guān)性。

表5 1階模態(tài)頻率多元線性回歸統(tǒng)計量（剔除M）

剔除質(zhì)量M后，A1、C1包括常數(shù)項D1在內(nèi)，均在0.05 顯著性水平下通過顯著性檢驗。由表4 與表5可得L 型壓電懸臂梁前3 階模態(tài)頻率多結(jié)構(gòu)參數(shù)模型：

4 仿真驗證

為了實現(xiàn)軌道車輛用L型壓電懸臂梁的優(yōu)化設(shè)計，結(jié)合某線路列車軸箱振動特征，將ω1、ω2與ω3代入式(14)至式(16)，可得一組非齊次線性方程組。經(jīng)過計算，該方程組的系數(shù)矩陣滿秩，且與增廣矩陣秩相同，即該方程組存在唯一解，使該參數(shù)條件下的L型壓電懸臂梁符合軌道車輛振動特征，最終確定軌道車輛用L型壓電懸臂梁參數(shù)如表6所示。

為驗證上述設(shè)計方案的有效性，將表6 中參數(shù)代入有限元模型，在ANSYS中通過完全法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行諧響應(yīng)分析，設(shè)定垂向加速度載荷為2 m/s2，可在0 至250 Hz 頻率范圍內(nèi)，得到L 型壓電懸臂梁頻率響應(yīng)曲線，并與某線路車輛軸箱振動信號頻率譜密度圖對應(yīng)，如圖11所示。

表6 軌道車輛用L型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖11 軌道車輛用L型壓電懸臂梁頻率響應(yīng)圖

圖11表明L型壓電懸臂梁頻率響應(yīng)趨勢與軌道車輛軸箱振動特征一致，在0至250 Hz范圍內(nèi)產(chǎn)生3處響應(yīng)頻段；經(jīng)過參數(shù)設(shè)計，L 型壓電懸臂梁在19.901 Hz、41.599 Hz與203.71 Hz處產(chǎn)生響應(yīng)，實現(xiàn)了固有頻率與城市軌道車輛軸箱環(huán)境的工作頻率相匹配。

計算前3 階模態(tài)頻率的仿真值，并與真實值對比，結(jié)果如表7 所示。從結(jié)果可知，前3 階模態(tài)頻率的誤差值均處于2 Hz以內(nèi)，說明采用本文設(shè)計方法所得L型壓電懸臂梁的模態(tài)頻率符合軌道車輛軸箱振動特征。

表7 軌道車輛用L型壓電懸臂梁模態(tài)頻率表/Hz

5 結(jié)語

基于L 型壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)，針對軌道車輛軸箱振動特征提出了一種利用有限元分析軟件與多元線性回歸相結(jié)合的結(jié)構(gòu)參數(shù)求解方法，解決了懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計頻段與環(huán)境振動頻率難以匹配的問題。通過現(xiàn)場采樣、分析、仿真與數(shù)據(jù)處理可得如下結(jié)論：

（1）通過有限元分析與多元線性回歸，設(shè)計了軌道車輛用L型壓電懸臂梁的參數(shù)。懸臂梁長度為29.6 mm，厚度為0.249 mm，寬度為10 mm，配合質(zhì)量為8.23 g 的質(zhì)量塊，可使L 型壓電懸臂梁在19.901 Hz、41.599 Hz、203.71 Hz處產(chǎn)生響應(yīng)，使結(jié)構(gòu)的前3階模態(tài)頻率與某線路車輛軸箱振動特征相匹配，且誤差均小于5%。

（2）經(jīng)測試可知，在某線路站點區(qū)間列車軸箱振動信號在19.87 Hz、40.25 Hz、204.3 Hz 處出現(xiàn)峰值。

（3）L 型壓電懸臂梁的前3 階模態(tài)頻率ωi與懸臂梁長度、寬度、厚度、質(zhì)量塊質(zhì)量線性相關(guān)性明顯。其中，與質(zhì)量塊質(zhì)量M、懸臂梁長度L負(fù)線性相關(guān)，與懸臂梁厚度h正線性相關(guān)，而懸臂梁寬度b對其影響較小。

（4）基于擬合結(jié)果，在單結(jié)構(gòu)參數(shù)分析中忽略懸臂梁寬度b對后續(xù)多元回歸的影響。在建立L型壓電懸臂梁模態(tài)頻率多結(jié)構(gòu)參數(shù)模型的過程中，由于顯著性檢驗不通過，剔除質(zhì)量塊質(zhì)量M對第1 階模態(tài)頻率的影響。