直齒圓柱齒輪三種齒厚參數的微量關系及應用

鎖劉佳,王立鼎

(大連理工大學 機械工程學院,遼寧 大連116024)

0 引言

齒輪傳動中齒側間隙的控制,依賴于齒輪零件圖上給定合理的齒輪齒厚上下偏差[1-4]。而在齒輪元件設計、齒輪加工與齒輪測量中,經常會遇到齒輪的固定弦齒厚、公法線長度與M值(跨棒距的測量值)之間的尺寸及其公差的換算問題。在一些齒輪手冊和資料中,通常會介紹齒輪某兩個齒厚測量參數之間增量(與齒厚公差相關)關系的計算式[5-7],但是對三者微量關系的闡述不夠集中、完整,有時在同一齒輪公差標準中會出現固定弦齒厚公差、公法線長度公差與跨棒距測量值三種齒厚參數不協調的問題。

針對上述問題,本文闡述了標準直齒圓柱齒輪中固定弦齒厚、公法線長度與跨棒距三種齒厚參數的增量關系,推導出了三者互相變換的簡便計算公式,給出了三個常見壓力角條件下三種齒厚參數的微量關系圖,并對微量關系圖的具體應用進行舉例,有效提升三種齒厚參數的計算便利性。

1 三種測量齒厚方法

1.1 固定弦齒厚的測量

當標準齒條的齒形和直齒圓柱齒輪的齒形在對稱位置上接觸時(如圖1所示),兩接觸點之間的距離為固定弦齒厚Sx,而此弦到齒輪齒頂的距離為固定弦齒高hx,它們的計算公式分別為

圖1 固定弦齒厚Fig.1 Constant chord height

式中:αf為齒輪在分度圓上的壓力角;m為齒輪的模數;Re為理論齒頂圓半徑;Re′為實測齒頂圓半徑;he為齒頂高。

各種標準壓力角直齒圓柱齒輪的Sx,hx簡化公式如表1所示。

表1 不變位直齒圓柱齒輪Sx,hx的簡化計算公式Table.1 Simplified calculation formula of Sx and hx of invariant spur gear

由式(1)和表1可以看出,利用固定弦測量齒厚時不受齒輪的齒數影響,且此方法的計算比較簡單。基于該方法的常用量具有:齒輪卡尺、齒厚測量儀、齒厚樣板等。但是使用該方法時,齒輪的切向誤差、徑向誤差以及齒頂圓對基準孔的徑跳均會對齒厚測量的準確性產生影響[8],故該方法不適用于精密齒輪的齒厚測量,而是多用于ISO 1328-1:2013標準[9]中模數大于1的7級或7級精度以下的齒輪測量。

1.2 公法線長度的測量

圖2 齒輪公法線長度Fig.2 Base tangent length

在A和B兩點垂直于公法線AB的兩直線,即為兩齒形的切線,這兩條切線互相平行,因此可以利用公法線千分尺的兩個平行卡腳測量直齒圓柱齒輪公法線AB的長度Wk,計算公式為

式中:z為齒輪的齒數;k為跨測齒數。

由式(3)可以看出,利用公法線長度測量齒厚的方法的計算過程比利用固定弦測量齒厚的計算過程復雜,但由于采用該方法得到的測量值不受齒頂圓精度的影響,且公法線千分尺的示值分辨力為0.05 mm,因此,該方法可以廣泛應用于模數大于等于0.5的7級或7級精度以上齒輪的齒厚測量。

1.3 跨棒距的測量

跨棒距是一種間接測量齒厚的方法[10],其原理如圖3所示。理論上,為了使M值確切地反映直齒圓柱齒輪齒厚的尺寸,量棒切線與齒面的接觸點應在齒間的固定弦上,此時恰當的量棒直徑應為當αf=20°時,dp=1.476m。

圖3 奇、偶齒數跨棒距測量Fig.3 Odd and even number of teeth across the rod pitch

由于選取dp=1.476m,而M值通常小于齒頂圓尺寸,導致在模數較小的條件下難以實現M值的測量。目前,在工程應用中通常采用的量棒為測量螺紋的三針量線,測齒輪M值時,其量棒按dp=(1.68~1.9)m選取,接觸點在齒輪分度圓附近。不變位的直齒圓柱齒輪M值的計算公式為

雖然M值的計算比固定弦齒厚和公法線長度的計算更為復雜,但是這種測量方法具有以下優點[11]:

1)適用于中小模數齒輪的齒厚測量,特別是當齒輪模數m＜1時,M值測量的可行性更佳。

2)測量結果精確、數值穩定。由于不需要測量基面,該方法不受齒輪齒圈徑向跳動的影響,更不受齒頂圓誤差的影響。

3)反映齒厚偏差的靈敏度高。由于ΔM=ΔSxctgαf,在αf=20°時,ΔM=2.75ΔSx(ΔM為M值的變化量,ΔSx為固定弦齒厚的變化量),因此較測量固定弦齒厚及公法線長度相比,該方法的靈敏度更高。在齒輪的齒側間隙要求十分嚴格的條件下,選用該方法更具優勢。

2 三種齒厚參數的微量關系

2.1 公法線長度與固定弦齒厚參數的微量關系

如圖4所示,當固定弦齒厚Sx出現一增量ΔSx=時,齒面在法線方向的增量為即為公法線長度的增量,即在直角Δabc中,由于ab=于是得到

圖4 ΔWk與ΔSx的關系Fig.4 Relationship betweenΔWk andΔSx

由于公法線長度測量通常在分度圓附近的齒面上進行,因此式(5)是一個近似計算公式。

2.2 跨棒距測量尺寸與公法線長度的微量關系

對于偶數齒,跨棒距測量尺寸與公法線長度測量之間的相對位置關系如圖5(a)所示,M與Wk的微量關系分析如圖5(b)所示,當左右齒面各存在時,跨棒與齒面的接觸點將由a1移至a2,則可由式(6)得到式(7),即

圖5 跨棒距測量尺寸與公法線長度測量之間的相對位置關系以及M與Wk的微量關系Fig.5 Relative position relationship between rod pitch and base tangent length,and relationship between M and Wk

對于奇數齒,其ΔM可表示為

當標準直齒圓柱齒輪、量棒與齒面的接觸點在分度圓附近時,有

2.3 跨棒距尺寸與固定弦齒厚的微量關系

將式(5)代入式(7),得到近似計算時,有

2.4 三種測量齒厚參數的微量關系

常用壓力角條件下,ΔWk與ΔSx的關系按式(5)計算,二者比值見表2;ΔM與ΔWk的關系按式(7)和式(8)計算,二者比值見表3和表4;ΔM與ΔSx的關系按式(9)計算,二者比值見表5和表6。

表2 ΔWk與ΔSx的比值Table.2 Ratio ofΔWk toΔSx

表3 偶數齒ΔM與ΔWk的比值Tab.3 Ratio ofΔM toΔWk in even-numbered teeth

表4 奇數齒ΔM與ΔWk的比值Table.4 Ratio ofΔM toΔWk in odd-numbered teeth

表5 偶數齒ΔM與ΔSx的比值Table.5 Ratio ofΔM toΔSx in even-numbered teeth

表6 奇數齒ΔM與ΔSx的比值Table.6 Ratio ofΔM toΔSx in odd-numbered teeth

圖6 αf=20°時三種齒厚參數的微量關系Fig.6 Relationship of three tooth thickness parameters at αf=20°

圖7 αf=15°時三種齒厚參數的微量關系Fig.7 Relationship of three tooth thickness parameters at αf=15°

圖8 αf=14.5°時三種齒厚參數的微量關系Fig.8 Relationship of three tooth thickness parameters at αf=14.5°

3 三種齒厚參數微量關系的應用舉例

3.1 用于公差換算

已知一個不變位的直齒圓柱齒輪,αf=20°,z=30,固定弦齒厚上偏差為-0.020 mm,下偏差為-0.065 mm,求其公法線長度或跨棒距尺寸的上偏差和下偏差。

3.2 用于齒輪加工中的余量換算

一個正在磨削的齒輪,其參數為αf=14.5°,z=25,中途停止磨削進行M值測量,發現按圖紙上的最終尺寸尚有ΔM=31 μm的余量,試計算砂輪在齒輪齒厚方向上的余量。

由ΔM=31 μm,可按圖8查得ΔWk=9.7 μm。

4 結論

通過對固定弦齒厚、公法線長度與跨棒距三種齒厚參數轉換關系進行推導,得到了奇、偶齒的三種微量的轉換列式。通過微量轉換列式,得出了三種常見壓力角條件下三種齒厚參數的微量關系圖。本文推導得出的轉換列式和微量關系圖為工程中三種齒厚參數的計算提供了便利,具有技術借鑒意義。