永磁直線同步電動機改進全局滑模變結構控制研究

劉春芳, 于 婷

(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

精密化、高速化、智能化是數控機床等加工制造業發展的必然趨勢[1]。永磁直線同步電動機(PMLSM)具有功率密度大、控制精度高、響應速度快、可重復性好等性能特點，其在高精尖直線進給系統中有著旋轉電動機無可比擬的優勢[2]。但是PMLSM直接驅動負載和結構上的端部效應等問題均限制了其控制系統的魯棒性。

近些年，國內外學者對PMLSM采用自適應控制、反饋線性化、滑模控制(SMC)、反步法、模糊控制法等控制策略[3-4]。其中，SMC具有算法簡單、魯棒性好和可靠性高等優點，經常用于非線性系統的控制。在PMLSM的實際控制中，希望系統狀態能夠在控制器的作用下盡可能快地到達目標位置，實現系統的快速收斂。要實現系統狀態的有限時間收斂，關鍵在于設計合適的滑模面[5]。文獻[6]將動態面與反步控制相結合, 為實現PMLSM位移跟蹤誤差在固定時間內收斂，提出了一種基于固定時間干擾觀測器的動態面反步控制方法，該方法通過構造固定時間收斂觀測器對系統的非匹配不確定項和匹配不確定項進行觀測估計。文獻[7]提出了一種改進快速終端SMC方法，解決了線性SMC PMLSM不能實現有限時間控制以及終端SMC不能實現快速收斂的問題。文獻[8]中提出了全局滑?？刂?GSMC)方法，該方法通過設計一個動態非線性滑模面來消除SMC的趨近模態，使系統在響應的全過程中均具有魯棒性、快速性。

GSMC中的動態滑模面是由線性滑模面方程和非線性函數項組成，非線性函數項一般設計為單調的指數衰減形式。當系統狀態靠近零點時，收斂時間主要由線性滑模面決定;當系統狀態遠離零點時，收斂時間主要由非線性函數項決定。因此可通過調節指數衰減參數來改變滑模面演化速度，但參數的調節能力有限[9]。本文提出改進快速收斂的GSMC方法，該方法中非線性滑模面衰減函數由3個指數函數項組成一階可導函數，動態滑模面可在有限時間內演化為線性滑模面, 從而加快系統的響應速度。最后，通過MATLAB/Simulink軟件建立的仿真試驗系統對PMLSM伺服系統進行試驗驗證，結果表明所提方法具有良好的控制性能。

1 PMLSM數學模型

假設PMLSM的反電動勢是正弦的，不考慮磁飽和，忽略磁滯損耗、渦流損耗和阻尼作用等影響。在同步參考坐標系下，PMLSM的電壓方程和磁鏈方程表示為[10]

(1)

(2)

式中:ud、uq、id、iq、Ψd、Ψq、Ld、Lq分別為d、q軸的電壓、電流、磁鏈和電感；Rs為電阻；v為線速度；Ψf為永磁體磁鏈。

電磁推力方程表示為

(3)

式中:Fe為電磁推力；p為磁極對數。

在表貼式PMLSM中，有Ld=Lq，則Fe簡化為

Fe=Kfiq

(4)

其中，電磁推力系數為

(5)

PMLSM的運動方程為

(6)

式中:M為動子總質量；F為系統總擾動，包括參數變化、外部擾動和摩擦力等；B為黏性摩擦因數。

由式(1)～式(6)整理得系統數學模型表達式為

(7)

PMLSM的控制系統結構圖如1所示。

圖1 PMLSM控制系統結構圖

2 改進GSMC設計

2.1 GSMC設計

對于PMLSM伺服系統而言，所設計的速度控制器需要在系統不確定性因素存在的情況下，仍能實現對參考速度精準跟蹤控制。為此定義vm為理想速度，v為實際速度，速度跟蹤誤差為e=vm-v。

PMLSM狀態變量為[11]

(8)

(9)

(10)

(11)

為使系統在響應全過程均具有魯棒性,全局滑模面函數設計為

(12)

其中c>0, 滿足Hurwitz條件[12]。h(t)應滿足的3個條件為

(2)t→∞時，h(t)→0；

(3)h(t)具有一階導數。

根據上述條件,將h(t)設計為按指數單調衰減的函數形式,即:

(13)

式中:α>0。

由此可得系統的動態滑模面為

(14)

其中，c必須滿足Hurwitz條件，即c>0。這樣,當t=0時,s=0，即可保證所設計的動態非線性滑模面可通過系統的任意初始狀態,由此消除了SMC中的趨近模態。只有當t→∞時，h(t)→0，系統的動態非線性滑模面才能最終演變為線性滑模面，并通過原點。

式(13)兩邊同時對時間t求導可得：

(15)

即有：

(16)

將式(9)代入式(15)得:

(17)

采用等速趨近律時，有：

(18)

式中：ε為等速趨近律的參數,ε>0。

綜上求得等速趨近律GSMC的控制律為

(19)

PMLSM速度跟蹤伺服系統的原理框圖如圖2所示。

圖2 PMLSM速度跟蹤伺服系統的原理框圖

2.2 改進GSMC設計

為了進一步加快演變速度，實現系統快速響應，將h(t)改進為

(20)

式中:tz為動態滑模面演變為線性滑模面的時間。

由此可得系統的動態滑模面為

(21)

對式(21)求導得:

(22)

式中：A,B和C為常系數。

通過選取合適的參數,可使h(t)能夠在有限時間內快速衰減至0,由此可使動態滑模面快速演化為線性滑模面。

所設計的動態滑模面仍然需要滿足上述3個約束條件。根據條件(1), 衰減函數的初值應滿足A+B+C=1。為使所設計的動態滑模面能夠在有限時間tz內演化為線性滑模面可令h(tz)=0，由此求得

(23)

(24)

為了滿足條件(3)，h(t)在點t=tz的左導數必須等于右導數，即h′-(tz)=h′+(tz)=0,由此可得:

h′-(tz)=h(0)[C(α2-α)e-(α+α2)tz+

C(α-α1)e-(α+α1)tz+

(1-C)(α2-α1)e-(α1+α2)tz]×

[e-α2tz-e-α1tz]-1=0

(25)

這樣，式(25)中的參數應滿足:

(1-C)(α2-α1)e-(α1+α2)tz+

C(α-α1)e-(α+α1)tz+

C(α2-α)e-(α+α2)tz=0

(26)

(Aα1e-α1t+Bα2e-α2t+Cαe-αt)]

(27)

選取Lyapunov函數為

(28)

對式(28)求導，并化簡得:

s(-εsgn(s))≤-εs2<0

(29)

3 仿真研究

為了驗證本文設計的改進GSMC的有效性，采用MATLAB/Simulink軟件建立的仿真試驗系統。將SMC、GSMC與改進GSMC的性能進行了對比。仿真采用美國Kollmorgen公司生產的IC11-050系列PMLSM，具體參數為,Ld=Lq=41.4 mH，M=16.4 kg，τ=32 mm，Rs=2.1 Ω，Kf=50.7 N/A，p=3，Ψf=0.09 Wb，B=8.0 N·s/m?；翟O置：c=30，ε=25，全局滑模參數設置：x1(0)=0.35，x2(0)=-9，c=25，α=1 000，ε=27。改進全局滑模參數設置：x1(0)=1.3，x2(0)=-10，α=1 300，α1=20，α2=10，c=7.5，ε=26，tz=0.004 5，A=1.026,B=-0.526，C=0.5。

PMLSM空載起動，初始線速度為0.3 m/s，d軸電流給定值為0 A。PMLSM動子質量為額定值，SMC、GSMC和改進GSMC方法下的速度響應曲線如圖3所示，SMC上升時間為0.05 s,GSMC上升時間為0.04 s,改進GSMC上升時間為0.013 s，改進GSMC比SMC和GSMC上升時間短，說明改進GSMC具有更好的動態響應性能。

由圖3中三種控制策略下加入擾動時系統速度響應曲線的局部放大圖可知，在t=0.5 s時對系統突加階躍負載阻力FL=200 N，與另外兩種控制策略相比，改進GSMC的魯棒性更強，系統跟蹤誤差波動更小，恢復穩態的時間更短，證明改進GSMC具有更強的抗干擾能力。因此，改進GSMC控制策略對負載干擾和系統參數變化的魯棒性更強，系統能在更短時間內恢復穩定，且超調很小，滿足了直接進給伺服系統對抗干擾能力的要求。

圖3 階躍信號下基于負載擾動的PMLSM速度響應曲線

圖4是基于SMC的速度誤差曲線，速度誤差約在-40～30 μm/s之間；圖5是基于GSMC的速度誤差曲線，速度誤差約在-20～20 μm/s之間；圖6是基于改進GSMC速度誤差曲線，速度誤差約在-16～18 μm/s之間。對比以上三種控制方法策略，說明在只用SMC控制下有一定的控制效果，而GSMC的控制效果相對于SMC有明顯提高，跟蹤誤差進一步減小。很明顯可以看出在改進GSMC的控制下，速度跟蹤誤差的最大值以及達到穩態下的誤差比SMC和GSMC均要小，且曲線更為平滑，說明改進GSMC在有限時間內，能更快速地收斂。

圖4 基于SMC的PMLSM速度響應誤差曲線

圖5 基于GSMC的PMLSM速度響應誤差曲線

圖6 基于改進GSMC的PMLSM速度響應誤差曲線

電動機給定變速信號起動，初始加速度為2 m/s2，在0.15 s時達到0.3 m/s后勻速，直到0.85 s,再次以2 m/s2勻減速直到速度變為0，觀察系統的運行情況。系統的速度響應曲線的局部放大圖如圖7所示，三種控制策略速度響應曲線幾乎重合，但改進GSMC曲線與給定信號更接近。并且，采用SMC控制的速度響應誤差曲線如圖8所示，系統速度的穩態誤差在-60～80 μm/s范圍內變化；采用GSMC控制的速度響應誤差曲線如圖9所示，速度的穩態誤差在-40～30 μm/s范圍內波動；采用改進GSMC控制的速度響應誤差曲線如圖10所示，產生的速度的穩態誤差最小，范圍是-20～20 μm/s ，說明無論給定信號是階躍信號，還是變速信號，改進GSMC對PMLSM系統都有更為突出的跟蹤精度和響應速度。

圖7 基于變速信號的PMLSM速度響應曲線

圖8 基于SMC的PMLSM速度響應誤差曲線

圖9 基于GSMC的PMLSM速度響應誤差曲線

圖10 基于改進GSMC的PMLSM速度響應誤差曲線

4 結 語

針對PMLSM伺服系統受不確定因素影響，而不能快速收斂問題，采用一種改進GSMC方法，動態滑模面中的非線性滑模面的衰減函數由三個指數函數項組成一階可導函數代替傳統一個指數函數項, 并能在有限時間內衰減為零。仿真結果表明，與傳統GSMC相比，改進全局控制方法明顯提高了系統的動態響應速度并保證了系統全局魯棒性，可滿足高精度快響應的伺服加工性能要求。