被動式激光跟蹤測量方法及其誤差補償技術

婁志峰,耿萬佳,張記云,林鈺琪,范光照,王曉東

(大連理工大學 機械工程學院,遼寧 大連116024)

0 引言

隨著智能制造的不斷推進和制造業人力成本的不斷提升,工業領域中機器代替人工的現象日趨普遍。2018年我國工業機器人的產量達到14.8萬臺,預計到2022年我國工業機器人的年銷售量將超過27萬臺[1]。工業機器人等裝備產量的增加及質量的提升需要制造企業具備高精度、高效率的空間位置測量設備作為支撐。目前,工業機器人絕對位置精度主要采用激光跟蹤儀測量。

激光跟蹤(Laser Tracking)測量由Lau等人在20世紀80年代發明,Lau等人[2]開展了早期的激光跟蹤儀測量誤差分析工作,研究了軸系垂直度誤差、激光束對正誤差等對測量精度的影響。崔成君等人[3]研究了激光光軸與豎直軸的幾何誤差對儀器測量精度的影響。在激光跟蹤測量系統中,測角誤差是影響空間坐標測量的主要因素。Ouyang等人[4]采用坐標測量機校準跟蹤儀旋轉軸的轉角誤差。Gassneran與Martin[5-6]采用精密轉臺校準角度測量誤差。盧榮勝[7]提出采用自準直儀結合多面棱體對跟蹤儀金屬圓光柵測角誤差進行離散標定。董登峰等人[8]采用諧波分析方法對角度誤差進行了修正。

針對激光跟蹤儀誤差分析與補償建模方法,Loser與Muralikrishnan等人[9-10]分別提出了帶轉角鏡與無轉角鏡的兩類激光跟蹤儀的誤差分析模型,并利用長度測量和雙面測量法對各項誤差進行了分析。Hughes等人[11]對上述模型進行了改進,使得模型中的非線性效應得到了處理。為了將誤差補償方法簡化,Conte[12]采用DH建模方法分析了激光跟蹤儀的測量誤差。周維虎等人[13]推導出了包含激光跟蹤儀的主要幾何誤差的數學模型,并給出了誤差的分離和修正方法。對激光跟蹤儀的誤差機理進行系統地分析與補償后,其測量精度可以得到很大提升。

經過多年的發展,激光跟蹤儀在數控機床、飛機汽車制造、工業機器人等多個領域得到了廣泛應用,已經成為現代工業測量中不可或缺的精密儀器,但是由于其跟蹤測量系統復雜,研制成本極高,普及到中小型制造企業比較困難。針對上述問題,本文研制了被動式激光跟蹤測量系統用于實現工業機器人末端執行器的空間坐標檢測。相較主動式激光跟蹤儀,該系統具有結構簡單,研制成本低、便于普及等優點。對影響被動式激光跟蹤測量系統測量精度的主要誤差源進行分析,利用多體系統誤差建模方法(HTM)建立了該系統的誤差分析模型[14]。為了進一步提高被動式激光跟蹤測量系統的測量精度,提出將HTM誤差分析模型和BP神經網絡模型相結合,對被動式激光跟蹤測量系統的測量誤差進行補償。

1 被動式激光跟蹤測量系統的基本原理

被動式激光跟蹤測量系統原理圖如圖1所示,其主要由二維轉臺、激光干涉儀和伸縮軸組成。二維轉臺中的豎直軸與水平軸的回轉軸線相交且互相垂直,伸縮軸的軸線經過水平軸和豎直軸的交點且與水平軸的回轉軸線相互垂直。構建被動式激光跟蹤測量系統的笛卡爾坐標系,二維轉臺豎直軸的回轉軸線作為Z軸;當二維轉臺方位角示數為0°時,水平軸的回轉軸線作為X軸;Z軸與X軸做叉乘得到的向量作為Y軸。

圖1 被動式激光跟蹤測量系統原理圖Fig.1 Schematic diagram of passive laser tracking measurement system

被動式激光跟蹤測量系統向測量空間目標位置運動坐標時,伸縮軸前端的標準球通過磁性座吸附在被測目標上。在被動式激光跟蹤測量系統運動的過程中,二維轉臺的豎直軸和水平軸的角度編碼器分別對系統的方位角和俯仰角進行測量,激光干涉儀對伸縮軸的位移變化進行測量,從而得到被測目標空間點的球坐標。

2 被動式激光跟蹤測量系統的HTM誤差分析模型

2.1 HTM誤差分析模型的建模過程

當被測目標牽引被動式激光跟蹤測量系統運動時,儀器的測量過程可以被分解為整個測量系統繞Z軸旋轉θ角度、水平軸和伸縮軸繞X軸旋轉φ角度、伸縮軸沿Y軸位移R距離這3個過程。根據齊次坐標變換,可得標準球球心的理想空間坐標為

式中:xb,yb,zb分別為標準球的球心在被動式激光跟蹤測量系統笛卡爾坐標系中的理想空間坐標;T01為繞Z軸旋轉的空間旋轉矩陣;T12為繞X軸旋轉的空間旋轉矩陣;T23為沿Y軸平移的位移矩陣。

式中:θ為繞Z軸旋轉的角度。

式中:φ為繞X軸旋轉的角度。

式中:R為沿Z軸的位移距離;R0為伸縮軸的初始長度。

理想情況下,被動式激光跟蹤測量系統的豎直軸、水平軸和處于水平狀態下的伸縮軸兩兩之間相互垂直并且相交于測量系統的原點,但是實際上測量系統不可避免地存在著幾何誤差。測量系統的幾何誤差如圖2所示,主要包括:豎直軸與水平軸存在相對位置與姿態偏移所導致的誤差、伸縮軸不經過儀器原點所導致的誤差、伸縮軸與水平軸存在的傾斜角度誤差以及伸縮軸運動過程中在X與Z兩個方向上存在的運動誤差。

圖2 幾何誤差示意圖Fig.2 Diagram of geometric error

對上述幾何誤差進行修正,得到標準球球心的實際空間坐標為

其中,

式中:α為水平軸相對于豎直軸的傾斜角度誤差;Δy為水平軸相對于豎直軸的偏移誤差。

式中:β為伸縮軸相對于水平軸的傾斜角度誤差;Δx為伸縮軸相對于豎直軸的偏移誤差;Δz為伸縮軸相對于水平軸的偏移誤差。

式中:δx為伸縮軸在X方向的運動誤差;δz為伸縮軸在Z方向的運動誤差。

2.2 被動式激光跟蹤測量系統參數及誤差測量

2.2.1 水平軸與豎直軸的相對位姿偏差

水平軸和豎直軸之間存在傾斜角度誤差α與偏移誤差Δy,采用雙面測量法對其進行測量,如圖3所示。在豎直軸處于0°與180°位置時,將半導體激光器分別固定于水平軸兩端,旋轉水平軸,記錄兩種情形下回轉激光光斑中心在光電位置傳感器(PSD)上的位置[15]。

圖3 水平軸與豎直軸相對位姿偏差測量原理圖Fig.3 Measuring principle diagram of relative pose deviation between horizontal axis and vertical axis

根據上述方法,測得兩個光斑軌跡圓心的坐標分別為O1(x1,y1)和O2(x2,y2),計算得出水平軸與豎直軸的偏移誤差為

計算得出水平軸與豎直軸的傾斜角度誤差為

式中:L為PSD相對于豎直軸的距離。

根據測量結果可知,水平軸與豎直軸的偏移誤差為-151.5 μm,傾斜誤差為29.5″。

2.2.2 伸縮軸安裝偏差

伸縮軸與水平軸、豎直軸之間同樣存在傾斜角度誤差和偏移誤差,采用雙面測量法對伸縮軸的安裝偏差進行測量。如圖4所示,定義此時伸縮軸的姿態為正面,當水平軸和伸縮軸分別旋轉180°時,伸縮軸的姿態為反面。利用萬分表(型號:SYLVAC 805.8601,最大誤差:1.5 μm)分別測量伸縮軸處于初始長度時和伸長ΔL(100 mm)時的雙面測量法的測量值。

圖4 伸縮軸安裝偏差的測量原理圖Fig.4 Measuring principle diagram of telescopic shaft installation deviation

則伸縮軸的安裝偏差為

式中:z1和z2分別為萬分表1在伸縮軸處于初始長度時的正面測量值和反面測量值;x1和x2分別為萬分表2在伸縮軸處于初始長度時的正面測量值和反面測量值;x3和x4分別為萬分表2在伸縮軸伸長ΔL時的正面測量值和反面測量值。

實驗測得伸縮軸與水平軸之間的偏移誤差Δz為167.2 μm,伸縮軸與水平軸之間的傾斜角度誤差β為137.6″,伸縮 軸 與 豎 直 軸 之 間 的 偏 移 誤 差Δx為-23.1 μm。

2.2.3 伸縮軸運動誤差

如圖5所示,利用激光準直原理測量伸縮軸的運動誤差。在伸縮軸前端安裝位置傳感器(型號:S5990-01,位置誤差為±1 μm),并將半導體激光器垂直對準位置傳感器中心,以30 mm為間隔,測量伸縮軸在300 mm范圍內的運動誤差,測量結果如圖6所示。

圖5 伸縮軸運動誤差測量原理圖Fig.5 Measuring principle diagram of telescopic shaft motion error

圖6 伸縮軸運動誤差Fig.6 Motion error of telescopic shaft

2.2.4 伸縮軸初始長度測量

由于激光干涉儀只能測量相對位移,所以當伸縮軸處于初始狀態時,標準球球心到測量系統原點的距離(初始長度)無法利用激光干涉儀進行測量。因此需要對伸縮軸的初始長度進行離線測量,原理如圖7所示。

圖7 伸縮軸初始長度測量原理圖Fig.7 Measuring principle diagram of telescopic shaft initial length

首先將被動式激光跟蹤測量系統前端標準球吸附在精密二維運動平臺(裝置如圖8所示,品牌:智泰Ether CAT,型號:EC-10A,最大定位誤差:5 μm,最大垂直度誤差:6″)上,之后精密二維運動平臺帶動標準球沿水平軸從A點運動到B點,再從B點運動到C點(A,B,C三點實際位置見圖8),調整測量儀器相對于二維平臺的位置,使運動過程中儀器俯仰角不變。根據余弦定理可知,△OBC的三邊關系為

記錄R0+R1,R0+R2,H2,θ2的示數,則可根據公式(12)計算出伸縮軸的初始長度為567.468 mm。

2.3 HTM誤差分析模型的補償

將上述系統參數及誤差的測量值代入HTM誤差分析模型中,對被動式激光跟蹤測量系統進行補償。如圖8所示,經過HTM誤差分析模型補償后,采用精密二維運動平臺作為標準比對儀器對被動式激光跟蹤測量系統的測量精度進行驗證。

圖8 數據采集實驗圖Fig.8 Diagram of data acquisition experiment

由于被動式激光跟蹤測量系統與精密二維運動平臺測量空間的同一點處于不同的坐標系,需要進行坐標轉換后進行統一比對。設被動式激光跟蹤測量系統和精密二維運動平臺測量空間同一點的坐標分別為PA(xa,ya,za,1)和PB(xb,yb,zb,1)。首先將二維平臺從原點O開始沿水平軸以10 mm為間隔均勻采取15個點,并根據最小二乘法進行線性擬合得到方向向量nx,將之作為坐標系的X軸,之后將二維平臺從原點O開始沿豎直軸以10 mm為間隔均勻采取15個點,并根據最小二乘法進行線性擬合得到方向向量nz。再將nx與nz進行叉乘得到方向向量ny,將之作為坐標系的Y軸。最后,根據公式(13)對PA和PB進行坐標轉換。

式中:PO為精密二維運動平臺的原點在被動式激光測量系統坐標系下的坐標。

對HTM誤差分析模型的補償效果進行驗證。將被動式激光跟蹤測量系統前端標準球吸附在精密二維運動平臺上,精密二維運動平臺帶動被動式激光跟蹤測量系統在140 mm×140 mm平面內以35 mm為間隔均勻測量25個空間點(如圖8所示),測量軌跡為:先沿Z軸向上均勻測量5個點,回到最低點后沿X軸運動35 mm,再向上測量5個點,直至25個空間點測量完畢。

在笛卡爾坐標系下,被動式激光跟蹤測量系統前端標準球球心的坐標為Pt(xt,yt,zt),比對后的實際坐標為Pa(xa,ya,za),標準球心的空間測量誤差為E(xt-xa,yt-ya,zt-za),絕對的測量誤差為

如圖9所示,經過HTM誤差分析模型補償后,被動式激光跟蹤測量系統的空間坐標測量誤差從581.5 μm降低為150.8 μm。

圖9 HTM誤差分析模型補償效果圖Fig.9 Diagram of compensation effect of HTM error analysis model

3 BP神經網絡模型

經過HTM誤差分析模型補償后,被動式激光跟蹤測量系統的測量精度得到顯著提高,但系統仍然存在殘余誤差,需要對測量系統的殘余誤差進行補償。

BP神經網絡對非線性數據有極強的學習能力,為了進一步提高測量精度,本文提出在HTM誤差分析模型的基礎上,利用BP神經網絡模型對被動式激光跟蹤測量系統的殘余誤差進行補償。如圖10所示,將標準球球心的球坐標和被動激光跟蹤測量系統的殘余誤差作為BP神經網絡的樣本數據集進行訓練學習,然后利用HTM誤差分析模型與訓練好的BP神經網絡模型共同對被動式激光跟蹤測量系統進行補償。

圖10 HTM+BP神經網絡模型流程圖Fig.10 Flow chart of HTM+BP neural network model

3.1 BP神經網絡模型補償原理

神經網絡是機器學習領域中一種常見的方法。一般情況下,神經網絡具有多個且分為三種不同類型的層級:輸入層、隱藏層和輸出層。每個層級都由一個或者多個感知器組成,相鄰層級之間的感知器互相連接。

將標準球球心的球坐標Pt(θ,φ,R)作為BP神經網絡模型輸入層的輸入數據,隱藏層以及輸出層中的單個感知器通常會接收多個輸入,對輸入數據進行處理后再進行輸出[16],即

式中:y為感知器的輸出;xi和wi分別為感知器的輸入和對應的權重;b為感知器的偏置;f為感知器的激活函數,激活函數能夠使感知器具有非線性擬合能力,一般為

被動式激光跟蹤測量系統經過HTM誤差分析模型補償后,其空間坐標測量誤差為E(xt-xa,yt-ya,zt-za)。將E作為BP神經網絡模型輸出層的目標輸出,則每次訓練過程中神經網絡輸出層的總誤差為

式中:m為輸出層感知器的數量;yk和y′k分別為輸出層第k個感知器的實際輸出和目標輸出。神經網絡在訓練過程中通過不斷優化權重和偏置,降低輸出層的實際輸出與目標輸出的誤差。通常利用正則化的損失函數C作為評價指標,即

式中:λ為正則化系數;w為神經網絡模型中所有權重的集合。

神經網絡在訓練的過程中,采用梯度下降法對損失函數進行優化。根據公式(19)對權重w和偏置b進行更新,直至損失函數C的值滿足要求。

式中:η為學習速率。

利用HTM誤差分析模型與訓練好的BP神經網絡模型共同對被動式激光跟蹤測量系統進行補償,得到測量系統的輸出值,即標準球球心的實際坐標值。

3.2 BP神經網絡模型的訓練

在140 mm×140 mm的平面測量空間內,以10 mm為間隔均勻測量225個空間點作為BP神經網絡模型的訓練樣本數據。多次對神經網絡的超參數進行調整,確定BP神經網絡的結構以及超參數:模型各層節點數為[3,25,3];學習速率為0.025;正則化系數為1.0。訓練過程中BP神經網絡模型的損失函數的變化情況如圖11所示,損失函數的值在前200次訓練時迅速下降,隨后下降速度趨于緩慢,接近500次時,損失函數下降幅度極小。在整個訓練過程中,訓練集損失函數的值略小于測試集,符合一般規律。

圖11 BP神經網絡模型訓練過程損失函數變化Fig.11 Variation of loss function during training of BP neural network model

4 模型對比與分析

在140 mm×140 mm測量平面空間內再次均勻測量25個空間點,與圖8所示的采樣點一致。如圖12所示,經過HTM+BP神經網絡模型補償后,被動式激光跟蹤測量系統的測量誤差為51.6 μm,在單一的HTM誤差分析模型補償的基礎上,測量誤差減小了65.8%。

圖12 HTM+BP神經網絡模型的補償效果圖Fig.12 Diagram of compensation effect of HTM+BP neural network model

5 結論

提出了一種利用被動式激光跟蹤測量系統測量空間點坐標的方法,與主動式激光跟蹤儀相比,被動式激光跟蹤測量系統的測量原理更為簡單,研制成本大幅降低,且更便于在工業生產中普及。為了提高被動式激光跟蹤測量系統的測量精度,提出HTM+BP神經網絡模型對測量系統的誤差進行補償:建立了HTM誤差分析模型,對模型的誤差參數進行測量后進行補償;在HTM誤差分析模型的基礎上,采用BP神經網絡模型對測量系統的殘余誤差進行補償。經過HTM+BP神經網絡模型補償后,該系統的測量誤差降低為51.6 μm,相較單一的HTM誤差分析模型,補償效果提升了65.8%。經過誤差補償后的被動式激光跟蹤測量系統可廣泛應用于空間運動目標位置精度的測量,提高制造裝備測量與加工精度。